傅里叶Fourier级数

11.3 傅里叶（ Fourier)级数 一 傅里叶级数 二 傅里叶级数的收敛定理 三 函数展开成傅里叶级数 四 以 2T为周期的周期函数的傅里叶级数 一 傅里叶级数 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 f (x) 在 , 上可积，则 f (x) 的 傅里叶级数 定义为如下的三角级数： 1 0 )s i nc os( 2 n nn nxbnxaa 1 ( ) c o s d na f x n x x ( 0, 1 , 2, )n 1 ( ) sin d ( 1 , 2 , ) nb f x nx x n 其中 称为 f (x) 的 傅里叶系数 。 解 : 上的表达式为 求 f (x) 的傅 里 叶级数 . 例 1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 xxfa d)(10 0 d1 x 02 2 1 x 2 0 dc o s1 xxnx xnxxfa n dc o s)(1 0 s in1 nxxdn s i n|s i n1 00 n x d xnxxn xnxxfb n ds i n)(1 n n 1)1( 0 ds i n1 xnxx 1 1 2 s i n )1(c o s)1(1 n nn nx n nx n 4 所以 f (x) 的傅 里 叶级数为： 2 )1(1 n n 0 s in1 nx dxn 02 |c o s1 nxn 注：（ 1）当 f (x) 为偶函数时， f (x) 的傅里叶级数为余弦级数： 1 0 c o s 2 n n nxa a （ 2）当 f (x) 为奇函数时， f (x) 的傅里叶级数为正弦级数： 1 s in n n nxb ,0c os)(1 nx dxxfa n ,0s in)(1 nx dxxfb n 二 傅里叶级数的收敛定理 ,)(xf ( 0 ) ( 0 ) , 2 f x f x x 为 f (x)间断点 x 为 f (x)连续点 (1)在区间 -, 上连续或者 仅有有限个第一类间断点 ; (2)在区间 -, 上 仅有有限个极值点 ; 定理 1 （ 狄利克雷 ( Dirichlet )收敛定理 ） 周期为 2 的周期函数， 且在区间 -, 上 满足条件： 设 f (x) 是 则 f (x) 的傅 里 叶级数 收敛， 其和函数 )(xS 例如，例 1中的傅立叶级数 1 1 2 )s i n )1(c o s)1(1( n nn nxnnxn 4 x o y 2 3 3 2 )(xf ,)(xf ,2,1,0,)12(, kkxx ,2 ,2,1,0,)12( kkx 例 2 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 解 : S (x)为 f (x) 的傅里叶级数的和函数， 求 ).5(),(),1( SSS 2 3 23 o x x xf 0,1 0,1 )( ,1)1( S ,0)( S 1)5( S 三 函数展开成傅里叶级数 1 以 2为周期 的周期函数展开成傅里叶级数 o y x 0a xxf d)( 1 解 : na xnxxf dc o s)( 1 02 c o ss i n2 n nx n nxx 2 2 ( ( 1 ) 1 )n n 将函数 ( 2 ) ( ) ,f x f x且 ()fx展开成傅里叶级数。 例 3 设 2 2 1 2 c o s 1)1(2 n n nxn xkk k )12c o s ()12( 14 1 2 注： 当取 0 x 时，得 8)12( 1 2 1 2 k k 记 ,1 1 2 n n ,)12( 1 1 21 k k ,)2( 1 1 22 k k 则 ,21 , 42 8 2 1 . 6 2 即 6 1 2 1 2 n n 例 4 将定义在 , 上函数 20() 00 xfx x 展开成傅 里 叶级数。 解 0 1 ()a f x d x 0 2 dx 2 1 ( ) c os na f x n xd x 0 2 c o s nxd x 0 x y 0 2 323 2 2 定义在 上的 函数展开成傅里叶级数 , ()fx 1 1 41 si n ( 2 1 ) 21k kxk ,0 xx ( ) 1 ( ) sin nb f x nxd x 0 2 sin nxd x 0 2 c os nx n 1 ( 1 )2 n n 2nk 4 ( 2 1 )k 21nk 0 1 x y o 解 : 先求正弦级数 . 0 ds i n)1(2 xnxx )1)(1(12 nn 1x 1 s i n)1)(1(12 n n nxn 3 定义在 0, 上的函数展开成正弦、余弦级数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 例 5 将函数 再求余弦级数 . x 1 y o 0 d)1(2 xx 0 dc o s)1(2 xnxx 1)1(22 nn 121 x 1 2)12( 14 k k xk )12c o s ( 设 f (x) 是周期为 2T 的周期函数 , 且 f (x) 在 , TT 上可积，则 f (x) 的 傅里叶级数 定义为如下的三角级数： 1 0 )s i nc o s( 2 n nn T xnb T xnaa ( 0, 1 , 2, )n 其中 四 以 2T为周期的周期函数的傅里叶级数 ,)(xf ( 0 ) ( 0 ) , 2 f x f x x 为 f (x)间断点 x 为 f (x)连续点 (1)在区间 -T, T上连续或者 仅有有限个第一类间断点 则 f (x) 的傅 里 叶级数收敛，且 (2)在区间 -T, T上 仅有有限个极值点 定理 2 （ 狄利克雷 ( Dirichlet )收敛定理 ） 周期为 2T 的周期函数， 且在区间 -T, T上 满足条件： 设 f (x) 是 1 0 )s i nc o s( 2 n nn T xnb T xnaa