建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空 间直角坐标系.依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立 空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键.下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略.一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABCD-A BCD中，AA=2，底面ABCD是直角梯形，NA为直角，ABCD, 1111iAB=4, AD=2, DC=1,求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.解析：如图1,以D为坐标原点，分别以标系，则 C1 (0,1, 2)、B (2, 4,0),二 BC = (-2,-3,2), CD = (0,-1,0).设BC与CD所成的角为0 ,DA、 DC、 DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐则cos0 =二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2如图2,在三棱柱ABC-A B C中，AB侧面BBCC,E为棱CC上异于C、C的一点,EAEBE 1 1 11 1111知AB =很,BB1 = 2, BC=1,ZBCC1= : 求二面角A-EB1-A 1的平面角的正切值.解析：如图2,以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面ABRO 直线为x轴建立空间直角坐标系.由于 BC=1, BB1 = 2AB=很,Z BCC1 = 3 ,二在三棱柱 ABC-A1B1C 1中，有 B(0, 0,0)、A(0,0,很)、B1 ( 0,2,0)、c 号，2,0C1a，0J一吏，a,川J012 ,2 a,0V 22J VJ即由 EAEB1,（1、a 一一【23 ,3八=_ + a (a 2) = a 2 2a + _ = 04 413-即a = 或a = (舍去).故E由已知有成1昭，跃1EB,故二面角A-EB1-A1的平面角e的大小为向量叩;与羸 的夹角.因 BA = BA = (0,0,2)，EA =1 1故cose =EABA 1 1 =网 B1A12 飞，即tane（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3如图3,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD 底面ABCD.（1）证明AB平面VAD；解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.设 AD=2，则 A （1，0，0）、D （ 1，0，0）、B （1，2，0）、V(0,0,睿)，二 AB = (0,2,0),有=(1,0,百).由 AVA = (0,2,0)(1,0,一知=0，得ABVA.又ABAD,从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，二AB1平面VAD；J 1 一后)设E为DV的中点，则E - ,0，厂I 2 2 JEa =3,0,史:，,EB =f 32 ,2,-22,l 227,DV = (1,0,3)二 EBDV =.(1,0, ,3)= 0,/.EBDV又EADV,因此ZAEB是所求二面角的平面角.二 cos：； ea,eb=EAEB _ v2T EEb = T故所求二面角的余弦值为号四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4已知正四棱锥VABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.求ZDEB的余弦值；若BEVC, 求ZDEB的余弦值.解析：(1)如图4,以V在平面AC的射影。为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC,OyAB,则由 AB=2a, OV=h,有 B (a, a,0)、C (-a, a,0)、D (-a, -a,0)、V (0, 0, h)、e/LI 2 2 2)A 33W图4. BEDE =即 cos Z DEB =6a 2 + h 210a 2 + h 2二 cos(BE,dE_ BEDE _ 6a 2 + h2 网|网 10a2 + h2，因为E是VC的中点，又BEVC,所以BEVC = 0,即(3a, a,(一a, a, h) = 0 ,V 22 2 J3a 2h2 八/ a2 = 0222这时海既,页;：，=：二=-3 5 g zdeb = - 3.引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空 间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一.下面以 高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径.五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自 身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD 的高都为 2, AB=4.(1) 证明：PQ平面ABCD；(2) 求异面直线AQ与PB所成的角;求点P到平面QAD的距离.简解：(1)略;(2)由题设知，ABCD是正方形，且ACBD.由(1), PQ平面ABCD,故可分别以直线CA, DB, QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图1),易得AQ = (-2、；2,0,-2),PB = (0,22,-2),cos 得 取x = 1,得n AD = 0,I x + y = 0,点P到平面QAD的距离dPQn|l = 2 也 n(3)由(2)知，点 D (0,- 2互舟 AD = (-0 - 2 寸 2,0)PQ = (0,0, 4) 设n= (x, y, z)是平面QAD的一个法向量，则点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出.第(3) 问也可用“等体积法”求距离.