华工大学物理下第2-3章

二 -三、 质点动力学（ Dynamics of Particles） 引言 ：前一章对质点运动进行了描述，此章介绍 质点为什么会处在某种状态以及这种状态 为什么会改变。 1687 年牛顿提出了牛顿三定 律解决了此问题。是否没有必 要再讲？ (一 )牛顿定律的表述及其意义 自由物体永远保持静止或匀速直线动状态。 由于自然界的相互作用力有一共同特点： 相距越远作用力越小 ，故当一个物体距其 它物体足够远时，或其它物体对该物体的 相互作用力相互抵消时均可视为自由物体 -如远在天的边慧星。 a） 自由物体 -凡不受其它物体 作用的物体。 b）说明物体具有惯性 -不受外力时物体都 有保持静止或匀速直线运动状态的性质。 1）牛顿第一定律 c 说明力是引起物体运动状态改变的原因。 任一时刻物体动量的变化率总是等于物体 所受的合外力。 am dt vdmF 或 m F a i 2） 牛顿第二定律 （牛顿当年发表形式） 说明 ： a ）定律定量地说明了力的效果 - 改变物体的动量。物体动量的变化率一定等 于物体所受的合外力。 iFF dt pd dt vmd )( v c m当时，为常数 b） 定量地说明了物体质量是物体惯性大小的 量度。 F相同的条件下，质量大的物体加速度小，质 量小的加速度大，说明质量越大的物体越难 改变运动状态。即质量是物体惯性大小的量 度。 1m 2 m F 1 2 2 1 m m a a 若定义 m1为标准质量， 便可测定其它物体的 质量。定量地给出了 其它物体的质量。 F 1a 2a 注意 ： a）要注意定律的瞬时性 -力的作用 与加速度是瞬时对应的。 F b ）要注意定律的矢量性 -定律中 的力和加速度都有是矢量。 今天 a明天 写出其分量式为： 直角坐标系 i) 2 2 2 2 2 2 dt zd m dt dv mmaF dt yd m dt dv mmaF dt xd m dt dv mmaF z zz y yy x xx 自然坐标系 ii) 2 v mmaF dt dv mmaF nn 222 zyx FFFF 22 nF F F 力的独立性原理：什么方向的力只产生什么方 向的加速度而与其它方向的受力及运动无关。 X Y O A 水平方向不受力作匀速直线运动， 竖直方向受重力只产生竖直方向的 加速度而不影响水平方向的运动， 水平方向不受力的情况也不影响到 竖直方的运动。因此平抛运动可以 看 作水平方向的匀速直线运动和竖 直方向的自由落体运动的叠加 。这 就是 运动的叠加原理 。 c ）使用时应注意单位制 S I 制中： F 牛顿 m 千克 a -2米秒 V0 g 3)牛顿第三定律 物体 A以力 作用在物体 B上 ,物体 B必定同时 以力 作用在 A上 , 作用在同一直线上 且大小相等 .方向相反 ,无主从之分。 2F 1F 21.FF 或；一对作用力反作用力总是大小相等、 方向相反、作用在同一直线上不同物体上。 2112 FF -mg 地心 mg F F N N 注意： 、 作用力反作用力无主从之分、先 后之分、同时产生、同时消失。 2、 作用力、反作用力总是作用在不 同的物体上，不会抵消。 3、 作用力、反作用力是同性质的力 4）牛顿定律适用的参照系 -惯性系 1、牛顿定律不是适用一切参照系 意义： 说明了力的起源是物体的相互作用。 即：作用力、反作用力要满足： 等大、反向、共线、同时、同 性、作用在不同物体上。 b）牛顿定律适用的参照系 -惯性系 自由物体可以作为惯性系，但实际上并不存在绝对 不受力的物体，因此这个 问题成为一个实践性的问 题。实验表明： a、地球、太阳可以看作近似的惯性系（恒星） b、相对惯性系作匀速直线运动的参照系也 是惯性系 地球 日 al a 1 1! 2 lM a 例：如图，有一条长为质量为的均匀分布的链条成直线 状放在光滑的水平桌面上。链子的一端有极小的一段（长为） 被推出桌子边缘，在重力作用下从静止开始下降，试求： （）链条刚离开桌面时的速度。（要求用牛顿第二定律做） （）若链条与桌面有摩擦并设摩擦系数为，问链条必需垂下多 长时才能开始下滑。 。，如图段的拉力向仅受 段在水平方。、加速度分别为 段。两部分的质量和长，为段，已下垂为 条为时刻，留在桌面上的链）设在解：（ )( 1 2121 aTBC ABaamm BCx ABt A B T 1aN )(a图 段有：由牛顿第二定律，对 AB )1(1111 dt dvmamT gm1 。如图 与重力段的拉力段在竖直方向受 )( ,2 b gmTABBC B C 2a T gm2 段有：据牛顿第二定律对 BC )2(22222 dtdvmamTgm )3(21 dt dv dt dv dt dv 因绳不可伸长，有： )4(TT g l x g mm m dt dv 21 2 联立上四式有： dx两边乘以 g d x l xdx dt dv g d xlxdxdtdv vdtdx x d x l g v d v 故有： l a v x d x l gv d v 0 )( 22 al l g v 速度为：则链条刚离开桌面时的 ）中四个方程改为：，则（的摩擦力为 到桌面时链条开始下滑，考虑设当下垂长度为 1 )2( f d )4( )3( )2( )1( 21 2 2222 1 111 TT dt dv dt dv dt dv dt dv mamTgm dt dv mamfT ）（ 联立解得： fgmmmdt dv 2 21 1 ）（ gmgmmm 12 21 1 ，求链条要开始下滑，则要 0dtdv12 mm 即 dl d m m 1 2因为 )( dld 所以 ld 1 由此可得 *例 2、如图所示，一根均质柔绳，单位长度的质 量为 ，盘绕在一张光滑的水平桌子上。 、设在 t=0时 y=0, 今以恒定的加速度 a 竖直向上提绳。当提起的高度为 y时 ,作用 在绳端的力为多少？ 0v v、以一恒定的速 率 竖 直向上提绳子时，当提 起高度为 y时作用在绳端 的力又是多少？ F F 、以恒力 F竖直向上提， 当提起高度为 y时绳端 的速度又是多少？ Y O F F Y O 已知： t=0时， y=0 0v co n s ta c o n s tv 求 h= y时 , ?F 求高度 y时 , ?F c o n s tF 求高度 y时 , ?v 解：以链条整体作为研究 对象。以地面为参照 系建立坐标 OY y m1 g m2 g )1()( 2 ygF dt vmd )2()( ygF dt yvd N 分析：因力等于动量的变化 链条动量的变化只是被拉起来的的部分，在桌面 上的部分动量总是为零。故有： (N与 m1g 抵消 ) F F Y O 已知： t=0时， y=0 0v c on s ta 求 y=h时 , ?F h m1 g m2 g ygF dt dvy dt dyv )2()( ygF dt yvd N ygFyav 2 )3()( 2 yavygF 讨论： c on s ta ayv 22 yagF )3( F F Y O h m1 g m2 g N )3()( 2 yavygF 讨论： 是变化的vac ons tF )( 2vygF oac o n s tv dt dy dy dv dt dva dy dvv )( 2 1 2v dy d )4()( 2 1 22 ygF dy vdyv F F Y O h m1 g m2 g N 同 /2 y 2 2 22 22)(2 gyyF dy vdyyv ) 3 2()( 3222 gyyF dy dyv dy d )4( )( 2 1 2 2 ygF dy vd yv F Y O h m1 g N ) 3 2()( 3222 gyyF dy dyv dy d 3 2 3222 gyyFdyvd CgyyFyv 3222 3 2 两边积分： 代入初始条件： t=0时， y=0 0v 得 C=0 32 3 21 gyy F y v gy Fv 3 2 a F b sd sFfsA c o s ):( 的夹角正向小于或等于与 SF :ba到质点由 ,ds F取力元位移 作功 dA F ds元 功 作功总和为整个过程 F b a A d A F d s 作功恒力对沿直线运动物体).1( 作功变力对沿曲线运动物体).2( 合力的功).3( b aA F d s总 合 sdFFFba n ). . .( 21 sdFsdFsdF ba nbaba .21 nAAA .21 分力的功的代数和 合力的功等于各 功率表示作功的快慢).4( a、平均功率 t AP b、瞬时功率 dt dAP 力的瞬时功率：c 、 dt dAP dt dsF c o s dt dsF c o s vF c o s vF 、动能和动能定理2 F F a b nF av bv 等于质点动能的增量合外力对质点所作的功 初末 kkab EEA dsFdsFA babaab c o s dsdtdvmdsma baba 2 2 12 2 1 abv v mvmvm v d v b a kakb EE 、保守力和非保守力1 万有引力的功)1( 与路径无关 M a b m sd dr 2r mMGf dsfdA c o s co s )180co s ( f d s dsf fdr f barr ba rr GmMdrrmMGA )11(2 )()( ba r mMG r mMG 初 末 r a r b 重力的功与路径无关.2 重力的功)2( 与路径无关 a b x y z o ahbh )()( bah h abab hhmghhmgm g d zA b a 初 末 a b xo 0l 弹簧弹性力作的功)3( 与路径无关 点弹性力作的功点到小球由 ba baxxab xdFA b a x x k x d x 2222 2 1 2 1)( 2 1 baab kxkxxxk 初 末 称之为保守力。而与所经路径无关，则 体的始末位置，如果力作功仅与运动物 力等。还有，静电场力、分子 有引力都是保守力重力、弹簧弹性力、万 摩擦力的功)4( 与路径有关 a bm m 1S 2S f f 1L 2L mgf m gdsdA 摩擦力所作元功： ：运动，摩擦力所作的功沿路径 1L 1 1 L L m g d sA 1m g S ：运动，摩擦力所作的功沿路径 2L 2 2 2 mg Smg d sA L L 称为非保守力 作功与路径有关的力 是磁力、火药爆炸力等亦 摩擦力是非保守力 ， 、势能2 功。负值等于保守力所作的 作用下，势能的增量的定义：质点在保守力的 )( ab PP EEA 保 能零点选取有关）在某点的势能：（与势 势能零点 保保 aP sdFAE a 质点从该点经任意路径到势能 零点过程中的保守力所作功 选取无关势能之差却与势能零点 选取有关某点的势能与势能零点 2 2 1 1 kxE r G M mEm g hE P PP 弹性势能： 引力势能：重力势能： 常见势能函数： 弹 引重 0kikii EEA 0knknn EEA 2022 kk EEA 1011 kk EEA 动能定理：对质点组中每个质点用 质点组 力）内力（质点间相互作用 质点组受到外力和 0kki EEAAA 内外 00i ki ki k kA E E E E PP EEA AAA 0保内 非保内保内内 00 )( kkPP EEAEEA 非保内外 0)()( 00 EEEEEEAA PkPk 非保内外即： 保守内力的功的代数和于它所受一切外力和非 点组机械能的增量，等质点组的功能原理：质 功的计算1 (), (),F FxF F A Fds （）已知：等应用求力作的功 dh h 1h 0h 331 10/kg m解：已知水的密度。 ghdmdA dm 元功：质量的水抽到地面需作将 Sdhdm S g h d hdA 23 : 5 0 , 1 .5 5 .0 m mm 例一地下蓄水池，面积为 贮水深度为 。假定水平面低于地面的高度是。问 要将这池水全部吸到地面，需作功多少？ 10 0 hh h dAA 地面需作功：将蓄水池中水全部吸到 10 0 hh h S gh d h )2(21 1021 hhhSg )(1023.4 )5.10.525.1(8.950101 2 1 6 23 J N d ds f mg sinmg cosmg dt dv mfmg cos 向有：根据牛顿第二定律沿切 dt dvmmgf c o s 是变力f AB解：以在物体为研究对象，由到的过程中， 任取一位置进行受力分析 O 4 m A B B vR AB 例：质量为的物体从静止开始，在竖直平面内 沿着四分之一的圆周从滑到（如图）。在处 速度的大小是，已知圆的半径为，用作功定义 求物体从到摩擦力所作的功。 A R v B 摩擦力所作元功：物体经过位移元 ds fd sdA dsdtdvmmg )c o s( 过程摩擦力所作的功：到由 BA dAA dsdt dvmdsmg )()c o s( dvdtdsmdRmg v 0 2 0 c o s dvmvmg R v 0 2 2 1 mvm g R 22 2 1 1 2 (2 ) ( ), ( ) , 11 22 F F t r r t A m v m v t t F 已知： 等应用动能定理 求从到力作的功。 ,3 vs 末的速度为解：设物体在 maF 根据牛顿第二定律： dt dva m F 10 24 2t 2 5 10 0 4 2 ( ) 3 m kg x t F t N sF 例：质量为 的物体沿轴无摩擦地运动，时， 速度为零。设物体在的作用下运动，经历 了，求力对质点作的功。 dttdv 1024 2 分离变量 30 2 0 )1024( dttdvv两边积分 )/(3 smv 得： 22 2 1 2 1 mvvmA 由动能定理得 )(45031021 2 J dyFAdxFAF AAAjFiFF yyxx yxyx 作的功，其中求力 应用）合力的功。已知：（ ,3 tax c o s解：由题设知： 2 2 dt xda x 则 ta c os2 x2 xmmaF xx 2 6 c o s sin , 0 2 m r a ti b tj a b t t 例：已知一质量为的质点作平面曲线运动，其运动方程为 、均为正常量，试求在到 时间内质点所受合外力的功。 0 2 c o s 2 0c o s0 axt aaxt 时， 时， 02 ax x d xmA 2221 ma tby s i n同理： 2 2 dt yda y ytb 22 s i n ymmaF yy 2 bbyt byt 2 si n 2 00si n0 时， 时， dyFA yy 22 0 2 2 1 mby d ymb )( 2 1 222 bamAAA yx 故合外力作功： dxFA xx 2m xd x A B O R v ）用功能原理计算功。（ 4 用功能原理求 点处为重力势能零点。以 统，解：取物体与地球为系 B m g RE 1 m g REEA Pk 11 ,0点，初态：在 0,21 22 2 Pk EmvEB点，末态：在 2 2 2 1 mvE m g RmvA EEA 2 12 2 1 得：用功能原理 7 m A B B vR AB 例：质量为的物体从静止开始，在竖直平面内 沿着四分之一的圆周从滑到（如图）。在处 速度的大小是，已知圆的半径为，用功能原理 求物体从到摩擦力所作的功。 *例 8:一条均匀链条，质量为 m， 总长 成直线 状放在桌上，设桌面与链条之间的摩擦系数为 。现已知链条下垂长度为 a时，链条开始下滑 ，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。 l a al , 已知： v求： 解：方法 1：利用动能 定理 v 以链条为研究对象 0 2 1 2 mvAA fW Nx Y yg f a v f mg x Y 求重力的功： y gd ydA W )/( lm N l aW g y d yA )( 2 1 22 alg )( 2 22 al l mg 求摩擦力的功： 0 la fA f d x al fdx 0 al x g d x 0 2 )( 2alg 2)( 2 al l mg a v f mg x Y )/( lm N )( 2 22 al l mgA W 2)( 2 al l mgA f 0 2 1 2 mvAA fW 代入动能定理： )( 2 22 al l mg 2)( 2 al l mg 2 2 1 mv )()( 222 alal l g v a v f mg x Y lm/ 2)( 2 al l mgA f 12 EEA f 方法 2：以链条、桌面和 地球为研究对象，由功 能原理： ) 2 ()(1 alagglalE 2 2 2 1 2 mvlmgE 以链条 刚巧全部离开桌面时 链条底端为势能零点 )( al l a v f mg x Y )( l m N 2)( 2 al l mgA f 12 EEA f lalgE )(1 2 2 2 1 2 mvlmgE )()( 222 alal l gv 2)( 2 al l mg ) 2 1 2 ( 2mvlmg ( ) ( ) 2 ag l a l g a l ) 2 ( alga l 角动量动量、冲量1 的积累效应）冲量（力在一段时间内)1( )( 12 ttFI )(tF若变力 ? dtFId 内冲量：在变力 dttF )( 内冲量：在变力 12)( tttF 21tt dtFI ：对恒力 F 合力的冲量： 21tt dtFI 2 1 )(tt i dtF 2 1 )( tt idtF iI 冲量的矢量和合力的冲量等于各分力 动量)2( vmP 角动量)3( m L ro P 角动量定义： vmrPrL s i n r m vL大小： 右手螺旋方向： 特例 O L r P 2s i n rPPrL rmv 角动量定理、动量定理 、2 质点动量定理a 、 a 1v 2vb m )(tF v dt vdmamF dt两边乘 )( vmdvmddtF 两边积分 12 2 1 2 1 )( vmvmvmddtF vm vm t t 积分形式 12 PPI 用冲量表示： （1）动量定理 动量定理微分形式 直角坐标）：动量定理的分量形式（ 12 12 12 2 1 2 1 2 1 zz t t zz yy t t yy xx t t xx PPdtFI PPdtFI PPdtFI 质点组动量定理b 、 PddtF 外 12 2 1 2 1 PPPddtF P P t t 外 微分形式 积分形式 角动量定理)2( 点所受的合外力决定的量的时间变化率是由质由动量定理知：质点动 dt PdF 外 率？质点角动量的时间变化 两边求导对 vmrL dt vmrd dt Ld )( vm dt rd dt vmdr )( 0 vmvvmdtrd () ()dL dmv dv dm dvr r m v r m r ma r F dt dt dt dt dt dL rF dt 即 M r F定义外力矩 dt LdM 注： 的位矢）的作用点对参考点是力（其中， 的力矩对参考点称为力 OFr OFFrM )1( 方向：右手螺旋 力矩的大小： s i nFrM 。的惯性系是固定不动的而且这参考点对于所选 而言，必须是相对同一参考点与中 LM dt Ld M )3( 性系中才成立。角动量定理也只有在惯 顿第二定律导出，所以由于角动量定理是由牛)2( 0EEAA 非保内外 功能原理： 0 非保内外 AA 常量 0EE 机械能守恒定律 12 PPI 动量定理： 0 tFI 外 动量守恒定律 常矢量 21 PP 在直角坐标系中 动量守恒定律 常量时，当 常量时，当 常量时，当 ziziz yiyiy xixix PvmF PvmF PvmF 0 0 0 dt Ld M 角动量定理 0M 常矢量L 角动量守恒定律 适用条件 *例 9、 当货车以匀速 前进时， 砂子从以速度 前进的漏斗车中以速率 dm/dt落入车中，求需用 多大的力才能保持货车以匀速前进。 v u 已知： u v dm/d t 0 求： ?cvF 解：考虑到动量的改 变就是系统所受的力 1）选取 M、 dm为 研究对象， 2）受力分析：水平方向受力 、摩擦力为零。 F 竖直方向的力不影响到水平方向的运动。 3)建立坐标系 OX X o v F u dm M 4)列方程 :考虑一 dt过程，系统初动量 系统末动量 dmuvMp 1 vdmMp )( 2 dmuvpd )( 则 : 依牛二律 : dt dmuv dt pdF )( 讨论 : 1、 0u 2):砂子从车中漏出 : vu dt dmvF 0 0F h m M 应分阶段讨论） 程运用不同力学规律，解：（不同系统不同过 选泥球与地球为系统 落过程第一阶段：泥球自由下 0AA外 非保内有 221 mvm g h故机械能守恒 完全非弹性碰撞过程第二阶段：泥球与板的 量守恒，并取向下为正对泥球与板的系统，动 VMmmv )( 10 M k m M h 例：如图所示的一竖直弹簧，一端与质量为的 水平板相接，另一端与地面固定，其倔强系数为 。一个质量为的泥球自距板上方处自由下落 到板上，求以后泥球与平板一起向下运动的最大位 移？ 统向下运动过程第三阶段：泥球、板系 球的系统，机械能守恒对泥球、板、弹簧及地 零点设平板原始位置为势能 x x 向下的最大位移为泥球落下后与平板共同 此时弹簧压缩量为 0 gxMmxxkVMmkx )()(21)(2121 20220 有 0kxMg 件得：又由平板最初的平衡条 ) )( 2 11( gmM kh k mg x 联立上四式得：