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积分换元法 不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析 定理 :（ 不定积分换元法） ，连续假设 )( xf 单调，连续，函数 )( tx 如果 ,)(d)()( ctGtttf 则有 cxG )( 1 .)(1 xt 并且存在反函数 tttfxxf d)()(d)( 定理 2:（定积分的换元积分法） ，连续在假设 ,)( baxf .,)( 连续在 tx 并且满足下列条件： ;)(,)()1( ba ；连续在 ,)()2( t .,)(,)3( batt 不超出，变动时在当 tttfxxfba d)()(d)( 则有 定积分元法与不定积分换元法的比较 为例和以 a xxaxxa 0 2222 dd tax s in ttax dc o sd 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同 . )0( a 计算两种积分都需要作换元 (1)两者的第一个区别是： .20 tt 的变化范围：定积分必须说明变量 对于不定积分得换元法则没有这个必要 ttaxxa dc o sd 2222 taxa c o s22 ?c os22 taxa ctttatta )c o ss i n21(2d2 2c o s1 2 2 ?c os22 taxa 还是 不定积分重视形式运算 ,可以取 于是 第二个问题是： 但是对于定积分的换元法， ，中变化时在由于 1,0 x ，中变化，对应地在 20 t .c os22 taxa 所以 caxaxax )a r c s i n(21 222 xxa d22 ，还原成必须将变量 )(1 txt 第三个问题是： 求出不定积分 以后， Ctttatta )c o ss i n21(2d2 2c o s1 2 2 进一步得到 才能得到最终结果 . 另一方面， ，对于定积分 a xxa0 22 d ：分将其转化为另一个定积用换元 tax s i n: 2/ 0 22 dc o s tta 直接计算着个积分就可以了 . 1 d 4xx xI ，令 tx 1 .d1d 2 ttx 则 2 4 4 )1 11 ( d 1 d t tt t xx x I ，因为 II 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？ 例题： 于是 I tt t 1 d 2 .0I所以 解 : . 1 d 2 是不成立的等式 I tt t 虽然在形式上， , 1 1 1 1 44 是相同的函数关系和 xxtt 但是他们不相等 . .不是互相独立的变量和因为 tx 注释 : 这个例子告诉我们， ，进行换元对于积分 )(d)( txxxf ，之后求出 ctGtttf )(d)()( ,)(1 回代必须用反函数 xt cxGxxf )(d)( 1才能得出最后结果 . . 1 d2 2 2 xx x计算例题 : ，令 tx s e c tttx dt a ns e cd 解 : ,43,32 变化时在当 t .2,2 变化对应地在 x ,232 xt 时当 .24 3 xt ，时 ,0t a n43,32 tt ，时当 .t a nt a n 2 tt 所以 4 3 3 2 d)t a n(s e c t a ns e c 1 d2 2 2 ttt tt xx x 于是 43 32 d t 12 这个例题说明： ，计算定积分时利用换元法 )( tx 这一不仅关系到积分上下限的确定， ,的变化范围必须注意新变量 t .的取值对应关系和明确 xt 还可能涉及到被积函数的形式的确定 关于两个换元积分法的小结 不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法，有 相近的思路和大体相同的过程 .但是，两者要解决的 问题不同，因此所需要的条件不同，解决问题的过程 也有重大区别 . ,)()( xFxf 的原函数是求不定积分的换元法目的 ，之后求出 ctGtttf )(d)()( .)()( 1 cxGdxxf 得到 ，代入必须用反函数 )(1 xt ba xxf d)(计算定积分定积分换元法的目的是 tttfxxfba d)()(d)( 转化为方法是将定积分
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