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第六章 常微分方程1一阶方程1）可分离变量2）齐次 ， 令 。3）线性 通解： 4）伯努利 ， 令 5）全微分 a) 判定: b) 解法: 1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分2可降阶方程:（数三不要求） 1) 2) 令3) 令3高阶线性方程: 1) 变系数: 非齐次 齐次解的结构: a) 齐次通解,其中为齐次两线性无关特解 b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 c) 非齐次特解I 非齐次特解II = 齐次特解 2)常系数: a) 齐次 特征方程 设是特征方程两个根1）不等实根：， ；2）相等实根：， ；3）共轭复根：， ； b) 非齐次： 令 等于作为特征方程根的重数.令 3） 欧拉方程 （仅数一要求） 令， 4 差分方程（仅数三要求）1。一阶常系数线性齐次差分方程 （1）通解为 2。一阶常系数线性非齐次差分方程 （2）通解为 其中是非齐次差分方程（2）的特解。1) （1）若 令 （2）若 令 2）， （1）若 令 （2）若 令 例 差分方程的通解为 .解： 原方程的一般形式为 ，其对应的齐次差分方程为 其通解为 （为任意常数）. 因为是的一次多项式，且，故设原方程的特解为，代入原方程，得即 比较系数知，故，从而原差分方程的通解为例 差分方程的通解为 .解： 原方程对应的齐次差分方程为其通解为 （为任意常数）.因为，且，故设原方程的特解为代入原方程，得 即 比较系数知，故，从而原差分方程的通解为 题型一 微分方程求解例6.1求解下列一阶微分方程(1) (2) (3) (4) (5) (6) 求方程满足条件的特解. (7) 解（1） （2） 令， （3）解 令.令 得 （4）解 （线性）（5）解 令， （6）解 令，则 （线性） 由 知，.（7）解 例6.2求解下列各题（可降价）1） 求方程的通解 2） 求方程的特解. 1）解法1 可降阶方程 令，则， （线性）解法2 .2）解 令令，显然，均为原方程解，但由，知，即， ， 由知，.例6.3求解下列各题(高阶线性方程)1. 方程的特解形式可设为 （B）A） B） C） D） 2. 方程的特解形式可设为 (C) A) B) C) D) 3方程的特解形式可设为 （D） A） B） C） D）4设线性无关的函数都是方程的解，为任意常数，则该非齐次方程通解是 A） B）C） D） 5已知为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程. 解， 为齐次的解. 为非齐次解. 为齐次解.则齐次方程特征方程为即 则齐次方程为 设所求的二阶线性非齐次方程为将代入该方程得 .故所求方程为 6.若是方程的解,求及该方程通解。解法1 将代入原方程比较系数得 ，.解法2 由于为原方程的解，则必为齐次的解. （由方程非齐次项知非齐次解中只会出现而不会出现）.与中，为齐次的解. （若是齐次解，为特征方程二重根，但已是一个根）则齐次方程的特征方程为 ，即 齐次方程为 于是 ，将代入方程得，则所求方程的通解为.7.若为的两个解,求该微分方程.解法1 将和代入方程得 .解法2 （1） （2） （3）（1）式+（3）式得 （4）（1）（2） 得 从而有8.求方程的通解,其中常数解 齐次方程特征方程为特征根为 1）若，则非齐次特定特解为代入原方程得，则原方程通解为.2）若，则非齐次方程待定特解为代入原方程得 ，则原方程通解为， 题型二。综合题例6.4 求连续函数，使它满足解 令则 由题设知则例6.5设连续,且满足=,求.解 令，则 从而有 ， ， 例6.6设=,其中为连续函数.求解 （1） （2） 即 （3）由（1）式知，由（2）式知.非齐次方程（3）对应的齐次方程特征方程为， 设方程（3）的待定特解为，代入（3）式得.则方程（3）的通解为由和可得，则 例6.7设在上有定义，对任意的,求.解 例6.8设有连续一阶导数，求及，其中解 由题设知 即 由知，.例6.9设具有二阶连续导数,而满足方程+。解 令，则；.将和代入等式+得，即 .这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，特征方程为，则.例6.10设函数内具有二阶导数，且 的反函数.（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程; （2）求变换后的微分方程满足初始条件的解.解 （1）， 将以上两式代入原方程得 （2）特征方程为 ， 非齐次待定特解为.代入得，.则非齐次方程通解为.由，可得 .则所求特解为：. 题型三。应用题例6.11设曲线为连续与的弧段且位于弦的上方(如右图), 为其上任意一点,弦BP与该曲线围成的面积为,试求该曲线方程.解 ，例6.12设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求.解 曲线在点处的切线方程为令得，于是 即 ， ，例6.13设二阶可导,且.过上任意点作该曲线的切线及轴的垂线,上述二直线与轴所围三角形面积记为,区间上以为曲边的曲边梯形面积记为,且,求.解： 设切线方程为,则它与轴交点为由.令得 由，并注意到，故为所求曲线方程. 152
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