柯西积分公式和高阶导数公式

第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 柯西积分公式和高阶 一、柯西积分公式 二、高阶导数公式 三、调和函数 导数公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解析， 内一点， 是 一、柯西积分公式 是正向简单闭曲线， 设 上及 其内部 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解析， 内一点， 是 二、高阶导数公式 是正向简单闭曲线， 设 上及 其内部 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 常用于计算积分： 这两个积分的被积函数分别为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1 计算积分 .d 1 1 1|1| 3 z z z 解： 1|1| 3 d 1 1 z z z 1|1| 2 d 1 1 1 1 z z zzz 圆周 内包含 而函数 1 1 2 zz 在 内解析， 所以 1|1| 3 d 1 1 z z z | 12 112 zzzi i32 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2 计算积分 .d 1 1 1|1| 4 z z z 解： 1|1| 4 d 1 1 z z z 1|1| 2 d 1 1 )1)(1( 1 z z zzz 圆周 内包含 而函数 )1)(1( 1 2 zz 在 内解析， 所以 1|1| 4 d 1 1 z z z | 12 )1)(1( 12 zzz i i21 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3 计算积分 .d 1 2 3 |2| 2 iz zi z z e 解： 2 3 |2| d 1 iz zi z iziz e 圆周 内包含 而函数 iz e zi 在 内解析， 所以 |2 iz zi iz ei ei ei 2 2 1 2 3 |2| 2 d 1 iz zi z z e 2 3 |2| 2 d 1 iz zi z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4 计算积分 .d )1(2| 4 2 z z z z ze 解： 圆周 内包含 而函数 2)( zezf z 在 内解析， )1( !3 2 fi 2| 4 2 d )1(z z z z ze 2| 4 2 d )1( 1)( z z z z ze 2| 4 2 d )1(z z z z ze ,2)( zezf z ,2)( zezf ,)( zezf 所以 ei !3 2 3 ie 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5 计算积分 .d )1(2| 22 z z z z e 解： 2| 22 d )1(z z z z e 2 1 | 22 d )1( iz z z z e 2 1 | 22 d )1( iz z z z e 其中 2 1 | 22 d )1( iz z z z e 2 1 | 22 d )( 1 )( iz z z iziz e |2 )(!1 2 iz z iz ei 4 )1(2 ieii 2 )1( ieii 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 | 22 d )1( iz z z z e 2 1 | 22 d )( 1 )( iz z z iziz e |2 )(!1 2 iz z iz ei 4 )1(2 ieii 2 )1( ieii 原积分 2 )1( ieii 2 )1( ieii 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、调和函数 定义： 设 D),( yx 在区域 内具有二阶连续偏导数， 并且满足拉普拉斯方程 那么称 为区域 内的 调和函数 . 定义： 且满足柯西 - 黎曼方程 设 D),( yxu 都是 内的调和函数， ),( yxv 则称 ),( yxu 是 共轭调和函数 . ),( yxv 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理： 任何在区域 D 内解析的函数， 它的实部和 D虚部都是 内的调和函数 . 例 6 解： 证明 yxyyxu 23 3),( 为调和函数， 并求其共轭 调和函数 ),( yxv 和由它们构成的解析函数 . 所以 即 ),( yxu 为调和函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 得 所以 又由 得， 即 故 因此 得解析函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7 解： yxyxyyeyxv x )s i nc o s(),(已知一调和函数 求一解析函数 使 ,)( viuzf .0)0( f 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 得， 即 故 因此 得解析函数 )s inc o s( yxyxyyei x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 由 0)0( f 得， ,0c 所以