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前 面 我 们 学 习 了 因 式 分 解 , 你 能 用 因 式 分 解 的 方 法快 速 口 算 出 ( 1) 832+2 83 17+172 ( 2) 1042-2 104 4+42等 于 多 少 吗 ? 比 一 比 , 试 一 试 , 看 谁 算 得 又 对 又 快 !说 出 来和 大 家 分 享 一 下 。一 、 问 题 讨 论1、问题 如 果 能 快 速 算 出 来 , 说 说 你 是 怎 么 算 的 ? 如 果 不 能 快 速 口 算 出 来 , 你 想 不 想 知 道 快 速口 算 的 方 法 呢 ? 2、讨论(1)832+28317+172=? (2)1042-21044+42=? 为 了 快 速 口 算 , 我 们 今 天 就 来 学 习完 全 平 方 式 的 因 式 分 解 , 学 了 完 全 平 方 式的 因 式 分 解 , 你 就 知 道 快 速 口 算 的 方 法 和技 巧 了 。3、揭题 (完全平方式)公式法 因 式 分 解 与 整 式 乘 法 是 两 种 互 逆 的 变 形 , 把乘 法 的 完 全 平 方 式 a2+2ab+b2=(a+b)2 a 2-2ab+b2=(a-b)2反 过 来 ,就 得 到 因 式 分 解 的 完 全 平 方 式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 1、 完 全 平 方 式二 、 探 究 2、 辨 析左 边 : 项 数 : 共 三 项 , 即 a、 b两 数 的 平 方 项, a、 b两 数 积 的 2倍 。 次 数 : 左 边 每 一 项 的 次 数 都 是 二 次 。 符 号 : 左 边 a、 b两 数 的 平 方 项 必 须 同 号 。右 边 : 是 a、 b两 数 和 ( 或 差 ) 的 平 方 。当 a、 b同 号 时 , a 2+2ab+b2=(a+b)2当 a、 b异 号 时 , a2-2ab+b2=(a-b)22 2 22 ( )a ab b a b 完 全 平 方 式 结 构 特 点 ( 1) x2-4x+4_ ( 2) x2+16 _ ( 3) 9m2+3mn+n2_ ( 4) -y2-12xy+36x2 _ ( 5) -m2+10mn-5n2_ ( 6) 9x2+6x_3、 深 刻 理 解下 列 各 式 是 不 是 完 全 平 方 式 , 为 什 么 ?是不 是 , 缺 乘 积 项不 是 , 缺 乘 积 项 的 2倍不 是 , 平 方 项 异 号不 是 , 只 有 一 个 平 方 项是 例 5 分 解 因 式16x2+24x+9= (4x)2+2.4x.3+32 (1) 16x2+24x+9分 析 : 16x2=(4x)2,9=32,24x=2.4x.3符 合 完 全 平 方 式 的 特 点 , 是 一 个 完 全 平 方 式 。即 三 、 引 领 示 范a 2 +2.a .b+b2 解 : 16x2+24x+9 = (4x)2+2.4x.3+32 =(4x+3)2(2) -x2+4xy-4y2分 析 : -x2+4xy-4y2中 有 两 个 平 方 项 , 且 平方 项 同 为 “-”, 乘 积 项 4xy正 好 是 x与 2y的 积的 2倍 , 符 合 完 全 平 方 式 的 结 构 特 点 。 解 : -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =- x2-2.x.2y+(2y)2 =-(x-2y)2 例 6 分 解 因 式(1) 3ax2+6axy+3ay2分 析 : 3ax2+6axy+3ay2中 , 都 有 公 因式 3a, 应 先 提 出 公 因 式 , 再 进 一 步 分解 。 解 : 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36 分 析 : 只 要 把 a+b看 成 一 个 整 体 ,(a+b)2-12(a+b)+36 就 是 一 个 完 全 平 方 式 。 即解 : (a+b)2-12(a+b)+36 = (a+b)2-2.(a+b).6+62 =(a+b-6) 2(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2.(a+b).6+62m2 - 2 . m . 6+62 现 在 回 头 来 看 看 我 们 上 课 时 提 出 的 问 题 ,快 速 口 算( 1) 832+2 83 17+172( 2) 1042-2 104 4+42 你 看 出 快 速 口 算 的 奥 妙 了 吧 ? 你 能 快 速 口算 了 吗 ?( 1) 832+2 83 17+172=(83+17)2=10000( 2) 104 2-2 104 4+42=(104-4)2=10000 _+10 xy+y2 =(_ +_)2 x2-_+ _=( _-3y )2 _+_+16y2= (3x +_ ) 2 _ -36mn+_=(_ - 2n)25x9x2 x9y26xy25x2 y4n281m2 9m 4x24xy 1、 基 础 练 习( 1) 填 空 这 些 等 式 只 给 了 两个 已 知 项 , 你 能 完成 这 些 填 空 吗 ?四 、 巩 固 提 升 ( 1) a2+8a+16( 2) -1-a2+2a( 3) xy-8xy2+16xy3( 4) (a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2解 :原 式 =(a+4)2解 :原 式 =-(1+a2-2a)=-(1-a)2解 :原 式 =xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2解 :原 式 =(a+2b-3a)2=(2b-a)22、 分 解 因 式 ( 1) 已 知 4X2-px+9是 完 全 平 方 式 , 求 p的 值 。2、 拓 展 练 习分 析 : 完 全 平 方 式 中 的 乘 积 项 是 一 、 二两 数 乘 积 的 2倍 。解 : 把 4X2-px+9变 形 为 (2x)2+px+32,由 完全 平 方 式 的 意 义 得 , P= 你 知 道 完 全 平 方式 中 的 乘 积 项 是怎 样 组 成 的 ?2 2 3 12 17 (2) 分 解 因 式(x2+y2)2-4x2y2 从 整 体 看 , (x2+y2)2-4x2y2符 合 平 方 差 公 式 的 特 点 , 可 先 用 平 方 差 公 式分 解 , 然 后 再 用 完 全 平 方 式 进 行 分 解 。解 : (x2+y2)2-4x2y2 =(x2+y2)+2xy(x2+y2)-2xy =(x+y) 2(x-y)2温 馨 提 示 : (1) 已 知 :a2+b2+2a-4b+5=0,求 2a2+4b-3的 值 。与 完 全 平 方 式 有 很 大 的 相 似 性 (颜 色 相 同 的 项 ), 因 此 可 通 过 “ 奏” 成 完 全 平 方 式 的 方 法 , 将已 知 条 件 转 化 成 非负数之和等于0的 形 式 , 从 而利 用 非 负 数 的 性 质 来 求 解 。3、 能 力 提 升温 馨 提 示 : 从 已 知 条 件 可 以 看 出 , a2+b2+2a-4b+5 解 : 由 已 知 可 得 (a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0 即 (a+1)2+(b-2)2=0 2a2+4b-3=2 (-1)2+4 2-3 =71 02 0ab 12ab (2)已 知 a、 b、 c是 ABC的 三 边 的 长 , 且 满足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0, 试 判 断 ABC的形 状 。温 馨 提 示 : 将 条 件 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变 形为 a2+2b2+c2-2ab-2bc=0, 左 边 与 完 全 平 方 式十 分 相 似 。 可 将 其 奏 成 两 个 完 全 平 方 式 的 和 ,然 后 利 用 非 负 数 性 质 就 能 解 决 问 题 了 。考 考 你 解 : a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 a2+2b2+c2-2ab-2bc=0(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即(a-b)2+(b-c)2=0 a-b=0, b-c=0 a=b=c所 以 ABC是 等 边 三 角 形 1、 学 习 了 完 全 平 方 式 你 有 哪 些 收 获?2、 你 能 简 述 完 全 平 方 式 的 意 义 ?3、 你 会 确 定 完 全 平 方 式 中 的 乘 积 项?4、 你 能 综 合 应 用 所 学 的 知 识 和 多 种技 巧 熟 练 的 分 解 因 式 吗 ? 我 们 一 起 来 回顾 今 天 学 习 的内 容 , 好 吗 ?五 、 小 结 1、 课 堂 练 习 119页 第 1-2题 2、 课 外 作 业 119页 复 习 巩 固 第 3题 、 第 5题 六 、 作 业
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