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第 5 章 频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 (1) 将频率为 0 的正弦信号加入线性系统， 这个系统的稳态输出也将是同一 频率的。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p M 仅与阻尼比 有关。 (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定 性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于 1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统， 如果幅值裕量是负分贝值， 闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于 1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于 1且相位裕量大于 0 ，闭环系统 才是稳定的。 o (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为 。 0 o (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为 0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数 25 K ，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系 数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过 0 分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相 对稳定性。 (19) Nichols 图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p M 和频带宽 的 信息。 BW(20) Bode 图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。(T) (F) 答：(1) 正确 ( 2 ) 正确 ( 3 ) 正确 ( 4 ) 正确 ( 5 ) 正确 ( 6 ) 正确 (7) 正确 (8) 错误 (9) 正确 (10) 错误 (11) 正确 (12) 正确 (13) 正确 (14) 错误 ( 1 5 ) 正确 ( 1 6 ) 正确 ( 1 7 ) 正确 ( 1 8 ) 正确 ( 1 9 ) 正确 (20) 正确 题 5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 1 10 ) ( + = s s G ，求下列参考 输入下系统的稳态误差。 (1) ) 30 sin( ) ( 1 + = t t r (2) ) 45 2 cos( ) ( 2 = t t r (3) ) 45 2 cos( ) 30 sin( ) ( 3 + = t t t r 解：根据单位负反馈系统稳态误差的定义，稳态误差传递函数 () 1 1 1 1 () () 1 () 1 1 1 1 1 11 e Es s s Gs s Rs Gs s + + = = + + 系统稳态误差传递函数的频率特性为 11 () 11 1 11 e j Gj j + = + 稳态误差传递函数的幅频特性 22 22 1111 |() | | 11 11 1 ()1 11 11 e j Gj j + = = + + 稳态误差传递函数的相频特性 ( ) arctan arctan( ) 11 e Gj = 又根据频率特性的定义，系统的稳态误差频率特性 j e e j E j R j G j E | ) ( | ) ( ) ( ) ( = = 其中 ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | | ) ( ) ( | | ) ( | j R j G j E j R j G j R j G j E e e e + = = = 所以 (1) 当 ) 30 sin( ) ( 1 + = t t r 系统稳态误差传递函数的频率特性为 1 111 () | 1 11 1 11 e j Gj j = + = + 稳态误差传递函数的幅频特性 61 1 1 ) 11 1 ( 1 1 11 1 | 1 11 1 1 1 11 1 | | ) 1 ( | 2 2 2 2 = + + = + + = j j j G e 稳态误差传递函数的相频特性 81 . 39 19 . 5 45 ) 11 1 arctan( 1 arctan ) 1 ( = = = j G e 所以 11 11 11 |() |() | |() | 1 61 61 ( ) ( ) ( ) 39.81 30 69.81 e e Ej Gj Rj Ej Gj Rj = = = + =+= oo o 系统的稳态误差 ) 81 . 69 sin( 61 1 ) ( 1 + = t t E (2) 当 ) 135 2 sin( ) 45 2 ( 90 sin ) 45 2 cos( ) ( 2 + = = = t t t t r ) 45 2 sin( ) 135 2 ( 180 sin ) 135 2 sin( + = = = t t t 系统稳态误差传递函数的频率特性为 2 121 () | 2 11 1 11 e j Gj j = + = + 稳态误差传递函数的幅频特性 22 22 1211 |(2 ) | 1122 ()1 11 e Gj + = = + 5 稳态误差传递函数的相频特性 2 ( 2) arctan 2 arctan( ) 63.4 10.3 53.1 11 e Gj = ooo 所以 22 22 11 | ( )| | ( )| ( )| 1 25 25 ( ) ( ) ( ) 53.1 45 98.1 e e Ej Gj Rj Ej Gj Rj = = = + =+= ooo 系统的稳态误差 2 1 ( ) sin( 98.1 ) 25 Et t =+ o (3) 当 ) 45 2 cos( ) 30 sin( ) ( 3 + = t t t r 线性系统满足叠加原理，系统的稳态误差 312 11 ( ) ( ) ( ) sin( 69.81 ) sin( 98.1 ) 61 25 Et Et Et t t = + + oo 题 5.3 试绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。 （1） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N （2） 1 1 . 0 10 ) ( = s s G （3） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N （4） ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( = s s G （5） ) 4 ( 6 ) ( + = s s s G （6） ) 4 )( 1 ( 6 ) ( + + = s s s G （7） ) 20 ( ) 5 ( ) ( + + = s s s G （8） ) 01 . 0 ( 1 . 0 ) ( + + = s s s s G （9） ) 707 . 0 , 4 . 0 , 10 , 1 ( 1 2 1 ) ( 2 2 = = + + = T Ts s T s G （10） 1 2 ) 1 2 . 0 ( 40 ) ( 2 + + + = s s s s G 解： （1） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 当 时， ， 对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.1(a). 1 = N s s G / 10 ) ( = 当 时， ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.1(b). 2 = N 2 / 10 ) ( s s G = () R () jI = + = 0 () L () 90 = 图 5.1(a). 一个积分环节 () R () jI = + = 0 () L () 10 180 = 图 5.1(b) 两个积分环节 （2） 1 1 . 0 10 ) ( = s s G 转折频率 10 1 . 0 1 1 = = ， dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 。 当 1 1 . 0 10 ) ( + = s s G 时， ) 1 . 0 arctan( ) ( = ，对应的幅相频率特性和对数 频率特性如图 5.2(a). 当 1 1 . 0 10 ) ( = s s G 时， ，对应的幅相频率特性 和对数频率特性如图 5.2(b). ) 1 . 0 arctan( 180 ) ( + = j I() () R 0 = = () L () / 1 = T 10 = 图 5.2(a) 惯性环节 对数频率特性 幅相频率特性 () R () jI 0 0 = = -10 () L 1 10 100 20 0 135 () 180 20 dB/十倍频 _ _ _ 10 / 1 = = T 90 _ 图 5.2(b) 不稳定的惯性环节 （3） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 当 时， ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.3(a). 1 = N s s G 10 ) ( = 当 时， ， 对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.3(b). 2 = N 2 10 ) ( s s G = () R () jI 0 = = () L () 90 = 图 5.3(a). 一个微分环节 0 = () L () jI 1 . 0 () () R = 180 = 图 5.3(b) 两个微分环节 （4） ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( = s s G 转折频率 10 1 . 0 1 1 = = ， dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 。 当 时， ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( + = s s G ) 1 . 0 arctan( ) ( = ，对应的幅相频率特性和对 数频率特性如图 5.4(a). 当 时， ，对应的幅相频率特 性和对数频率特性如图 5.4(b). ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( = s s G ) 1 . 0 arctan( 180 ) ( = () L () R () jI 0 = = 10 () 图5.4(a) 一阶比例微分环节 () R () jI 0 = = () L 10 () 图5.4(b) 不稳定的一阶比例微分环节 （5） ) 1 4 ( 5 . 1 ) 4 ( 6 ) ( + = + = s s s s s G 转折频率 4 1 = ， dB K 5 . 3 5 . 1 lg 20 lg 20 = = 。 ) 4 / arctan( 90 ) ( = ， 对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.5. () R () jI = + = 0 () L () 图 5.5 型二阶系统 （6） ) 1 4 )( 1 ( 5 . 1 ) 4 )( 1 ( 6 ) ( + + = + + = s s s s s G 转折频率 1 1 = ， 4 2 = ， dB K 5 . 3 5 . 1 lg 20 lg 20 = = 。 ) 4 / arctan( arctan ) ( = ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如 图 5.6. () R () jI 0 = 0 = () L 11 0 0 3.5 90 () 180 0 对数频率特性 20 dB/十倍频 _ _ _ 20 幅相频率特性 4 40 dB/十倍频 _ 1.5 图 5.6 二阶系统 （7） ) 1 20 ( ) 1 5 ( 25 . 0 ) 20 ( ) 5 ( ) ( + + = + + = s s s s s G 转折频率 5 1 = ， 20 2 = ， dB K 12 25 . 0 lg 20 lg 20 = = 。 ) 20 / arctan( ) 5 / arctan( ) ( = ， 对应的幅相频率特性和对数频率特性 如图 5.7. () R () jI = 0 = () L () 图 图 5.7 具有零点的一阶系统 （8） ) 1 01 . 0 ( ) 1 1 . 0 ( 10 ) 01 . 0 ( 1 . 0 ) ( + + = + + = s s s s s s s G 转折频率 01 . 0 1 = ， 1 . 0 2 = ， dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 。 ) 1 . 0 / arctan( ) 01 . 0 / arctan( 90 ) ( + = ，对应的幅相频率特性和对 数频率特性如图 5.8. () R () jI = () L () + = 0 图 5.8 具有零点的二阶系统 （9） ) 707 . 0 , 4 . 0 , 10 , 1 ( 1 2 1 ) ( 2 2 = = + + = T Ts s T s G 当 ， 1 = T 4 . 0 = 时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.9(a). 当 ， 10 = T 707 . 0 = 时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图 5.9(b). () R () jI 0 = = () L () T / 1 = 25 . 1 2 1 = 4 . 0 = 1 / 1 = T = 图5.9(a) 二阶振荡环节 () R () jI 0 0 = = 1 () L 1 0.1 20 0 -90 () -180 0 _ 2 0 =0.707 =0.707 707 . 0 2 1 = 707 . 0 = 幅相频率特性 对数频率特性 1 . 0 / 1 = = T T / 1 = 2 图 5.9(b) 二阶振荡环节 （10） 1 2 ) 1 2 . 0 ( 40 ) ( 2 + + + = s s s s G 转折频率 1 1 = ， 5 2 = ， dB K 32 40 lg 20 lg 20 = = 。 ) 1 2 arctan( ) 2 . 0 arctan( ) ( 2 = ， 7 . 78 90 3 . 11 ) 1 1 2 arctan( ) 2 . 0 arctan( ) 1 ( = = = 1 . 112 1 . 143 31 ) 9 1 6 arctan( ) 6 . 0 arctan( ) 3 ( = = = 3 . 112 3 . 157 45 ) 25 1 10 arctan( ) 1 arctan( ) 5 ( = = = 2 . 105 6 . 168 4 . 63 ) 100 1 20 arctan( ) 2 arctan( ) 10 ( = = = 4 . 93 7 . 177 3 . 84 ) 2500 1 100 arctan( ) 10 arctan( ) 50 ( = = = 当 由 0 ， ) ( 变化趋势由 ，对应的幅 相频率特性和对数频率特性如图 5.10. 90 180 90 0 () R () jI 0 = = () L () ) 0 , 40 ( j 图5.10 具有零点的二阶系统 题 5.4 试绘出下列系统的开环传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特 性。 （1） ) 0 ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 3 2 1 2 1 3 + + + = T T T s T s T s s T K s G （2） ) 100 ( 250 ) ( 2 + + = s s s s G （3） 1 ) ( 2 . 0 + = s e s G 解： （1） ) 0 ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 3 2 1 2 1 3 + + + = T T T s T s T s s T K s G 当 时， 0 + = = ) ( A 90 ) ( = ， 当 = 时， 0 ) ( = A ， 180 ) ( = 当 由0 ， + ) ( 变化趋势由 。 180 270 180 90 设 ， 10 = K dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = ，转折频率如图示，对应的幅相频率 特性和对数频率特性如图 5.11. () R () jI = + = 0 () L () 1 / 1 T 2 / 1 T 3 / 1 T 图5.11 题5.4（1）用图 （2） ) 1 100 1 100 1 ( 5 . 2 ) 100 ( 250 ) ( 2 2 + + = + + = s s s s s s s G 转折频率 1 10 = ， dB K 8 5 . 2 lg 20 lg 20 = = 。 ) 100 1 1 100 1 arctan( 90 ) ( 2 = ， 57 . 90 57 . 0 90 ) 100 1 1 100 1 arctan( 90 ) 1 ( = = = 180 90 90 ) 1 1 10 1 arctan( 90 ) 10 ( = = = 42 . 269 42 . 179 90 ) 100 1 1 arctan( 90 ) 100 ( = = = 当 由0 ， + ) ( 变化趋势由 ，对应的幅相 频率特性和对数频率特性如图 5.12. 270 180 90 () R () jI = + = 0 () L () 图5.12 题 5.4（2）用图 （3） 1 ) ( 2 . 0 + = s e s G 转折频率 1 1 = ， dB K 0 1 lg 20 lg 20 = = 。 arctan 2 . 0 ) ( = ， (0) 0 = o 5 . 56 45 5 . 11 1 arctan 3 . 57 1 2 . 0 ) 1 ( = = = 3 . 199 3 . 84 115 10 arctan 3 . 57 10 2 . 0 ) 10 ( = = = 4 . 1239 4 . 89 1150 100 arctan 3 . 57 100 2 . 0 ) 100 ( = = = 当 由 0 ， ) ( 变化趋势由 ，对应的幅相频率特性和对数 频率特性如图 5.13. 0 () R () jI = () L () 0 = (1, 0) j 图5.13 题5.4（3）用图 题 5.5 设系统的开环幅相频率特性如图题 5.5 所示。试写出开环传递函数的 形式，并判断闭环系统是否稳定。图中，P 为开环传递函数右半 平面的极点 数， 为其 S N 0 = s 的极点数。 Im 1 Im 0 = Re = 1 0 = Re Im Im = 1 0 = Re = 1 0 = Re = 0, 2 PN = 0, 0 PN = = 2 , 0 = = N P 0 , 1 = N P 0 , 1 = = N P 1 Im = Im Re = 1 Re Im Im = 1 0 = Re = 1 0 = Re = 0 , 2 = = N P 0 , 1 = = N P 0 = 0 = 1 , 1 = = N P 题 5.5 图 解：解题思路提示：根据 、 和开环幅相频率特性的相位变化确定开环 传递函数形式。 P N (a) 为不稳定的惯性环节，开环传递函数的形式为 1 ) ( = Ts K s G 。由图知， 当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次数之差为 2 0 2 1 P = ，故闭环系统稳定。 (b) 根据 1 P = 、 和开环幅相频率特性的起始相位，可判断开环系统含 有一不稳定惯性环节。开环传递函数的形式为 0 N = 4 3 2 1 2 1 4 3 , ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) ( T T T T s T s T s T s T K s G + + + = 由图知，当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次 数之差为 2 2 1 0 P ，故闭环系统不稳定。 (c) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 ) 1 ( ) ( = Ts K s G 。由图知， 当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次数之差为 1 0 22 P ，故闭环系统不稳定。 (d) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 4 3 2 1 3 2 2 4 1 , ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) ( T T T T s T s T s s T s T K s G + + + + = 或 3 2 1 2 2 2 2 3 1 , ) 1 2 ( ) 1 )( 1 ( ) ( T T T Ts s T s s T s T K s G + + + + = 由图知，当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次 数之差为 2 0 0 P = ，故闭环系统稳定。 (e) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 3 2 1 3 2 1 , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( T T T s T s T s s T K s G + + = 由图知，当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次 数之差为 2 0 1 P ，故闭环系统不稳定。 (f) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 ) 1 ( ) ( 2 + = Ts s K s G 由图知，当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次 数之差为 2 2 1 0 P ，故闭环系统不稳定。 (g) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 3 2 1 3 2 1 , ) 1 )( 1 )( 1 ( ) ( T T T s T s T s T K s G + + = 由图知，当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次 数之差为 2 0 2 1 P = ，故闭环系统稳定。 (h) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 ) 1 )( 1 ( ) ( 2 1 = s T s T K s G ， 由图知，当 由 ，开环幅相频率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 区间正负穿越次 数之差为 2 0 0 P ，故闭环系统不稳定。 题 5.6 已知最小相位系统的开环对数频率特性如图 5.68 所示。试写出开环 传递函数的形式，并绘制近似的对数相频特性。 () L () L () L () L () L () L 2 . 0 1 = 1 . 0 2 = 题 5.6 图 解： (a) 开环传递函数的形式为 ) 1 500 1 )( 1 10 1 )( 1 ( ) ( + + + = s s s K s G 根据 dB K 60 lg 20 = ， 。近似的对数相频特性如图 5.14。 100 = K () L () 图5.14 题5.6（a）对数相频特性 (b) 开环传递函数的形式为 ) 1 100 1 )( 1 ( 100 ) ( + + = s s s s G 近似的对数相频特性如图 5.15。 () L () 图5.15题5.6（b）对数相频特性 (c) 开环传递函数的形式为 ) 1 100 1 ( 1 . 0 ) ( + = s s s G 近似的对数相频特性如图 5.16. () L () 图5.16题5.6（c）对数相频特性 (d) 开环传递函数的形式为 ) 1 80 1 ( ) 1 ( 64 ) ( 2 + + = s s s s G 近似的对数相频特性如图 5.17。 () L 11 0 0 80 -1 -2 -2 8 () 0 _ 90 180 _ 图 5.17题5.6（d）对数相频特性 (e) 开环传递函数的形式为 22 22 2 22 11 1 (2 () 21 KTs TS Gs Ts TS 1 ) + + = + 其中 1 1 4 T = ， 2 1 60 T = ， 1 0.2 = ， 2 0.1 = 。近似的对数相频特性如图 5.18。 () L 4 60 0 -2 2 . 0 1 = 1 . 0 2 = 20 () 0 _ 90 180 _ 图 5.18 题 5.6（e）的对数相频特性 (f) 开环传递函数的形式为 2 12 () (1 ) (1 ) KS Gs Ts TS = + 由低频锻 20lg 0 Ksd = B 的点得 1 5 0.2 K = = ，同时 1 20lg 12 0.2 dB = ，解得 1 4 0.2 ， 1 0.8 = ；则 1 1 1 1.25 T = 。 由高频锻 2 20 40lg 12dB = ，解得 2 20 2 ， 2 10 = ；则 2 2 1 0.1 T =。近 似的对数相频特性如图 5.19。 () () L 图 5.19 题 5.6（f）的对数相频特性 题 5.7 试用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 各系统的开环传递函数如 下： （1） ) ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 3 2 1 3 T T T s T s T s s T K s G + + + + = （2） ) 10 )( 1 ( 20 ) ( + + = s s s s G （3） ) 2 ( ) 100 ( 10 ) ( + = s s s s G 解： （1） ) ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 3 2 1 3 T T T s T s T s s T K s G + + + + = 这是一个 I 型 3 阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 3 12 (1 ) () (1 ) ( KjT Gj jjT jT1 ) + = + + 幅频特性为 2 3 22 12 ()1 () ()1()1 KT A TT + = + + 2 T 相频特性为 31 ( ) 90 arctan arctan arctan TT = + o 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当 0 + 时，有 2 ) ( j e K j K j G = = 即 ， 。 = + ) 0 ( A 90 ) 0 ( = + 当 时， ， 。 ()0 A = ( ) ( ) 90 180 nm = = oo 因为 ，所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅 相频率特性与负实轴无交点。开环幅相频率特性如图 5.20， 31 TTT + 2 由 0到0 的增补特 性如图中虚线所示。 + () R () jI = + = 0 0 = 图 5.20 题 5.7(1)的开环幅相频率特性 可以看出，当 由 0到 时，开环幅相频率特性不包围(1 ,0 ) j 点，所以，闭 环系统是稳定的。 （2） ) 10 )( 1 ( 20 ) ( + + = s s s s G 这也是一个 I 型 3 阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 2 () (1 ) ( 0 . 1 Gj jj j = 1 ) + + 幅频特性为 22 2 () 1( 0 . 1)1 A = + + 相频特性为 ( ) 90 arctan arctan(0.1 ) = o 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当 0 + 时， ， 。 = + ) 0 ( A 90 ) 0 ( = + 当 时， ， 。 ()0 A = ( ) ( ) 90 270 nm = = oo 开环幅相频率特性与负实轴的交点。 开环幅相频率特性与负实轴的交点满足 ，即 ( ) 180 j = o 90 arctan arctan(0.1 ) 180 jj = oo 或 arctan(0.1 ) 90 arctan j j = o 两边取正切： tanarctan(0.1 ) tan90 arctan j j = o 有 1 0.1 j j = 解得 10 j = 代入幅频特性，得 22 ( ) 0.134 10 10 1 1 1 220 j A = + + = 开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为 ( 0.134, 0) j 。 开环幅相频率特性如图 5.21， 由 0到0 + 的增补特性如图中虚线所示。 () R () jI = + = 0 0 = ( 0.134, 0) j 图 5.21 题 5.7(2)的开环幅相频率特性 可以看出，当 由 0到 时，开环幅相频率特性不包围(1 ,0 ) j 点，所以，闭 环系统是稳定的。 （3） ) 2 ( ) 100 ( 10 ) ( + = s s s s G 这是一个非最小相位系统，开环右极点数目 1 P = 。开环频率特性为 50( 0.01 1) () (0 . 5 1 ) j Gj jj + = 幅频特性为 2 2 50 (0.01 ) 1 () (0.5 ) 1 A + = + 相频特性为 ( ) 90 180 arctan(0.5 ) arctan(0.01 ) = + + oo 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当 0 + 时， ， 。 = + ) 0 ( A (0 ) 270 + = o 当 时， ， ()0 A = () 9 0 = o 。 开环幅相频率特性与负实轴的交点。 开环幅相频率特性与负实轴的交点满足 ，即 ( ) 180 j = o 90 180 arctan(0.5 ) arctan(0.01 ) 180 jj + + = oo o 或 arctan(0.5 ) 90 arctan(0.01 ) j j = o 两边取正切： tanarctan(0.5 ) tan 90 arctan(0.01 ) j j = o 有 1 0.5 0.01 j j = 解得 200 j = 代入幅频特性，得 50 1.02 () 0 . 5 200 51 A = = ，开环幅相频率特性与负实轴的 交点坐标为 。 (0 . 5 ,0 ) j 开环幅相频率特性如图 5.22， 由 0到0 + 的增补特性如图中虚线所示。 () R () jI = + = 0 0 = (0 . 5 ,0 ) j 图 5.22 题 5.7(3)的开环幅相频率特性 由图看出，当 由 0到 时，开环幅相频率特性不包围(1 ,0 ) j 点，所以，闭 环系统不稳定的。 题 5.8 试用对数频率特性求取系统的相位裕量和增益裕量， 判断闭环系统的 稳定性。 （1） ) 1 08 . 0 )( 1 2 . 0 ( 25 ) ( + + = s s s s G （2） ) 1 005 . 0 )( 1 025 . 0 ( ) 1 ( 100 ) ( 2 + + + = s s s s s G （3） ) 1 5 . 0 )( 1 1 . 0 ( 2 ) ( + + = s s s s G 解： （1） ) 1 08 . 0 )( 1 2 . 0 ( 25 ) ( + + = s s s s G 系统开环频率特性为 25 () (0 . 2 1 ) (0 . 0 8 1 ) Gj jj j = + + 幅频特性为 22 25 () (0.2 ) 1 (0.08 ) 1 A = + + 相频特性为 ( ) 90 arctan 0.2 arctan 0.08 = o 首先绘制开环对数频率特性。 对数幅频特性 22 25 ()2 0 l g()2 0 l g (0.2 ) 1 (0.08 ) 1 LA = + + 其中 20lg 25 28 = dB，转折频率 12 11 5, 12.5 0.2 0.08 = =。对数频率 特性如图 5.23。 () L () c j 图5.23 题5.8(1)的对数频率特性 求相位裕量 令 22 25 25 () 1 0.2 0.08 (0.2 ) 1 (0.08 ) 1 c ccc cc c A = = + + 3 25 11.6 0.2 0.08 c = o o j 相位 ( ) 90 arctan(0.2 11.6) arctan(0.08 11.6) c = o 90 66.68 42.86 199.54 = = ooo 相位裕量 ( ) 180 ( ) 180 199.54 19.54 cc =+= = ooo 求增益裕量 令 ( ) 90 arctan 0.2 arctan 0.08 180 jj = = oo 90 arctan 0.2 arctan 0.08 j j = o 两边取正切： tan90 arctan 0.2 tanarctan 0.08 j j = o 有 1 0.08 0.2 j j = 解之，得 7.9 j = 。代入幅频特性，得 22 25 () 1 . 4 3 7.9 (0.2 7.9) 1 (0.08 7.9) 1 j A = + + 则增益裕量 1 0.699 1.43 GM= 。 判断闭环系统的稳定性。 因为相位裕量 ，增益裕量 ( ) 19.54 0 c = oo 0.699 1 GM = ，故闭环系统 不稳定。 （2） ) 1 005 . 0 )( 1 025 . 0 ( ) 1 ( 100 ) ( 2 + + + = s s s s s G 系统开环频率特性为 2 100( 1) () ( )(0 . 0 2 5 1 ) (0 . 0 0 5 1 ) j Gj jj j + = + + 幅频特性为 2 22 100 1 () (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 A + = 2 + + 相频特性为 ( ) 180 arctan arctan 0.025 arctan 0.005 = + o 首先绘制开环对数频率特性。 对数幅频特性 2 22 100 1 ()2 0 l g()2 0 l g (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 LA + = 2 + + 其中 dB ，转折频率 20lg100 40 = 1 1 1 1 = = ， 2 1 40 0.025 = = ， 3 1 200 0.005 = 。对数频率特性如图 5.24。 () c j 图5.24 题5.8(2)的对数频率特性 求相位裕量 令 2 2 222 100 1 100 () 1 0.025 (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 c c c cc ccc A + = + + = 100 63.25 0.025 c = 相位 ( ) 180 arctan arctan 0.025 arctan 0.005 cccc = + o o o j 180 89.1 57.69 17.55 166.14 = + = oooo 相位裕量 ( ) 180 ( ) 180 166.14 13.86 cc =+= = ooo 求增益裕量 令 ( ) 180 arctan arctan 0.025 arctan 0.005 180 jjj = + = o o arctan arctan 0.025 arctan 0.005 j jj = 两边取正切： tanarctan arctan 0.025 tanarctan 0.005 j jj = 有 0.025 0.005 1 0.025 jj j jj = + 88.1 j = 代入幅频特性，得 2 2 222 100 1 100 ( ) 0.52 0.025 (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 j j j jj jjj A + = + + = 则增益裕量 1 1.94 0.52 GM= 。 判断闭环系统的稳定性。 因为相位裕量 ，增益裕量 ( ) 13.86 0 c = oo 1.94 1 GM = ，故闭环系统稳 定。 （3） 2 () (0.1 1)(0.5 1) Gs ss s = + 系统开环频率特性为 2 () (0 . 1 1 ) (0 . 5 1 ) Gj jj j = + + 幅频特性为 22 2 () (0.1 ) 1 (0.5 ) 1 A = + + 相频特性为 ( ) 90 arctan 0.1 arctan 0.5 = o 首先绘制开环对数频率特性。 对数幅频特性 22 2 ()2 0 l g()2 0 l g (0.1 ) 1 (0.5 ) 1 LA = + + 其中 20lg 2 6 = dB， 转折频率 12 11 2, 10 0.5 0.1 = = 。 对数频率特性如 图 5.25。 () L () c j 图5.25 题5.8(3)的对数频率特性 求相位裕量 令 22 22 () 1 0.5 ( 0 . 1)1( 0 . 5)1 c cc cc c A = + + = 42 c = = 相位 ( ) 90 arctan(0.1 2) arctan(0.5 2) c = o 90 11.3 45 146.3 = = oooo o j 相位裕量 ( ) 180 ( ) 180 146.3 33.7 cc =+= ooo 求增益裕量 令 ( ) 90 arctan 0.1 arctan 0.5 180 jj = = oo 90 arctan 0.1 arctan 0.5 j j = o 两边取正切： tan90 arctan 0.1 tanarctan 0.5 j j = o 有 1 0.5 0.1 j j = 解之，得 4.47 j = 。代入幅频特性，得 22 22 () 0 . 2 0.5 (0.1 ) 1 (0.5 ) 1 j jj jj j A = + + = 则增益裕量 1 5 0.2 GM = = 。 判断闭环系统的稳定性。 因为相位裕量 ，增益裕量 ( ) 33.7 0 c = oo 51 GM = ，故闭环系统稳定。 题 5.9 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环的频率特 性，计算系统的谐振峰值和谐振频率。 （1） ) 1 ( 12 ) ( + = s s s G （2） ) 1 5 ( ) 1 5 . 0 ( 10 ) ( + + = s s s s G 解：绘制系统的闭环频率特性略，下面计算系统的谐振峰值和谐振频率。 （1） ) 1 ( 12 ) ( + = s s s G 系统的闭环传递函数 2 () 1 2 () 1( ) 1 Gs s Gs s s = = 2 + + ，与典型二阶系统传递函数 2 22 () 2 n nn s ss = + 比较，有 2 12 n = 21 n = 解得 12 2 3 n =， 3 12 = 。所以 谐振频率 2 12 3 12 231 3 . 3 9 24 2 pn = 谐振峰值 2 1 3.5 21 p M = （2） ) 1 5 ( ) 1 5 . 0 ( 10 ) ( + + = s s s s G 系统的闭环传递函数 2 ( ) 10(0.5 1) () 1( )561 Gs s s Gs s s0 + = = + + 。因为系统有零点，不能直接利用公式。可根据谐振峰值的概念求取。 系统的闭环频率特性 () 2 10(0.5 1) () () 5( ) 6( ) 10 j j jM jj e + = = + 2 22 2 10 50 (10 50 )(10 5 ) 6 ) ()|( ) | | | (10 5 ) 6 (10 5 ) ( 6 ) jj Mj j 2 j + = = = + + 23 42 (250 100) 440 250 ) | 61 100 100 j + = + （ 22 3 42 (250 100) 440 250 ) 61 100 100 + = + （ 2 令 () 0 dM d = ，解得 1.6 p ，由此得谐振峰值 1.6 () | 2 . 9 p p MM = = 。 题 5.10 单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 1 087 . 0 ( 7 ) ( + = s s s G ， 试用频域 和时域关系求系统的超调量与调整时间。 解：系统的闭环传递函数 22 ( ) 7 80.45 () 1 ( ) 0.087 7 11.5 80.45 Gs s Gs s s s s = = = + + + + 其中 2 80.45 n = 2 11.5 n = 解得 8.96 n = ， 0.64 = 。所以时域中： 2 1 % % 5.9% e = = 3 (5%) 0.52 s n t =s 频域中： 24 241 6 . cn =+ =1 9 ( ) 180 90 arctan 61.7 2 c c n = = oo o 6 (5%) 0.512 tan( ( ) s cc t = s
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