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3.2导数的应用(一)2014高考会这样考1.利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值；2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题复习备考要这样做1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义，体会导数的工具作用；2.理解导数和单调性的关系，掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤1 函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值难点正本疑点清源1 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较2 f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件3 对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件1 若函数f(x)在x1处取极值，则a_.答案3解析f(x).因为f(x)在x1处取极值，所以1是f(x)0的根，将x1代入得a3.2 函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.3. 如图是yf(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点其中正确的判断是_(填序号)答案解析f(x)在2，1上是小于等于0的，f(x)在2，1上是减函数；f(1)0且在x0两侧的导数值为左负右正，x1是f(x)的极小值点；对， 不对，由于f(3)0.4 设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D.答案C解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.5 (2011辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为 ()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，).题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间思维启迪：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论解(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt或x.因为t0，所以分两种情况讨论：若t0，则0，则t0和f(x)0，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，2)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调减区间是(2，2)(2)f(x)3x26ax33(xa)21a2当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a20时，f(x)0有两个根x1a，x2a.由题意，知2a3，或2a3，无解，的解为a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|00，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.利用导数求函数最值问题典例：(14分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值审题视角(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，1分当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)3分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 9分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.10分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.12分综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.14分答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较， 确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1 注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想2 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2 函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f(x)0的点可以排除B.2 设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0时，ex1，aex1.3 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.4 若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)内为增函数，则实数a的取值范围是 ()Aa2 B5a7C4a6 Da5或a7答案B解析因为f(x)x3ax2(a1)x1，所以f(x)x2axa1，由题意知当1x4时，f(x)0恒成立，即x2axa10在(1,4)上恒成立，a(x1)x21，ax1(1x2或a0，a2或a1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)f(x)2ax.又f(x)在x1处有极值.得即解之得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x，其定义域是(0，)，且f(x)x.由f(x)0，得0x0，得x1.所以函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)9(12分)已知函数f(x)ax36ax2b，是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3、最小值29？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由解显然a0，f(x)3ax212ax3a(x24x)令f(x)0，得x0或x4(舍去)当a0时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)极大值当x0时，f(x)取得最大值，f(0)3，b3.又f(1)7a3f(2)16a3，最小值f(2)16a329，a2.当a0时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)极小值当x0时，f(x)取得最小值，b29.又f(1)7a29f(2)16a29，最大值f(2)16a293，a2.综上，或B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是 ()答案C解析f(x)在x2处取得极小值，当x2时，f(x)单调递减，即f(x)2时，f(x)单调递增，即f(x)0.当x0；当x2时，yxf(x)0；当2x0时，yxf(x)0时，yxf(x)0.结合选项中图象知选C.2 函数yxex，x0,4的最小值为 ()A0 B. C. D.答案A解析yex(x1)，y与y随x变化情况如下表：x0(0,1)1(1,4)4y0y0取极大值当x0时，函数yxex取到最小值0.3 f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为 ()A(4,0)(4，) B(4,0)(0,4)C(，4)(4，) D(，4)(0,4)答案D解析令g(x)xf(x)，则g(x)为奇函数且当x0时，g(x)f(x)xf(x)0的解集为(，4)(0,4)二、填空题(每小题5分，共15分)4 已知函数f(x)x3ax2bxc (x2,2)对应的曲线C过坐标原点，且在x1处切线的斜率均为1，则f(x)的最大值和最小值之和等于_答案0解析由曲线f(x)x3ax2bxc (x2,2)过坐标原点可知c0.f(x)3x22axb，由已知得解得a0，b4，f(x)x34x，f(x)在x2,2上有最大值，最小值，且函数f(x)x34x为奇函数，函数f(x)x34x的最大值和最小值之和为0.5 设函数f(x)p2ln x(p是实数)，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则实数p的取值范围为_答案1，)解析易知函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)，要使f(x)为单调增函数，须f(x)0在(0，)上恒成立，即px22xp0在(0，)上恒成立，即p在(0，)上恒成立，又1，所以当p1时，f(x)在(0，)上为单调增函数6 已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_答案(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)，显然a0，f(x)3(x)(x)，由已知条件01，解得0a2时，求函数f(x)的极小值；(2)试讨论函数yf(x)的图象与x轴公共点的个数解(1)因为f(x)3ax23(a2)x63a(x1)，所以易求出函数f(x)的极小值为f(1).(2)若a0，则f(x)3(x1)2，所以f(x)的图象与x轴只有1个交点；若a0，f(x)的极小值为f0，所以f(x)的图象与x轴有3个交点；若0a2，则f(x)的极大值为f(1)0，f(x)的极小值为f2，由(1)知f(x)的极大值为f420，f(x)的极小值为f(1)0，所以f(x)的图象与x轴只有1个交点综上，知若a0，f(x)的图象与x轴只有1个交点；若a0，f(x)的图象与x轴有3个交点
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