数列的概念及简单表示法

考基联动 考向导析 限时规范训练 第 1 讲 数列的概念及简单表示法 1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表 、 图象 、 通项公式 ) 2 了解数列是自变量为正整数的一类函数 . 考基联动 考向导析 限时规范训练 1 数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 项 2数列的分类 一定顺序 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 , 无穷数列 项数 , 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an 1 an 其中 n N 递减数列 an 1 an 常数列 an 1 an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M，使 |an| M 摆动数列 an的符号正负相间，如 1， 1,1， 1， 有限 无限 考基联动 考向导析 限时规范训练 3. 数列的表示法 数列有三种表示法 ， 它们分别是 、 和 4.数列的通项公式 如果数列 an的第 n项 an与 n之间的函数关系可以用一个式子 来 表示 ， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法 图象法 解析法 an f(n) 5 已知 S n ， 则 a n S 1 n 1 S n S n 1 n 2 . 数列 a n 中 ， 若 a n 最大 ， 则 a n a n 1 ， a n a n 1 . 若 a n 最小 ， 则 a n a n 1 ， a n a n 1 . 考基联动 考向导析 限时规范训练 联动思考 想一想： 数列可以看成一个以 n为自变量的函数 ， 则其定义域是什么 ？ 答案： 其定义域为正整数 N*或其有限子集 1,2， ， n 议一议： 数列的通项公式唯一吗 ？ 举例说明 答案： 不唯一 ， 如数列 1,1， 1,1， 的通项公式可以为 an ( 1)n或 an . 考基联动 考向导析 限时规范训练 联动体验 1 在数列 1,1 ,2,3 ,5,8 ， x, 21, 34, 55 中， x 应等于 ( ) A 1 1 B 12 C 13 D 14 解析： 从第 3 项起，每一项是由其前面两项的和得到的 答案： C 2 已知数列 a n 的通项公式是 a n 2 n 3 n 1 ，那么这个数列是 ( ) A 递增数列 B 递减数列 C 摆动数列 D 常数列 解析： a n 1 a n 2 n 1 3 n 1 1 2 n 3 n 1 2 3 n 1 1 3 n 1 0 ， a n 1 a n ，数列 a n 为递增数列 答案： A 考基联动 考向导析 限时规范训练 3 在数列 an中 ， an 1 an 2 an， a1 2， a2 5， 则 a6的值是 ( ) A 3 B 11 C 5 D 19 解析： a3 a2 a1 5 2 3 a4 a3 a2 3 5 2 a5 a4 a3 2 3 5 a6 a5 a4 5 2 3. 答案： A 4 (2010安徽卷 )设数列 an的前 n项和 Sn n2， 则 a8的值为 ( ) A 15 B 16 C 49 D 64 解析： a8 S8 S7 82 72 (8 7)(8 7) 15. 答案： A 考基联动 考向导析 限时规范训练 5 若数列 an的前 n项和 Sn n2 10n(n 1,2,3， )， 则此数列的通项公式为 an _；数列 nan中数值最小的项是第 _项 解析： 当 n2时， Sn Sn 1 2n 11， n 1时也符合，则 an 2n 11， nan 2n2 11n 2 且 n N*，故 n 3时， nan最小 答案： 2n 11 3 n 114 2 1218 ， 考基联动 考向导析 限时规范训练 考向一 由数列的前几项写数列的 通项公式 【 例 1】 写出下面各数列的一个通项公式： ( 1 ) 3 , 5 , 7 , 9 ， ； ( 2 ) 1 2 ， 3 4 ， 7 8 ， 15 16 ， 31 32 ， ； ( 3 ) 1 ， 3 2 ， 1 3 ， 3 4 ， 1 5 ， 3 6 ， ； ( 4 ) 3 , 33 , 333 , 3 333 ， . 解： (1) 各项减去 1 后为正偶数，所以 a n 2 n 1. (2) 每一项的分子比分母少 1 ，而分母组成数列 2 1, 2 2, 2 3, 2 4 ， ，所以 a n 2 n 1 2 n . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子 ( 1)n；各项绝对值的分母 组成数列 1,2,3,4， ；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数 项为 3，即奇数项为 2 1，偶数项为 2 1， 考基联动 考向导析 限时规范训练 所以 a n ( 1 ) n 2 1 n n . 也可写为 a n 1 n n 为正奇数 3 n n 为正偶数 . ( 4 ) 将数列各项改写为 9 3 ， 99 3 ， 999 3 ， 9 999 3 ， ， 分母都是 3 ， 而分子分别是 10 1 , 10 2 1 , 10 3 1 , 10 4 1 ， ， 所以 a n 1 3 ( 10 n 1 ) 反思感悟：善于总结 ， 养成习惯 根据数列的前几项求它的一个通项公式 ， 要注意观察每一项的特点 ， 可使用 添项 、 还原 、 分割等办法 ， 转化为一些常见数列的通项公式来求 考基联动 考向导析 限时规范训练 迁移发散 1 数列 1 ， 8 5 ， 15 7 ， 24 9 ， 的一个通项公式 a n 是 ( ) A ( 1) n n 2 2 n 1 B ( 1) n n n 2 n 1 C ( 1) n n 2 2 1 2 n 1 D ( 1) n n n 2 2 n 1 解析： 将数列中的各项变为 1 3 3 ， 2 4 5 ， 3 5 7 ， 4 6 9 ， ，故其通项公式 a n ( 1) n n n 2 2 n 1 . 答案： D 考基联动 考向导析 限时规范训练 考向二 由数列的递推关系求通项公式 【 例 2】 根据下列条件 ， 确定数列 an的通项公式 (1)a1 1， an 1 3an 2； (2)a1 1， an 1 (n 1)an. 解： (1) a n 1 3 a n 2 ， a n 1 1 3( a n 1) ， a n 1 1 a n 1 3 ， 数列 a n 1 为等比数列，公比 q 3 ，又 a 1 1 2. a n 1 2 3 n 1 ， a n 2 3 n 1 1. (2) a n 1 ( n 1) a n ， a n 1 a n n 1 ， a n a n 1 n ， a n 1 a n 2 n 1 ， a 3 a 2 3 ， a 2 a 1 2 ， a 1 1 ， 累乘可得： an n (n 1) (n 2) 3 2 1. 考基联动 考向导析 限时规范训练 反思感悟：善于总结 ， 养成习惯 已知数列的递推关系 ， 求数列的通项时 ， 通常用累加 、 累乘 、 构造法求解 当 出现 an an 1 m时 ， 构造等差数列；当出现 an xan 1 y时 ， 构造等比数列； 当出现 an an 1 f(n)时 ， 用累加法求解；当出现 f(n)时 ， 用累乘法求解 ana n 1 考基联动 考向导析 限时规范训练 迁移发散 2 根据下列条件 ， 确定数列 an的通项公式 (1)在数列 an中 ， an 1 3a， a1 3； (2)在数列 an中 ， a1 1， an 1 ； (3)在数列 an中 ， a1 2， an 1 4an 3n 1； (4)在数列 an中 ， a1 8， a2 2， 且满足 an 2 4an 1 3an 0. 解： (1)由已知 an 0， 在递推关系式两边取对数 有 lg an 1 2lg an lg 3， 令 bn lg an， 则 bn 1 2bn lg 3， bn 1 lg 3 2(bn lg 3)， bn lg 3是等比数列 ， bn lg 3 2n 12lg 3 2nlg 3， bn 2nlg 3 lg 3 (2n 1)lg 3 lg an an 32n 1. an 2an 1 考基联动 考向导析 限时规范训练 ( 2 ) 将 a n 1 a n 2 a n 1 取倒数得 ： 1 a n 1 2 1 a n ， 1 a n 1 1 a n 2 ， 1 a n 是以 1 a 1 1 为首顶 ， 公差为 2 的等差数列 1 a n 1 2 ( n 1 ) ， a n 1 2 n 1 . (3)由 an 1 4an 3n 1， 得 an 1 (n 1) 4(an n)， 又 a1 1 1， 所以数列 an n是首项为 1， 且公比为 4的等比数列 ， an n (a1 1)4n 1， an 4n 1 n. (4)将 an 2 4an 1 3an 0变形为 an 2 an 1 3(an 1 an)， 则数列 an 1 an是以 a2 a1 6为首项 ， 3为公比的等比数列 ， 则 an 1 an 63n 1， 利用累加法可得 an 11 3n. 考基联动 考向导析 限时规范训练 考向三 由数列的 Sn与 an的关系求通项公式 【 例 3】 (2010临沂调研 )已知数列的前 n项和为 Sn，满足 log2(1 Sn) n 1， 求数列的通项公式 解： log2(1 Sn) n 1， 1 Sn 2n 1， Sn 2n 1 1， an Sn Sn 1 (2n 1 1) (2n 1) 2n(n2) 又 n 1时 ， a1 3不符合上式 ， an 3 n 1，2 n n 2. 考基联动 考向导析 限时规范训练 反思感悟： 善于总结 ， 养成习惯 数列的通项 an与前 n项和 Sn的关系是 an ， 此公式经常使用 ， 应 引起足够的重视 已知 an求 Sn时方法千差万别 ， 但已知 Sn求 an时方法却是高度统 一 当 n2时求出 an也适合 n 1时的情形 ， 可直接写成 an Sn Sn 1， 否则分段 表示 S 1 n 1 S n S n 1 n 2 考基联动 考向导析 限时规范训练 迁移发散 3 已知下列数列 an的前 n项和 Sn， 求 an的通项公式： (1)Sn 2n2 3n； (2)Sn 3n b. 解： (1)a1 S1 2 3 1， 当 n2时 ， an Sn Sn 1 (2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) 4n 5， 由于 a1也适合此等式 ， an 4n 5. (2)a1 S1 3 b， 当 n2时 ， an Sn Sn 1 (3n b) (3n 1 b) 23n 1. 当 b 1时 ， a1适合此等式； 当 b 1时 ， a1不适合此等式 当 b 1时 ， an 23n 1； 当 b 1 时 ， a n 3 b ， n 1 ，2 3 n 1 ， n 2. 考基联动 考向导析 限时规范训练 考向四 数列性质的应用 【 例 4】 已知数列 an的前 n项和为 Sn， 并且满足 a1 2， nan 1 Sn n(n 1) (1)求 an的通项公式； (2)令 Tn nSn， 问是否存在正整数 m， 对一切正整数 n， 总有 TnTm， 若存 在 ， 求 m的值；若不存在 ， 说明理由 解： (1)令 n 1， 由 a1 2， 及 nan 1 Sn n(n 1) 得 a2 4， 故 a2 a1 2 当 n2时 ， 有 (n 1)an Sn 1 n(n 1) 得 nan 1 (n 1)an an 2n. 整理得 an 1 an 2(n2) 当 n 1时 ， a2 a1 2， 数列 an是以 2为首项 ， 以 2为公差的等差数列 ， an 2 (n 1) 2 2n. (2)由 (1)得 Sn n(n 1)， 45 考基联动 考向导析 限时规范训练 T n 4 5 n S n 4 5 n ( n 2 n ) T n 1 4 5 n 1 ( n 1) 2 ( n 1) 令 T n T n 1 T n T n 1 ， 即 4 5 n n 2 n 4 5 n 1 n 1 2 n 1 4 5 n n 2 n 4 5 n 1 n 1 2 n 1 ， n 4 5 n 2 ， 4 5 n 1 n 1 ， 解得 8 n 9. T 1 T 2 T 3 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 . 存在正整数 m 对一切正整数 n ，总有 T n T m ，此时 m 8 或 m 9. 考基联动 考向导析 限时规范训练 反思感悟： 善于总结 ， 养成习惯 1 数列是一类特殊的函数 ， 解题时注意函数与方程思想的应用 ， 以及转化思想 也是解题的常用方法 2 数列的单调性是高考常考内容之一 ， 有关数列最大项 、 最小项 、 数列有界性 问题均可借助数列的单调性来解决 ， 判断单调性时常用 作差法 ， 作商 法 ， 结合函数图象等方法 考基联动 考向导析 限时规范训练 迁移发散 4 已知数列 an的前 n项和 Sn n2 24n(n N*) (1)求 an的通项公式； (2)当 n为何值时 ， Sn达到最大 ？ 最大值是多少 ？ 解： (1)n 1时 ， a1 S1 23. n2时 ， an Sn Sn 1 n2 24n (n 1)2 24(n 1) 2n 25. 经验证 ， a1 23符合 an 2n 25， an 2n 25(n N*) (2) Sn n2 24n， n 12时 ， Sn最大且 Sn 144. 考基联动 考向导析 限时规范训练 课堂总结 感悟提升 1 用归纳法据前几项写出数列的一个通项公式 ， 体现了由特殊到一般的思维 方法 ， 需要我们有一定的数学观察能力和分析能力 ， 并熟知一些常见的数 列的通项公式 ， 如：数列 n2， 2n， ( 1)n， 2n， 2n 1 2 对于符号 (数字 、 字母 、 运算符号 、 关系符号 )、 图形 、 文字所表示的数学问 题 ， 要有目的的观察并得出结论 ， 是学习数学应重视的能力 ， 应多进行对 比 ， 分析 ， 从整体到局部多角度进行观察 ， 观察的结果要求要准确 、 完 整 、 深刻 3 求数列的通项公式是本节的重点 ， 主要掌握两种求法： (1)由数列的前几项归纳出一个通项公式 ， 关键是善于观察； (2)数列 an的 前 n项和 Sn与数列 an的通项公式 an的关系 ， 要注意验证能否统一到一个式 子中 考基联动 考向导析 限时规范训练 单击此处进入 限时规范训练