扭矩的正负号规定为

扭矩的正负号规定为： 自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正， 顺时针转向为负 。 第 7章 剪切与扭转 扭矩图 常用与轴线平行的 x坐标表示横截面的位置， 以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩， 把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画 在 x轴上方，负值扭矩画在 x轴下方。这种图 形称为 扭矩图 。 A轮为 主动轮，输入功率 ， B、 C、 D为从动轮，输出功率分别为 kW10AN 试求各段扭矩。 kW0.2DN kW5.4BN kW5.3CN m inr3 0 0n例题 7.1 图示传动轴，转速 第 7章 剪切与扭转 mN3.318m inr300 kW1095499549e nNM AA mN2.143m inr300 kW5.495499549e nNM BB mN4.11 1m inr30 0 kW5.395 4995 49e nNM CC mN7.63m inr30 0 kW0.295 4995 49e nNM DD 解： 1、计算外力偶矩 第 7章 剪切与扭转 T2、 T3为负值说明实际方向与假设的相反。 mNT 1 7 5m a x 1、分段计算扭矩，分别为 mN2.143e1 BMT （图 c） mN- 1 7 5mN3 1 8 . 3-mN2.1 4 3 ee2 AB MMT （图 d） mN7.63e3 DMT （图 e） 2、作扭矩图 第 7章 剪切与扭转 第 7章 剪切与扭转 1、变形几何关系 7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力 7.3.1 实心圆轴横截面上的应力 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设 ； 横截面上的半径仍保持为直线； 各横截面的间距保持不变。 第 7章 剪切与扭转 xd d 2、物理关系 G x GG d d 第 7章 剪切与扭转 3、静力学关系 dA AT A TAxG ddd 2 p 2 d IA A 称截面的极惯性矩 pd d GI T x 得到圆轴扭转横截面上 任意点 切应力公式 pI T 第 7章 剪切与扭转 pp m ax R W T I T R当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大 它是与截面形状和尺寸有关的量。 pW 式中 称为 抗扭截面系数。 7.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数 实心圆截面的极惯性矩： 32 2 4 2 0 32 DddAAI D AP 第 7章 剪切与扭转 抗扭截面系数为： 4 3 32 / 2 1 6 2 P P DI D W DD 空心圆极惯性矩轴： )1(32)(322 4 4 442 2 32 DdDddAAI D dAP )1(162/ 4 3 DDIW PP D d式中 为空心圆轴内外径之比。 空心圆的抗扭截面系数 第 7章 剪切与扭转 极惯性矩 的量纲是长度的四次方， 常用的单位为 mm4 抗扭截面系数 的量纲是长度的三次方， 常用单位为 mm3 第 7章 剪切与扭转 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得 超过材料的许用切应力 m a xp m a x W T ，即 7.4 等直圆轴扭转时的强度计算 7.4.1 圆轴扭转强度条件 6.05.0 0.18.0 上式称为圆轴扭转强度条件。 塑性材料 脆性材料 试验表明，材料扭转许用切应力 第 7章 剪切与扭转 例题 7.2 汽车的主传动轴，由 45号钢的无缝钢管 制成， 外径 ，壁厚 工作时的最大扭矩 ， 若材料的许用切应力 ， 试校核该轴的强度。 mm90D mm5.2 1.5 N mT M P a60 944.090 5.2290 Dd 解： 1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比 第 7章 剪切与扭转 33 4 4 3 2 3 p ( 9 0 )(1 ) (1 0 . 9 4 4 ) m m 2 9 5 1 0 m m 1 6 1 6 DW 抗扭截面系数为 6 m a x 23 p 1.5 10 N m m 50.8 MP a 295 10 m m T W 2、计算轴的最大切应力 3、强度校核 M P a8.50m a x 主传动轴安全 第 7章 剪切与扭转 例题 7.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定 实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。 解： 1、求实心轴的直径，要求强度相同， 即实心轴的最大切应力也为 ， 即 MPa51 6 3 1p 1. 5 10 N m m 51 M P a 16 T DW 6 31 1 6 1 .5 1 0 N m m 5 3 .1 m m 5 1 Pa D M 第 7章 剪切与扭转 2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴 重量之比等于两轴横截面面积之比，即： 31.0 1.53 8590 4 )( 4 2 22 2 1 22 D dD A A 实 空 第 7章 剪切与扭转 由此题结果表明，在其它条件相同的情况 下，空心轴的重量只是实心轴重量的 31%， 其节省材料是非常明显的。 讨论： 7.5.1 圆轴扭转时的变形 7.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件 pd d GI T x 轴的扭转变形用两横截面的 相对扭转角： xGIT dd p pp dd GITlxGIT l l 相距长度为 l的两横截面相对扭转角为 rad pGI 当扭矩为常数，且 也为常量时， 第 7章 剪切与扭转 式中 称为圆轴 扭转刚度 ， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。 pGI 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭 转角。若两横截面之间 T有变化，或极惯 性矩变化，亦或材料不同（切变模量 G变 化），则应通过积分或分段计算出各段的 扭转角，然后代数相加，即： n i ii ii IG lT 1 p 第 7章 剪切与扭转 对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆 长度的变化率用表示，称为单位长度扭转角。 即： pd d GI T x 7.5.2 圆轴扭转刚度条件 对于建筑工程、精密机械， 刚度的刚度条件： m ax 1 8 0 m a xp m a x GI T 第 7章 剪切与扭转 在工程中 的单位习惯用（度 /米）表示， 将上式中的弧度换算为度，得： 对于等截面圆轴，即为： 180 p m a x m a x GI T m)(30.0m)(15.0 许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、 生产要求和工作条件等因素确定。 对于精密机器的轴， 对一般传动轴 m)(0.1m)(5.0 第 7章 剪切与扭转 mm50d例题 7.4 图示轴的直径 G Pa80G 试计算该轴两端面之间的扭转角。 切变模量 第 7章 剪切与扭转 解： 两端面之间扭转为角： )2( pppp BCAB CDBCAB AD TTGI l GI lT GI lT GI lT 4 4 4 4 4 p ( 5 0 ) m m 6 1 . 3 6 1 0 m m 3 2 3 2 dI 66 34 500 ( 2 2 10 1 10 ) 80 10 61.36 10 0.051 r a d AD 第 7章 剪切与扭转 kW60P例题 7.5 主传动钢轴，传递功率 ，传动轴的许用切应力 许用单位长度扭转角 切变模量 ，求传动轴所需的直径 m inr250n M P a40 m)(5.0 G Pa80G 解： 1、计算轴的扭矩 mN2292m inr250 kW609549 T 2、根据强度条件求所需直径 3 p 16 d T W T 第 7章 剪切与扭转 3 33 16 16 229 2 10 N m m 66. 3 m m 40 P a Td M 3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径 1 8 0 pGI T 3 4 4 33 3 2 3 2 2 2 9 2 1 0 N m m 7 6 m m 8 0 1 0 Pa 0 . 5 ( ) 1 0 m m 180 Td G M 故应按刚度条件确定传动轴直径，取 mm76d 第 7章 剪切与扭转