传热学第三章稳态导热

2021/3/31 1 第三章 稳态导热 1、通过平壁的导热 2、通过复合平壁的导热 3、通过圆筒壁的导热 4、通过肋片的导热分析 5、通过接触面的导热 6、导热问题分析的一些技巧 2021/3/31 2 典型稳态导热问题分析解 稳态导热问题的主要特征是物体中各点温度不随时 间变化，只是空间坐标的函数，热流也具有同样性质。 温度在空间坐标上的分布决定导热问题的维数，维 数越多问题越复杂，所以应对具体问题具体分析，从 主要因素着手，忽略次要因素，适当简化。 稳态导热 : 0 t 直角坐标系 : 0)()()( ztzytyxtx 2021/3/31 3 1、通过平壁的导热 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当 平板两侧保持均匀边界条件时，热量只在厚度方向 传递，温度只在厚度方向变化，即 一维稳态导热问 题 。 o tw1 t tw2 t(x) a.通过单层平壁的稳态导热 （无内热源， 为常数） 导热微分方程 : 02 2 dxtd x 2021/3/31 4 两个边界均为第一类边界条件 2 1 , ,0 w w ttx ttx 代入边界条件得平壁内 温度分布： 1 12 w ww txttt 直接积分 ， 得通解 ： 211 cxctcdx dt （线性分布） 2021/3/31 5 热流量 W 212121 R ttAttttAdxdtA wwwwww WCAR )( 热流密度 2212121 mW r ttttttAq wwwwww WCm 2 r 式中： （整个平壁的导热热组） 式中： （单位面积导热热组） 2021/3/31 6 （ 随温度呈线性变化， 为常数 ） 2 1 , ,0 0 w w ttx ttx dx dt dx d bbt 、）（ 00 ,1 0)1(0 dxdtbtdxd 10 )1( cdxdtbt 21 2 0 )2( cxct bt 代入边界条件得其 温度分布 ： （二次曲线方程） xttbtttbttbt wwwwww )(21)2(2 21212 112 数学描述： 再积分得通解： 2021/3/31 7 其抛物线的凹向取决于系数 的正负。当 时 ， 随着 的增大而增大， 即高温区的导热系数大于低温区。 由 ，平壁两侧 热流相等，面积相等，所以高温 区的温度变化率较低温区平缓， 形成上凸的温度分布。当 时 情况与之相反。 =0(1+bt) b0 b0 t1 t2 0 x b 0b dxdtA / t0b 2021/3/31 8 热流密度 计算式为 : 21120 21 wwww ttttbq 或 )( 21 ww m ttq 从中不难看出， m是平壁两表面温度对应的导热 系数的算术平均值，也是平壁两表面温度算术平 均值下的导热系数值。 式中 mwwm btttb 1212 021021 2021/3/31 9 b.通过多层平壁的导热 例：房屋的墙壁由白灰内层 、 水泥沙浆层 、 红砖主体层 等组成 ， 假设各层之间接触良好 ， 近似地 认为接合面上温度相等 。 t2 t3 t4 t1 q t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4 3 3 43 2 2 32 1 1 21 ttttttq 3 3 2 2 1 1 41 ttq 推广到 n层壁的情况 : n i i i nttq 1 11 ),( 11 ),( 22 ),( 33 2021/3/31 10 2.通过复合平壁的导热 工程上会遇到这样一类平壁 ， 无论沿宽度还是厚度 方向 ， 都是由不同材料组合而成 ， 称为 复合平壁 。 如：空斗墙 、 空斗填充墙 、 空心板墙 、 夹心板墙 。 由于不同材料的导热系数不同 ， 严格地说复合平壁的 温度场是二维或三维的 。 简化处理： 当组成复合平壁各种材料的导热系数相差 不大时 ， 可近似当作一维导热问题处理 2021/3/31 11 复合平壁的导热量： R t 两侧表面 总温差 总导热热阻 B、 C、 D材料的导热系数相 差不大时 ， 假设它们之间 的接触面是绝热的 。 111 1 E3 D A3 E2 C A2 E1 B A1 RRRRRRRRR R 2021/3/31 12 3、通过圆筒壁的导热 稳态 导热 0 t 0)()(1)(1 2 ztztrrtrrr 柱坐标系： 当 圆筒 的截面尺寸相对管长很小，且管子内外壁面保持 均匀温度时，热量只在管径方向传递，通过管壁的导热 即为柱坐标系的一维问题。 a.通过单层圆筒壁的导热 数学描述 : 0 drdtrdrd 22 11 , , ttrr ttrr 积分两次得通解 : 21 ln crct 2021/3/31 13 代入边界条件得圆筒壁的 温度分布 为 : 1 2 1 12 1 ln ln r r r r tt tt 圆筒壁内的温度分布 是一条对数曲线 稳态导热时圆筒壁内外壁面热 流相等，但内壁面积小于外壁 面积，所以内壁面热流密度总 是大于外壁面，由付立叶定律 可知，内壁面的温度曲线要比 外壁面陡。 tw1 r1 tw2 r r2 2021/3/31 14 W ln 2 1 1 )l n ( 2 21 1 2 21 12 21 R tt r r L tt rrr tt rL dr dt A wwww ww 单位长度圆筒壁的 热流量 mW ln 2 1 21 1 2 21 l wwww l R tt r r tt L q WCm ln2 1 1 2 r rR l 热流量 单位长度圆筒壁 导热热阻 2021/3/31 15 b、通过多层圆筒壁的导热 (运用串联热阻叠加原理 ) 带有保温层的热力管道、嵌套的金属 管道和结垢、积灰的输送管道等 3 4 3 43 2 3 2 32 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 r rn L tt r rn L tt r rn L tt 3 1 1 41 1 2 1 i i i i r rn L tt 3 1 1 41 1 2 1 i i i i l r rn tt L q 单位管长的热流量 2021/3/31 16 c.临界热绝缘直径 工程上，为减少管道的散热损 失，常在管道外侧覆盖 热绝缘 层 或称 隔热保温层。 问题：覆盖热绝缘层是否在任 何情况下都能减少热损失 ？ 保 温层是否越厚越好 ？ ins ql 单位长度管道上的总热阻： 1ln2 1ln2 11 221 2 111 x x i n s l dhd d d d dhR xdh d d d 2 2 x x 1 ln 2021/3/31 17 若 d2 dc ，当 dx在 d2与 d3范围内时，管道向外的散热 量比无绝缘层时更大， ； 只有当 d2 dc时，覆盖绝热层才会减少热损失！ lx qdd 3 外径增大使导热热阻增加而换热热阻减小，总热阻达 到极小值时的热绝缘层外径为 临界热绝缘直径 dc 2021/3/31 18 极小值 0 21 2 1 3 2 22 2 in scx d xxi n s dd x l dhddd Rd 2 2 2 2011 2 1 )( hdddhddd dR i n s cx xxi n sx l 临界热绝缘直径的求取 : 令 : D3的确定 : .e 1 ln 2 11 3 ) 11 ( 2 23 322 3 22 322 i n s ddd dhd d dh ddh i n s 迭代求解 2021/3/31 19 一般的动力保温管道 ， 是否要考虑临界热绝缘直径呢 ？ 思考：电线包黑胶布 : ins=0.04W/(mK)， hair=10W/(m2K)，临界直径为多少？ mm82 a i r hd c 胶布 一般 d2 2mm dc， 有利于散热 . mmdKmWhKmW ci n s 22),/(9),/(1.0 22 得取 一般的动力保温管道外径远大于 22mm，所以在供暖通风 工程中，很少需要考虑临界问题 。 2021/3/31 20 例： 某管道外经为 2r， 外壁温度为 t1， 如外包两层厚度 均为 r（ 即 2 3 r） 、 导热系数分别为 2和 3（ 2 / 3=2） 的保温材料 ， 外层外表面温度为 t2。 如将两层保 温材料的位置对调 ， 其他条件不变 ， 保温情况变化如何 ？ 由此能得出什么结论 ？ 解： 设两层保温层直径分别为 d2、 d3和 d4，则 d3/d2=2， d4/d3=3/2。 将导热系数大的放在里面： ; 11969.0 2 3 ln 2 1 2ln 22 1 ln 2 1 ln 2 1 3 333 4 32 3 2 21 tt d d d d tt q L 2021/3/31 21 两种情况散热量之比为： 19.1 11969.0 1426.0 L L q q 结论：导热系数大的材料在外面，导热系数 小的材料放在里层对保温更有利。 将导热系数大的包在外面： 1426.0 2 3ln 22 12ln 2 1 3 33 21 tttq L 2021/3/31 22 4.通过肋片的导热分析 工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体，如摩托车 的气缸外壁、马达外壳、暖气片、多数散热器的气侧表面， 乃至人体的四肢及耳鼻等。 肋片：依附于基础表面上的扩展表面。 强化传热的重要方法 肋化 2021/3/31 23 电子器件冷却 2021/3/31 24 1）细长杆的导热 已知： 均质等截面细长杆 热壁与周围流体温度分别为 杆材导热系数及其与流体的表面传热系数保持不变 tf、t0 2021/3/31 25 求： 细长杆沿高度方向的 温度分布 t（ x） 通过细长杆的 散热量 0 解题思路 选择合适的导热微分方程式 代入边界条件求出特解 t（ x） 求出杆基 dx dt 热流量 0 2021/3/31 26 （ 1）分析推导微分方程式 a.金属细长杆 较大 、 d较小 、 h有限，假设细长 杆任一横截面上的温度均匀一致，所以只在杆 高方向截取一微元段 dx进行分析。 b.为了简化分析（使微分方程齐次化），用过 余温度 进行计算。 过余温度 某点温度与某 一定值温度（基准温度）之差，定义未受散热 影响的流体温度 为基准温度。 即： c.令细长杆的横截面积为 A，截面周长为 P。 ftt ft 2021/3/31 27 d.微元段能量平衡分析： dx dA x 导入微元段热量： dxdxddxdAdxx 导出微元段热量 ： h P d xs微元段对流放热量： 热平衡： 0 2 2 2 2 AhPdxddxhPdxdxdA 2021/3/31 28 令 02 2 22 mdx dm A hP （二阶、常系数齐次微分方程） 其通解为 ： mxmx ecec 21 a.无限高细杆 边界条件： o o c c x x 2 1 0 0, ,0 代入通解得特解： mxo e （ 2）不同的定解 条件与其特解 a.无限高细杆 b.有限高细杆（考虑端部散热） c. 有限高细杆 (忽略端部散热 ) 2021/3/31 29 杆内过余温度 分布如右图： 细杆散热量 求解 AhPAm dx d A mem dx d oo x o o x mx o x 0 0 0 两点讨论： 随 x成指数关系下降，其下降速率取决于 m值 , 为了降低杆内热应力 m 、 h 当几何条件 A、 P一定时， m值只与 h、 有关。 2021/3/31 30 mHmHHmHmH mHH o mHmHHmHmH mHH o ee m h ee e m h c ee m h ee e m h c 1 1 2 1边界条件： HH Hx o h dx dHx x , ,0 b.有限高细杆（考虑端部散热） 2021/3/31 31 细杆散热量 求解 mHth m h m h mHth Am dx d A mHth m h m h mHthm dx d H H o x o H H o x 1 1 0 0 代入通解得特解（杆内过余温度分布） mHsh m h mHch xHmsh m h xHmch H H O 2021/3/31 32 c. 有限高细杆（忽略端部散热，即端部绝热） 边界条件： 0, ,0 Hx o dx d Hx x mHmH mH o mHmH mH o ee e c ee e c 2 1 代入通解得特解 （杆内过余温度分布） : mHch xHmch o 2021/3/31 33 细杆散热量 mHth m hP mHthAm dx d A mHthm mHch xHmsh m dx d oo x o o x o x 0 00 杆端温度（ x=H） mHchoH 1 2021/3/31 34 2)等厚度直肋 h L Lh A hUm 22 代入细杆导热公式就可计算 （ x）、 。 l 由于 L， H， U 2L 2021/3/31 35 3)等厚度环肋（变截面） 分析微元环： r d rhr d rh dr dr d dr d drr dr d r s drr r 422 2 2 由热平衡 00 2 22 2 2 2 2 2 rm dr d r dr d rr h dr d dr d r sdrrr 上述方程为 贝塞尔方程 ，其解不能用初等到函数表示。 工程上为简化计算引入 肋效率 概念。 2021/3/31 36 4)肋效率 问题引出：肋化 tthA 随肋高增加而下降 所以： A 肋效率定义式： 基温度下的散热量假设整个肋表面处于肋 实际散热量 f 对等厚直肋： mH mHth h U H mHth m hU o o f 2021/3/31 37 5）散热量计算 实际散热量最大散热量计算 查图得肋效率肋形状参数 矩形和三角形肋片的效率 矩形截面环肋的效率 对于理论计算较为 困难的肋片 ,用实验 或复杂的数学手段 得到肋效率 ,将其制 成曲线图以供查阅 . 肋片散热量可用以下方法计算 : 2021/3/31 38 6） 几点考虑 a.采用忽略肋端散热的计算公式较简洁 对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，已足够精 确。若必须考虑肋端散热，取： 将端 部面积折算到侧面。 b.换热系数为常数的假定 为了推导和求解的方便，将 h、 假定为常数。但实际 上换热系数 h并不是常数，而是随肋高变化的。在自 然对流环境下换热系数还是温度的函数。因此，我们 在肋片散热计算中也应注意由此引起的误差。 2 HH 2021/3/31 39 01 Am 0hAy hl P hA m hy 1 c.肋化对传热有利的判据 实践中发现，并不是任何情况下加肋片都能强化传热，有时 反而消弱传热。那么在什么情况下加肋片对传热有利呢 ?对无 限高细长杆做如下分析 : 传热表面 A未加肋时的散热量为 : 加肋后的最大散热量为 : 1 Bihl在 时肋化对传热有利，式中 是一个表示 导热物体内外热阻之比的无量纲准则数，特征尺度 是肋片断 面面积与周长之比，对于矩形之肋 ，对于圆形直肋 由于前面的推导是在一维假设条件导得，毕渥数的判据 条件应加以修正，一般认为， 2/l 2/rl 1.0Bi Bi l 2021/3/31 40 5、通过接触面的导热 在推导多层壁导热的公式时，假定两壁面之间保持良好 的接触，即层间保持同一温度。而在工程实际中固体表 面之间的接触都是有间隙的。 如图两壁面之间存在空气间隙， 使得传热过程中的两表面间存 在温差，削弱了传热。 由于接触表面间的不密实（气隙）而产生的附加热阻叫做 接触热阻 . 不同接触情况下的接触热阻主要靠实验测定。 x t t q 2021/3/31 41 降低接触热阻的方法： 1.研磨接触表面 2.增加接触面压力 3.垫软金属（如紫铜片） 4.涂硅油或导热姆（二苯和二苯氧化物的混合物） 5.焊接 答：冰箱的结霜相当于在冰箱蒸发器和冰箱冷冻室 （或冷藏室）之间增加了一个附加热阻，因此， 要达到相同的制冷室温度，必须要求更低的蒸发 温度，对应的蒸发压力降低，压缩机工作压差增 大，耗电量增加。 问题：解释冰箱结霜后耗电量增加的原因。 2021/3/31 42 6、导热问题分析的一些技巧 圆筒壁导热分析方法之二 )(lnln ln 2 ln 2 : ln : lnln 2 ln 2 ln 2 2 2 1 2 112 1 1 1 1 2 12 12 12 21 12 2112 1212 2112 12 21 1 2 12 2 1 2 1 Rf r r r r tt tt r r l tt r r l tt AA AA A tt A AA ttAA rrrr ttrrl rr ttl r r l tt r dr l dt dr dt rl dr dt A m m r r t t 由 式中 2021/3/31 43 内外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热问题 )( 1111 11 4 11 4 : 4: 4 11 411 4 4 4 12112 1 1 1 12 12 2121 21 12 2121 21 21 12 12 2 2 2 1 2 1 Rf rrrrtt tt rr tt rr tt AArrA tt A rr ttrr rr tt rr tt r dr dt dr dt r dr dt A m m r r t t 由 式中 2021/3/31 44 变截面和变导热系数问题 1）温度曲线形状 o o q dx dtbt dx dtbt dx dtq 11 两边对 x求导： 01 22 dxdtdxdtbdx tdbt bt dx dtb dx td 12 2 2 凹形曲线时当 凸形曲线时当 00 00 0 01 2 2 2 2 2 dx td b dx td b dx dt bt )1(, 0 btc on s tq 变导热系数 在定性绘制物体内温度曲线时 , 可以由 b的正负判断导热系数的相对大小 ,再 根据导热系数大的一侧曲线斜率小这一规律就可以直接绘出温度曲线 . 2021/3/31 45 热流方向上的面积变化 A=f（ x） =const， =const， .0 0,0 0,0 ,0 1 2 2 2 2 22 2 时情况相反当 凸形温度曲线则 凹形温度曲线则 时当 dx td dx dA dx td dx dA dx dA xAdx td dx dt xA 在定性绘制物体内温度曲线时 ,由于热流不变 ,可以由面积的变化来 判断热流密度的相对大小 ,再根据热流密度大的一侧曲线斜率 大这一规律就可以直接绘出温度曲线 . 2021/3/31 46 2）热流量计算 dx dttxA 分离变量并积分（ 不变）： 21 21 2112 12 2 1 2 1 2 1 2 1 ttS xA dx tt tttt tt dtt dtt xA dx x x t tt t x x 分析表明， 与 A（ x）无关，用 取代定导热系数公 式中的 即可 解决变 的热流计算问题。 计算两个等温面之间的导热量时，无论一维、二维、三 维问题，都可用 形状因子 S进行计算。 2021/3/31 47 定解条件：（恒壁温） XfXXB x tt x tt tt tc ttc ttx ttx 11 2 1 1 2 1 , ,0 12 2 12 1 12 2 121 2 1 内热源的存在，使热流密度随 x变化，可看成是导热与内热源的复合， 导热量不完全取决于两壁面温差，所以没有与电路相似的等效热路。 有内热源的导热 例：一维、常物性、稳态 微分方程 ： 21 2 2 2 20 cxcxtdx td xfxttdxdtq 121 2 热流密度 : 温度分布非线性 2021/3/31 48 例：半径为 的圆球，其热导率（导热系数）为 ，单位体积发 热量为 ，浸在温度为 的流体中，流体与球表面间的对流换热 系数为 h。 （东大 2000年考研题） ,20),/(15 ,/500 0),/(5.4,1.0 2 3 CtKmWh mWKmWmr f s 求稳态时， 1）圆球内的温度分布； 2）当 时球内的最高温度。 解： 1）由热平衡 2021/3/31 49 2021/3/31 50 思考题分析 发生在一个短圆柱中的导热问题，在哪些情形下可以按 一维问题来处理？ 答：（ 1）两端面绝热，圆周方向换热条件相同时，可以认为 温度场只在半径方向发生变化；（ 2）圆周面绝热，两 端面上温度均匀，可以认为温度场只在轴向发生变化。 扩展表面中的导热问题可以按一维问题处理的条件是什 么？有人认为只要扩展表面细长，就可按一维问题处理， 你同意这种观点吗？ 答：扩展表面细长，且导热系数大，而表面传热系数相对较 小的条件下 ( )，才可以按一维问题来处理。 2021/3/31 51 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增 加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界 高度，超过这个高度后，肋片导热热流量反而会下降。试 分析这一观点的正确性。 答：这一观点是不正确的，计算公式表明，肋片散热量与 mH的 双曲正切成正比，而双曲正切是单调增加函数，所以散热 量不会随高度增加而下降。且随着 H的增加， th(mH)1 ， 而 th(mH)=1即为无限长肋片的散热量。 有人对二维矩形物体中的稳态、无内热源、常物性的导热 问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热，其余三个边均 与温度为 tf的流体发生对流换热。你能预测他所得到的温 度场的解吗？ 答：根据所给边界条件可以判断该物体没有热流，又因为物体 处于稳态，所以物体各点温度均为 tf 。 2021/3/31 52 本章作业 2-2、 12、 16、 22、 51