轴向拉压变形及应变能力学性质

拉 伸 和 压 缩 第 7章 7 2 横截面上的应力 7 3 拉压杆的强度计算 7 4 斜截面正应力 7 6 拉（压）杆内的应变能 7 8 简单的拉，压超静定问题 7 5 拉（压）杆的变形和位移 7 7 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能 7 9 拉（压）杆接头的计算 7 1 轴力及轴力图 内 容 提 要 拉（压）杆的变形与位移 拉（压）杆内的应变能 低碳钢和铸铁受拉伸和压 缩时的力学性能 7 5 拉（压）杆的变形与位移 l d 一、 变形与线应变 d1 P P l1 l d d1 P P l1 杆件的纵向伸长为 lll 1 纵向线应变为 l l 伸长时纵向线应变为正，缩短时纵向线应变为负。 l d d1 P P l1 杆件在纵向变形的同时，将有横向变形。 ddd 1 杆件的横向线应变为 dd 伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。 l d d1 P P l1 二、泊松比 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩 沿纵向缩短时，横向则伸长。 l d d1 P P l1 横向线应变与纵向线应变之间的关系 称为 泊松比 或 横向变形因数 l d d1 P P l1 横向线应变与纵向线应变之间的关系 称为 泊松比 或 横向变形因数 胡克 (R.Hooke)1678年发 表根据实验得出的物理定 律 胡克定律 材料力学简史 胡克（ Hooke Robert,1635 1703年 ) 胡克 1635年出生于英格兰怀特岛清水村 ,1653年到牛津大 学作工读生。 1655年成为玻意耳的助手，由于他的实验才能， 1662年被任命为皇家学会的实验主持人， 1663年获硕士学位， 同年被选为皇家学会正式会员，又兼任了学会陈列室管理员和 图书管理员。 1665年任格雷姆学院几何学教授， 1667 1683年 任学会秘书并负责出版会刊。 1703年在伦敦逝世。 17世纪英国优秀的物理学家和天文学家。他的成就是多方 面的。在光学和引力研究方面仅次于牛顿，而作为科学仪器的 发明者和设计者，在当时是无与伦比的。 1665年，胡克提出了光的波动学说，将光振动的传播同 水波的传播相比较。 1672年，他进一步指出，光振动可以垂 直于光传播的方向，他还研究了云母片的颜色，确认光现象 随着云母片厚度的变化而变化。 胡克根据弹簧实验的结果，于 1678年得出了胡克定律， 即在比例极限内，弹性物体的应力与应变成正比。 1674年，胡克根据修正的惯性原理，以及离开太阳的离 心力同向着太阳的吸引力之间的平衡，提出了行星运动的理 论。 胡克的主要著作有 显微检测法 、 哲学实验与观察 等。 三、胡克定律 实验表明工程上大多数材料都有一个 弹性阶段 ，在此范围内 轴向 拉、压 杆件的 伸长 或 缩短量 l ， 与轴力 FN 和杆长 l 成正比，与横截面面积 A 成反比 。 EA lFl N 式中 E 称为 弹性模量 ， EA 称为 抗拉（压）刚度 。 上式称 胡克定律 上式改写为 l lEAF N AF N ll EA lFl N E 胡克定律： 在线弹性范围 ，正应力与线应变成正比 。 或称单轴应力状态下的胡克定律。 例题 ：图示为一阶梯形钢杆。 AB 段和 BC 段的横截面面积为 A1 = A2 = 500 mm2 ， CD 段的横截面面积为 A3 = 200 mm2 ，已知钢 的弹性模量 E = 2.0 105 MPa。 试求杆的纵向变形。 B C A D 10KN 30KN 100mm 100mm 100mm B C A D 10KN 30KN 100mm 100mm 100mm 解：画轴力图 + - 10KN 20KN 1 2 3 KNFFKNF NNN 10,20 321 B C A D 10KN 30KN 100mm 100mm 100mm + - 10KN 20KN 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 5 5 5( 2 1 0 1 1 0 2 .5 1 0 ) 0 .0 1 5 N N NF l F l F ll l l l E A E A E A m mm 1 2 3 KNFF KNF NN N 10 ,20 32 1 B C A D 10KN 30KN 100mm 100mm 100mm 1 2 3 l 也是杆的两个端面 A 和 D 沿杆的轴线方向的相对线位移 , 负号 表示两截面靠拢。 由于 A 截面不动。 l 也是 D 截面沿杆轴方向的绝对位移 D 。负 号表示 D 截面向左移动。 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 5 5 5( 2 1 0 1 1 0 2 .5 1 0 ) 0 .0 1 5 N N NF l F l F ll l l l E A E A E A m mm B C A D 10KN 30KN 100mm 100mm 100mm 1 2 3 BC段的纵向变形 l2= -0.01mm 也就是 B 截面和 C 截面的相对纵 向位移 lBC。 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 5 5 5( 2 1 0 1 1 0 2 .5 1 0 ) 0 .0 1 5 N N NF l F l F ll l l l E A E A E A m mm B C A D 10KN 30KN 100mm 100mm 100mm 1 2 3 C 截面的相对纵向位移 C ，则应是 B 截面纵向位移 B 加上 C 截面与 B 截面的相对纵向位移 lBC 。 552 1 0 1 1 0 0 . 0 1 ( )C m m 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 5 5 5( 2 1 0 1 1 0 2 .5 1 0 ) 0 .0 1 5 N N NF l F l F ll l l l E A E A E A m mm 例题 ： 图示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰接，两 杆与铅垂线均成 = 300 的角度， 长度均为 l = 2m，直径均为 d = 25mm，钢的弹性模量为 E = 210 GPa。设在点 A处悬挂一 重物 P =100 kN，试求 A 点 的位移 A。 A B C 1 2 P A x y 解：列平衡方程，求杆的轴力： 0s i ns i n0 12 FFx NN 0c o sc o s0 21 PFFy NN c o s221 PFF NN FN2 FN1 A B C 1 2 两杆的变形为 c o s2 121 EA Pl EA lFll N （伸长） 变形的几何 相容 条件是 :变形后，两杆仍应铰结在一起。 A 1 2 B C A A B C 1 2 A B C 1 2 A 1 2 B C A 画变形图求位移 以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A， 即为 A 点的新位置。 AA 就是 A 点的位移。 A 1 2 B C A A1 l1 A2 1 2 A C B A A 1 2 B C A A1 l1 A2 A 1 2 A C B A 因变形很小，故可过 A1、 A2 分别做两杆的垂线，相交于 A 可认为 AAAA A 1 2 B C A A1 l1 A2 1 2 A C B A 4 dA 2 c o s 1lAAA 2c os2 EA Pl )(mm3.1m0 0 1 3.0 A所以 （单位 J ) V= W 根据能量守恒，积蓄在弹性体内的 应变能 在数值上等于外力所 作的功，即： 7-6 拉 (压 ) 杆内的 应变能 应变能 ：伴随 弹性变形 增减而改变的能量。 一、应变能 本节只讨论 线弹性体 l lFlFW N2121 F l o lFV N EA Fl EA lFl N F l l l F l o lFV N 21 F l l EA lF EA Fll N EA lFV N 2 2 E （单位 J/m3) 222 1 22 E E 应变能密度： 单位体积的应变能。记作 。 二、比能（ 应变能密度 ） 2 12 1 Al lF V V 例题 ：杆系如图所示，求系统内的应变能和外力所作的功。已知 各杆的长度 l = 2m ，直径 d = 25 mm ，弹性模量 E=2.1105MPa , 荷载 F = 100KN ， =300 。 A B C 1 2 A B C 1 2 解 : 已求得 c o s221 FFF NN VV 21 mNEA lFVV N .65222 2 11 mNAFW .6521 )(mm3.1 A 材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特 性称材料的 力学性能 ，也称 机械性质 。 研究材料的力学性能的目的是确定材料的一些重要 性能指标 ，以作为计算材料强度、 刚度和选用材料的 依据。 材料的机械性质通过 试验 测定，通常为 常温静载试 验 。试验方法应按照国家标准进行。 7 6 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能 试件和试验设备 试件 l 标距 d 直径 试件和试验设备 试件 l 标距 d 直径 l = 10d 长试件； l = 5d 短试件。 试验设备 液压式试验机 电子拉力试验机 一、 低碳钢拉伸试验 1、试验方法 d 工程上常用的材料品种很多，材力中主要讨论 塑性材料 脆性材料 典型代表 : 低碳钢 金属材料 。 典型代表 : 铸铁 d 先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为 标距 l 。 l = 10d 或 l = 5d l 标距 设备主要有两类，一类称为 万能试验机 。另一类设备是用来 测试变形的 变形仪 。 F o l 2、 低碳钢拉伸时的力学性质 （ 1）拉伸图 （ F l 图 ） 试样的变形完全是弹性的。此阶段内的直线段材料满足胡克定律。 阶段 1：弹性阶段 EA Fll F o l 1 F o l 1 阶段 11：屈服阶段 试样的荷载基本不变而试样却不断伸长。 屈服阶段出现的变形是不可恢复的塑性变形。 试样外表面有大约与轴线成 450 方向的条纹，称为滑移线 。 2 F o l 1 2 3 阶段 111：强化阶段 在强化阶段试样的变形主要是塑性变形。在此阶段可以较明显 地看到整个试样的横向尺寸在缩小。 F o l 1 2 3 4 阶段 1V：局部变形阶段 试样在某一段内的横截面面积显著地收缩，出现 颈缩 现 象。一直到试样被拉断。 F o l 1 2 3 4 若到 强化阶段 的 某一点 停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中， 荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。 C a b aobc / 卸载定律 F o l 1 2 3 4 C a b lC 是试样的弹性变形 lS 是试样的塑性变形 lClS F o l 1 2 3 4 C a 在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时， 试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大。 b 冷作硬化 F o l 1 2 3 4 C a b 若试样预拉到强化阶段然后卸载，经过一段时间后再受拉， 则弹性范围内所能承受的最大荷载还有所提高。 冷拉时效 o A 点 是应力与应变成 正比的最高限。 l l AF 1 2 4 3 （ 2）应力应变曲线 P P 比例极限 E E tg A o l l 1 2 4 3 P B e B 点是弹性阶段的最 高点。 e 弹性 极限 D S D 点为屈服低限 S 屈服 极限 AF A o l l 1 2 4 3 A B e D S b 强度 极限 G 点是强化阶段的 最高点 G b AF P 试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长 度由 l 变为 l1 ，横截面面积原为 A ，断口处的最小横截 面积为 A1 。 %1 0 01 l ll 断面收缩率： 延伸率 ： 和 均较高的材料，称作塑性材料。 %A AA 1 0 01 5 的材料，称作塑性材料。 00 5 的材料，称作脆性材料。 00 例题 ：一根材料为 Q235 钢的拉伸试件，其直径 d = 10 mm ，标 距 l = 100 mm 。当试验机上荷载读数达到 F = 10 KN 时，量得标 距范围内的伸长 l = 0.0607 mm，直径的缩小为 d = - 0.0017 mm 。试求材料的弹性模量 E 和泊松比 v 。已知材料的比例极限 P = 200MPa 。 解：横截面的正应力 PM P aAF 128 材料在线弹性范围内工作 1007.0 4 l l 107.1 4 d d 1007.0 4 l l 107.1 4 d dM P aAF 128 M P aE 101.2 5 28.0 其 余 自 学 拉（压）杆变形计算 胡克定律： 总 结 EA lFl N E 拉 (压 ) 杆内的应变能 EA lFV N 2 2 总 结 低碳钢的应力 应变曲线 及其主要力学性质 （比例极限，弹性极限，屈服极限，强度极 限，弹性模量，塑性指标） 塑性材料与脆性材料 材料在拉伸、压缩时力学性质的特性。 重点与难点 拉（压）杆的变形和（截面或结点）位移 的计算方法： 1、计算杆件的轴力； 2、由胡克定律计算杆件的变形量； 3、根据变形相容条件作位移图或结构的变 形图，由变形几何关系计算位移值。 重点、难点 1、低碳钢试样的拉伸图 2、低碳钢拉伸时的 曲线 比例极限 弹性极限 屈服极限 强度极限 P e s b 作 业 P124: 7-9, 7-10, P126:7 -14