柱体、锥体、台体的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积和体积 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正 方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 多面体的展开图和表面积 引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？ 棱柱的展开图 正棱柱的侧面展开图 h a 正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？ 棱锥的展开图 h h 侧面展开 正棱锥的侧面展开图 正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？ 棱锥的展开图 侧面展开 h h 正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的 表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 h h 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成 ,因此只要求 . 因为 SB=a， aSBSD 2 360s in 所以： 2 4 3 2 3 2 1 2 1 aaaSDBCS ABC 因此，四面体 S-ABC 的表面积 交 BC于点 D 解：先求 的面积，过点 S作 SBC BCSD 典型例题 B C A S a 圆柱的表面积 O O r )(222 2 lrrrlrS 圆柱表面积 l r2 圆柱的侧面展开图是矩形 圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图是扇形 )(2 lrrrlrS 圆锥表面积 r2 l O r 圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 )( 22 rllrrrS 圆台表面积 r2 l O r O r 2 r 圆台的侧面展开图是扇环 三者之间关系 l O r O r l O r l O O r )(2 lrrS 柱 )( lrrS 锥 )( 22 rllrrrS 台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？这种关系是巧合还是存在必然联系？ r r r 0 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径 20 cm，盆底 直径为 15cm，底部渗水圆孔直径为 1.5 cm，盆壁长 15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取 3.14，结果精确到 1 ）？ 2cm cm15 cm20 cm15 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积： 22 2 5.115 2 2015 2 15 2 15 S )(999 2cm 答：花盆的表面积约是 999 2cm 典型例题 蜜蜂爬行的最短路线问题 . 易拉罐的 底面直径 为 8cm,高 25cm. 分析 : 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开 , 将问题转化为平面几何的问题 . A B 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 rr 0r 知识小结 展开图 )( 22 rllrrrS 圆台 圆柱 )(2 lrrS )( lrrS 圆锥 1. 柱体、锥体、台体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。 探究 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？ 棱柱的侧面展开图 是由平行四边形组成的平面图 形 ， 棱锥的侧面展开图 是由三角形组成的平面图 形 ， 棱台的侧面展开图 是由梯形组成的平面图形。 这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。 , ( ) , . a S A B C 已 知 棱 长 为 各 面 均 为 等 边 三 角 形 的 四 面 体 如 下 图 求 它 的 表 面 积 S B A C D 圆柱的展开图是一个 矩形 ： 如果圆柱的底面半径为 ，母线为 ，那么圆柱 的底面积为 ，侧面积为 。因此圆柱的 表面积为 r l 2r rl2 )(222 2 lrrrlrS O O 圆锥的展开图是一个 扇形 ： 如果圆柱的底面半径为 ，母线为 ，那么 它的表面积为 r l )(2 lrrrlrS O S r2 圆台的展开图是一个 扇环 ，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即 )( 22 rllrrrS O O 2 r r2 , 2 0 , 1 5 , 1 . 5 , 1 5 . ( 3 . 1 4 , 1 ) ? cm c m c m cm cm 如 下 图 一 个 圆 台 形 花 盆 直 径 为 盆 底 直 径 为 底 部 渗 水 圆 孔 直 径 为 盆 壁 长 那 么 花 盆 的 表 面 积 约 是 多 少 平 方 厘 米 取 结 果 精 确 到 15cm 10cm 7.5cm 柱体、锥体、台体的体积 正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统 一为： V = Sh（ S为底面面积， h为高） 一般棱柱的体积公式也是 V = Sh，其中 S为 底面面积， h为高。 棱锥的体积公式也是 ，其中 S为 底面面积， h为高。 即它是同底同高的圆柱的体积的 。 ShS 31 3 1 探究 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？ 圆台 (棱台 )的体积公式： hSSSSV )( 3 1 其是 S， S分别为上底面面积， h为圆台（棱台） 高。 3 ( 7 . 8 / ) ( ) 5 . 8 , , 1 2 , 1 0 , 1 0 , ( 3 . 1 4 ) ? g c m kg m m m m m m 有 一 堆 规 格 相 同 的 铁 制 铁 的 密 度 是 六 角 螺 帽 如 下 图 共 重 已 知 底 面 是 正 六 边 形 边 长 为 内 孔 直 径 高 为 问 这 堆 螺 帽 大 约 有 多 少 个 取 练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ） A . B . C . D . 2 21 4 41 21 2 41 A 2 . 已知圆锥的全面积是底面积的 3倍，那么这个 圆锥的侧面积展开图 -扇形的圆心角为 _ _度 180 小结 本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题， 利用平面图形求面积的方法求立体图 形的表面积