数字信号处理课件-第二章3z变换的基本性质与定理

课件 1 三、 z变换的基本性质与定理 1、线性 若 ( ) ( ) ( ) ( )Z T a x n b y n a X z b Y z ab， 为任意常数 ( ) ( ) xxZ T x n X z R z R ( ) ( ) yyZ T y n Y z R z R m a x( , ) m in ( , )x y x yR R R z R R R 则 课件 2 2、序列的移位 若 ( ) ( ) xxZ T x n X z R z R ( ) ( )mZ T x n m z X zm 为任意整数 xxR z R 则 课件 3 ( ) ( ) ( 3 ) ( )x n u n u n X z 例： ，求 ( ) ( ) ( 3 )X z Z T u n u n 解： ( ) ( 3 )Z T u n Z T u n 3 1 11 zzzz zz 3 2 1 ( 1 ) z zz 2 2 1 0zz z z 课件 4 3、乘以指数序列 若 ( ) ( ) xxZ T x n X z R z R ( )n zZ T a x n X a a 为任意常数 xxa R z a R ( ) ( )n n n n Z T a x n a x n z () n n zzx n X aa x x x x zR R a R z a R a 则 证： 课件 5 4、序列的线性加权（ z域求导数） 若 ( ) ( ) xxZ T x n X z R z R ( ) ( )dZ T n x n z X zdz xxR z R 2 ( ) ( ) Z T n x n Z T n n x n ( ) () d z Z T nx n dz d dX z zz dz dz 则 同理： 课件 6 ( ) ( ) n n X z x n z 证： () ( ) ( ) ( )nn nn d X z d dx n z x n z d z d z d z 11( )( ) ( )nn nn x n n z z n x n z 1 ( ) z Z T n x n () ( ) xx d X zZ T n x n z R z R dz 课件 7 5、共轭序列 若 ( ) ( ) xxZ T x n X z R z R * * * ( ) ( )Z T x n X zxxR z R * * * * ( ) ( ) ( )( ) nn nn Z T x n x n z x n z *()Xz xxR z R 则 证： 课件 8 6、翻褶序列 若 ( ) ( ) xxZ T x n X z R z R 1 ( )Z T x n X z 11 xx zRR 则 ( ) ( ) ( )nn nn Z T x n x n z x n z 证： 1 1( )( ) n n x n z X z 1 1 1 xx xx R R zz R R 课件 9 7、初值定理 证：因为 x(n)为因果序列 () l i m ( ) ( 0) z xn X z x 对于因果序列 ，有 0 ( ) ( ) ( )nn nn X z x n z x n z 12( 0 ) ( 1 ) ( 2)x x z x z li m ( ) ( 0 )z X z x 课件 10 8、终值定理 设 x(n)为因果序列，且 X(z)=ZTx(n)的极 点处于单位圆以内（单位圆上最多在 z=1 处可有一阶极点），则： 1li m ( ) li m ( 1 ) ( ) nzx n z X z 11( ) li m ( ) li m ( 1 ) ( ) R e ( ) znzx x n z X z s X z 课件 11 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )Z T x n x n z X z 证：利用序列的移位，得 1 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) l i m ( 1 ) ( ) nn nn n m n m x n x n z x n x n z x m x m z 1 1 l i m ( 1 ) ( ) l i m ( 1 ) ( ) 1 n m zn m z X z x m x m li m ( 0) 0 ( 1 ) ( 0) ( 2 ) ( 1 ) n x x x x x ( 1 ) ( ) l i m ( 1 ) l i m ( )nnx n x n x n x n 11( ) li m ( 1 ) ( ) R e ( ) zzx z X z s X z 课件 12 9、有限项累加特性 设 x(n)为因果序列，即 x(n)=0， n0 ( ) ( ) xZ T x n X z z R 0 ( ) ( )1 n m zZ T x m X z z m a x , 1xzR 则 课件 13 ()xn证： 为因果序列 0 0 0 ( ) ( ) nn n m n m Z T x m x m z 0 () n m n m x m z 1 1 0 ( ) 1 11 m m zx m z z z 1 0 1 () 1 m m x m zz ()1 xz X z z Rz m a x , 1xzR n m m=n 0 课件 14 10、序列的卷积和（时域卷积和） 设 y(n)为 x(n)与 h(n)的卷积和： ( ) ( ) xxX z Z T x n R z R ( ) ( ) ( ) ( )Y z Z T y n X z H z ( ) ( ) hhH z Z T h n R z R ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) m y n x n h n x m h n m m a x( , ) m in ( , )x h x hR R z R R 则 且 课件 15 ( ) * ( ) ( ) * ( ) n n Z T x n h n x n h n z 证： ( ) ( ) n nm x m h n m z ( ) ( ) n mn x m h n m z ( ) ( ) ( ) ( ) m m x m z H z H z X z m a x , m in ,x h x hR R z R R 课件 16 1 L S I ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) nn n h n b u n a b u n x n a u n 例：已知 系统的单位抽样响应： ， 求系统输入 的响应。 ( ) ( ) ( ) n zX z Z T x n Z T a u n z aza 解： 1( ) ( ) ( ) ( 1 ) nnH z Z T h n Z T b u n a b u n 1 ( ) ( 1 ) nnZ T b u n a Z T b u n 1 z z z aa z z b z b z b z b ( ) ( ) ( ) zY z X z H z z bzb ( ) ( ) * ( ) ( ) ( )ny n x n h n I Z T Y z b u n Re z Im jz 0 b a 课件 17 11、序列相乘（ z域复卷积定理） 若 ( ) ( ) xxX z Z T x n R z R ( ) ( ) ( ) ( )Y z Z T y n Z T x n h n ( ) ( ) hhH z Z T h n R z R ( ) ( ) ( )y n x n h n x h x hR R z R R 11 () 2 c zX H v v d v jv m a x , m i n ,hh xx zzR v R RR 则 且 课件 18 ( ) ( ) ( ) ( ) n n Z T x n h n x n h n z 证： 11( ) ( ) 2 nn cn x n H v v dv zj 1 ( ) ( ) 2 nn cn dvx n H v v z jv 1 ( ) ( ) 2 n c n z dvH v x n j v v 11 () 2 c zH v X v d v jv hhR v R m a x , m i n ,hh xx zzR v R RR x h x hR R z R R xx zRR v 课件 19 ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) ( )nx n u n y n a a w n x n y n 例：已知 1 求 1 1( ) 1 1X z zz 解： 2 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) aY z a z a az az 11( ) ( ) 2 c zW z Y v X v d v jv 2 1 1 1 1 1 2 ( 1 )( 1 ) 1c a dv vj a v a v v z 1m a x , m in , 1 zza v a 1,v v a a z平面极点： c v a内极点 ，单阶 11a a z a 课件 20 1 1( ) R e ( ) 1vaW z s F v a zaz ( ) ( ) ( )nw n I Z T W z a u n 课件 21 12、 Parseval定理 若 ( ) ( ) xxX z Z T x n R z R ( ) ( ) hhH z Z T h n R z R 1x h x hR R R R * * 1 * 11( ) ( ) ( ) 2 cn x n h n X v H v d vjv 11m a x , m i n , xx hh R v R RR 则 且 课件 22 * * *1 * 1 = , 2 n n x h x h c Y z Z T y n x n h n z z X v H v dv R R z R R jv 利用复卷积公式可得 * 1 *1 * 11 2 z n c Y z x n h n X v H v dv jv 则 * : y n x n h n证 令 * * * Z T h n H z 由于 1x h x hR R R R 又 课件 23 * * 1* 11 2 j c n h n v e x n h n X v H v d v jv 当 是实序列，且 时 则 22 1 2 j n x n h n x n X e d 当= 则 *112 j j jjX e H e d eje *12 jjX e H e d *112 j j jjX e H e j e dje