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第 7 讲 角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。作已知角的平分线的方法：已知： ( 如图 )求作： 的角平分线 OC.作法： 1. 以 O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于 M，交 OB于 N。A12. 分别以 M、 N 为圆心，大于MN的长为半径作弧，2MA两弧在 AOB内部交于点C。3. 作射线 OC，射线 OC即为所求。O【经典例题】F例 1已知： 如图， ABC中， C=90， AD是 ABC的角平分线，E， F 在 AC上 BD=DF，C求证： CF=EB例 2. 已知 ：如图， AD、BE 是 ABC的两条角平分线， AD、 BE相交于 O点求证： O在 C 的平分线上例 3.如图 AB CD ， B 90， E 是 BC 的中点。 DE 平分 ADC ，求证： AE 平分 DAB 。CNBEDE AB 于DBCD【经典练习】1 如图， CD AB， BE AC，垂足分别为 D， E， BE， CD相交于点 O，OB OC，求证 BAO CAO2. 如图， OC是 AOB的角平分线， P 是 OC上一点， PD OA交于点 D，PE OB交于点 E， F 是 OC上除点 P、O外一点，连结 DF、EF，则 DF与 EF 的EBA关系如何？证明你的结论。3.如图，在 CD上求作一点 P，使它到 OA，OB的距离相等（写出作法）。A4.要将如图中的 MON平分，小梅设计了如下方案：在射线 OM，ON上分 DA别取CFOA OB，过 A 作 DA OM于 A，交 ON于 D，过 B 作 EB ON于 B 交 OM于 E， AD， EB 交于点 C，过 O， C 作射CP线 OC即为 MON的平分线，试说明这样做的理由.OB5. 如图 ABC中， AD是它的角平分线，且 BD=CD，DE、DF 分别垂直 AB、 AC，垂足E为 E、F ， 求证： EB=FCOBD第 1页6.如图，在 ABC中， AD为 BAC的平分线， DE AB于 E，DF AC于 F， ABC面积是 28 cm2 ，AB 8cm，AC 6cm，求 DE的长A【巩固练习】基础训练题1. 如图，在 Rt ABC中， C=90， BD是 ABC的平分线，EF交 AC于点 D，若 CD=n， AB=m，则 ABD的面积是（）DCBA.m+nB.1 mnC.2mnD.mn22.如图，已知AC 平分 PAQ ，点 B ， B分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出那么该条件不可以是（）A 、BB ACB 、BC=B CC、 ACB= ACBD、 ABC= ABC3、如图， FD AO 于 D，FE BO 于 E，下列条件： OF 是 AOB 的平分线； DF=EF ； DO=EO ； OFD= OFE。其中能够证明 DOF EOF 的条数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个AB=AB，件 的 个4.如图，在ABC 中， , E、 F 分别是 AB 、AC 上的点，EF=5 cm， BP、CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线，且 PD BC于 D， PE AB于 E, PF AC于 F, 已知 PD=4cmE则 PEF 的周长是 _ cm.5.如图（ 7）： AC BC，BM 平分 ABC 且交 AC 于点 M ，N 是 AB 的中点且 BN=BC 。B求证：（ 1） MN 平分 AMB ，（ 2） A= CBM 。6.如图：在 ABC 中， B， C 相邻的外角的平分线交于点D 。求证：点 D 在 A 的平分线上。7.如图 8、AB CD， PCD 的面积等于 PAB 的面积，求证： OP平分 BOD 。8.如图 9、在 ABC 中， B 60， ABC 的角平分线AD 、 CE 交于点 O，求证： AE+CD AC 。能力提高题1.已知：如图， C2 B， 1 2，求证： AB AC+CD 。E2.已知，如图 2， 1 2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于AB+BC 2BD ，B求证： BAP+ BCP 180。3、如图，已知 CAD= CDA ，AC=BD ，E 在 BC 上，DE=EC ，第 2页AAFPDANBA （图 7 ） ME ADODPCBCCFD，C求证：12BDCAD 平分 BAEABDEC(提示 :延长 AE 到 P,使得 EP=AE, 连接 CP,证三角形ABD 与 PAC 全等 )4.如图，已知AB CD ，O 是 ACD ， CAB 的平分线的交点，且OE AC 于 E 点， OE=12，求 AB 与CD 之间的距离ABEOCD第 3页
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