五年级上册奥数讲义

优才家教 优等生同步奥数提高 五年级(下)第一讲 整数问题第1课 数的整除一、 知识要点1. 整除因数、倍数 必要条件：（1）a、b、c三个数是整数（2）b0（3）ab=c 结论：整数a能被整数b整除，或b能整除a，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。记作：ba整数a除以整数b（b0）等于c（c是整数且没有余数），那么说a能被b整除，或b能整除a，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。2. 有关基本知识点回忆（1）是任何整数的倍数。 (2)1是任何整数的因数。3. 数整除的性质性质:如果a、b都能被m整除，那么它们的和与差也能被m整除。 即：如果m,|b,那么m（a）。例如：如果|10,6,那么2(0+6）,并且|(1)。性质2:如果a能同步被m、n整除,那么a也一定能被m和的最小公倍数整除。即：如果m|a，n|,那么，n|a。例如:如果|36，9|36，那么6，96。性质3：如果m、n都能整除a,且和互质,那么m与的积能整除a。即:如果m|a,|a,且（,n)=1，那么(m)|a。例如：如果2|72，2，且（，）=1,那么1872。性质:如果a能整除b,b能整除m，那么a能整除m。 即:如果|b，b|，那么am。 例:如果7|1，142,那么7。4. 数的整除特性 （）能被2整除的数的特性：如果一种整数的个位数是偶数(即个位数是2、4、6、8、0)，那么它必能被整除。(2）能被5整除的数的特性:如果一种整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。（3)能被3(或9)整除的数的特性：如果一种整数的各位数字之和能被3（或9)整除,那么它必能被3（或9)整除。 (4)能被4（或2)整除的数的特性:如果一种整数的末两位数能被（或25）整除，那么它必能被4(或25）整除。 例:86能否被4整除? 解：1864=1800+6，由于4|64， 4是16的因数,1864是4的倍数，因此41864。（）能被8(或125)整除的数的特性：如果一种整数的末三位数能被(或5）整除，那么它必能被（或125)整除。 例:97能否被15整除？ 解：9375290+375，由于125|75，15是75的因数，75是125的倍数，因此12529375。（6）能被1整除的数的特性：如果一种整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被1整除,那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指:这个数的十位、千位、十万位)例:判断3574与否是11的倍数? 解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4+5+1）(+3）0。由于是任何整数的倍数,因此110。因此35是11的倍数。例：判断这九位数能否被1整除？ 解:这个数奇数位上的数字之和是97+53=25,偶数位上的数字之和是+642=2.由于220=,又由于11 5,因此1 。（7)能被7（11或13)整除的数的特性：一种整数的末三位数与末三位此前的数字所构成的数之差(以大减小)能被7（1或13)整除。例:判断159282与否是的倍数？解:把1052分为19和282两个数。由于059227，又由于7|777，因此71052。因此10928是的倍数。例:判断46725能否被13整除?解:把35625分为354和725两个数.由于3546-25=2821.再把28分为2和两个数,由于822=8,又3|19，因此281,进而3|354625。二、 典型例题详解猜猜会是什么数?【例1】：一种856五位数,能被3、4、整除,这样的五位数中,最小的一种是多少? 解：先将856，看做856。 36ab,则3|8+5+6+a+b，3|+a+b,a+或a+b=或+b=8。 4|856ab，则|ab，ab偶数 586ab,则b0或b=5，又b为偶数,=0 a+b=2或a+b=5或a+b=，且b，a=2或a=5或a 当a，b=0时，这个数为860;当a=5,b=时，这个数为8650;当a=8,b=0时,这个数为8560。 答:五位数中最小的一种是862。【例】:一本老账本上记着:72只桶，共7.9元，其中处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上。 解：先将67.9，看做整数a6b。7=89，且（8，9）=1,8|a9b,且9|a679b。 若8|679b，则8|79b,因此b=。 若|a79b，=，则9|a792,a+6+7+2，9|a+2,因此a应是。 因此这个数应是 答:这笔账应是 元。【例3】:73是一种四位数,在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数,依次可以被、11、6整除。先后填入的三个数字的和是多少?措施一 试商法 解： 措施二 倍数特性解:三、 课后作业1. 在中填入合适的数字，使所构成的数可以被4整除。78 73 83.一种六位数356是22的倍数，那么这样的六位数中,最大的一种是多少？2. 71450至少加上多少后就能被4整除?4. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除487，那么这两个数的差是多少?5.一位采购员买了同样的72只热水杯,可是发票不慎弄湿，单价无法辨认,总价数字也不全，只能看出： 173 元。你能算出热水杯的单价吗?第一讲 整数问题第2课 倍数与因数(一）一、 知识要点1. 质数与合数质数:一种数除了和它自身,不再有别的因数,这个数叫做质数。（素数)合数：一种数除了1和它自身,尚有别的因数，这个数叫做合数。1不是质数,也不是合数。2. 质因数与分解质因数质因数:如果一种质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一种合数用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。 例：3分解质因数。 解:=23 答：2、3、5是30的质因数。 分解质因数的措施：可以用短除式来求质因数10以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、 11、13、 17、19、 23、2、3、7、 1、4、 47、 3、9、 1、7、 71、73、 79、 83、89、.3. 公因数与公倍数公因数:几种自然数公有的因数,叫做这几种自然数的公因数。公倍数:几种自然数公有的倍数，叫做这几种自然数的公倍数。一种数的因数的个数是( ）的，倍数的个数是( ）的。几种数的公因数的个数是( )的,公倍数的个数是( )的。4. 最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几种自然数的公因数中,最大的一种称为这几种数的最大公因数。 a、b的最大公因数=(a，)最小公倍数:在几种自然数的公倍数中，除零外最小的一种称为这几种数的最小公倍数。a、b的最小公倍数=a、b1 83 029335用公有的质因数2除用公有的质因数3除除到两个商是互质数为止15 (18,）=3 18，0=235=90二、 典型例题详解用短除法计算：【例1】五年级三个班分别有0、24、42人参与课外科技活动,目前要把参与的人提成人数相等的小级，并且各班同窗不能打乱,那么每组最多多少人？一共可以提成多少个小组?解: 30=235 24=2322 42=237 （3,4，2）=23=6（人) 065（个）46=4(个）6（个）5+7=16（个)答:每组最多可以分6人，一共可以分16个组。【例】有一种长1厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一种正方形，至少需要多少块?用短除法计算：解：1622 12=23 1,12=2223 48(厘米) 46=3（块） 4812=4（块) 34=12（块）答：至少需要2块扣板。【例3】甲对乙说:“我目前的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙目前的年龄。解:甲目前的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍； 当甲的年龄是乙的6倍时,则甲的年龄比乙大倍； 当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍； 当甲的年龄是乙的4倍时,则甲的年龄比乙大倍； 当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大倍; 当甲的年龄是乙的2倍时,则甲的年龄比乙大1倍；甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。6，5,3,2=542(岁)60（-）=10(岁）10+0=70（岁）答：甲的年龄是70岁,乙的年龄是10岁。【例4】写出三个不不小于20的自然数,它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组？解：假设这三个数分别是a、b、 a、c两两不互质,且2，n，则n。对于分数m和n，若-mn。5. 典型例题【例1】把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。（)、 8，12，0，60=120 = = = = （2）、 30，15，20,1=60 = = = 【练一练1】把下面的分数按从小到大的顺序排列：、分数、中,哪一种最大?【例2】比较和的大小 1= -= b D.a一定不不小于b如果a=，b=,，ba如果a=，b=，,ba【练一练2】比较和的大小【练一练】下列分数中最大的是( ） A. B. C. D. 【例】比大,比小，分子是1的分数共有多少个? ,1，173 = 172=34 119=591 102=51 答:分母可以是:1，52，53，54，5，5,57，58,59共8个。【练一练4】在下面的中填入合适的整数,使不等式成立。【练一练5】在、这四个分？、数中，最大的是哪个?最小的是哪个？【练一练6】写出三个不小于而不不小于的最简真分数。【练一练7】分子是,比小，但与最接近的分数是哪一种？【练一练8】已知,c、g为持续自然数，求c和g。二、课后作业【1】将、从小到大排列，排在第三个位置上的数是多少?【2】把五个分数、按从小到大的顺序排列。【3】设a,b=,试比较a与b的大小。【4】在下面的 中填入合适的整数,使不等式成立。里应填的整数有哪些？0.250.6【】比较和的大小。【】比大,比小,分母是40的最简分数有多少个?【7】比较与的大小。【8】有七个数,，,是，其中的五个，已知从小到大排的第三个是，求从大到小排的第三个数。第四讲 行程问题第1课 行程中的追及问题一、 知识要点1. 行程中的基本数量关系：路程=速度时间2. 追及问题中的基本数量关系:路程差（追及路程)=速度差追及时间路程差（追及路程)速度差追及时间路程差（追及路程）追及时间速度差3. 追及问题中的应注意的规律： 追赶者所用的时间被追赶都所用的时间=追及时间二、 典型例题追及时间【例1】一辆面包车的速度是每小时6千米，在面包车开出0分钟后,一辆小轿车以每小时4千米的速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车,多长时间能追上？先行30分钟小轿车面包车追及时间追 及 路 程 0（360）30（千米） 30(84-60）1.2（小时) 1.5小时=小时5分钟答：小轿车需要1小时15分钟追上面包车。解题过程中用到的公式路程差(追及路程）速度差=追及时间【练一练1】一种人骑自行车,一种人骑摩托车,两人同步从甲地出发去乙地。自行车每小时行18千米，摩托车每小时行45千米。自行车先出发15小时，摩托车沿着同一条路线追赶自行车,追上自行车时,摩托车行了多少千米?【例2】甲、乙两车同步、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米。途中甲车因故障修车用了小时，成果甲车比乙车迟1小时达到目的地。两地间的路程是多少千米？ 3（31）=350(千米) 0（40-3）=70514（小时) 4014=50(千米） 答：两地间的路程是560千米。【练一练2】红星小学组织学生步行去郊游,步行的速度是每分钟0米,队尾的教师以每分钟150米的速度赶到排头，然后立即返回共用的了0分钟,学生的队伍有多长?【例3】兄弟两人同步离家去上学，哥哥每分钟走9米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹相遇，她们家离学校有多远?102（90-0)=030=2(分钟) 912-180=900（米) 答:她们家离学校90米。【练一练】小红每分钟行80米,小英每分行60米，两人在同一地点同步相背而行,走了3分钟后,小红掉头去追小英。追上小英时,两人各行了多少米？【例4】小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地,早上时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走5千米，小丽每小时走千米。小霞上午8时才从甲地出发。傍晚6时，小华和小霞同步达到乙地。小霞什么时间追上小丽的?8-8=0(小时） 8-6=2（小时) 5（2+1）10=610=6(千米/小时） 2(-4）=82=4（小时) 8+2答：小霞是12点追上小丽的。【练一练4】小明从家里出发,步行去公园。10分钟后，爸爸骑自行车从家里出发，在离家00米的地方追上小明，发现忘了带照相机，立即回家去拿。拿到后立即追赶小明，在离家120米的地方又追上小明,求两人的速度各是多少?【练一练5】猎狗追赶前方1米的野兔，猎狗步子大，它跑步的路程兔子要跑8步，但是兔子动作快,猎狗跑步的时间,兔子能跑4步，猎狗至少跑多远才干追上野兔?【练一练6】甲乙两人练习跑步，若甲让乙先跑1米,则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑了3秒钟,则甲跑6秒钟就追上乙。问甲、乙两人的速度各是多少？三、 课后作业【】某小学有一种300米的环形跑道,扬扬和宁宁同步从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米,宁宁每秒跑4米。问:扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米?【】姐姐步行的速度是每分75米,妹妹步行的速度为每分65米。在妹妹出发20分钟后，姐姐出发沿同一路线去追赶妹妹,她多长时间能追上?【3】一辆卡车以每小时6千米的速度开出小时25分钟后，一辆吉普车以每小时8千米的速度追赶卡车。在吉普车赶上卡车2分钟前，两车相距多远?【4】一辆卡车以每小时30千米的速度从A地驶往B地,出发1小时后,一辆轿车以每小时5千米的速度也从地驶往B地，比卡车早半小时达到B地。A、B两地相距多远？【5】小红每分钟行0米，小英每分钟行60米，两人在同一地点同步相背而行，走了3分钟后,小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？【】一到队伍长45米,以每秒5米的速度行进。一种战士因事需要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。如果她的速度是每秒3米,那么,这位战士来回共需要多少时间？【】快、中、慢三辆汽车同步从A地出发到B地去,出发后6分钟，快车超过了一名长跑运动员，过两分钟后中车也超过去了。又过了2分钟，慢车也超过去了。已知快车每分钟行驶100米，中车每分钟行驶80米，慢车的速度是多少?【8】当甲在6米赛跑中冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果乙和丙按本来的速度继续冲向终点,那乙到终点时将比丙领先多少米?【9】好马每天走240里，劣马每天走15里,劣马先走12天,好马几天可以追上劣马?【10】哥哥放学回家，以每小时6千米的速度步行，18分钟后,弟弟也从同一所学校放学回家。弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追哥哥。通过几分钟弟弟可以追上哥哥?