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常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2= ,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为 代入得把即两边同时积分得： e ex x yc yx x cycyxdxdy y 2 2 ,1 1,0,ln,2 1 2 = =+= ,0)1(.2 2 =+ dyxdx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当 即时，两边同时积分得；当 x y cyxy xc yc y xydydx x y + = = + =+=+= + 1ln1 1 ,11,00 1ln 1 , 1 1ln0, 1 1 1 2 3 yxy dx dy x y 3 2 1 + + = 解：原式可化为： xx y xx y x y xy y x y c cccx dx x dy y y x ydx dy 22 2 22 2 2 2 32 2 3 2 )1(1 )1)(1(),0(ln1ln 2 1 ln1ln 2 1 1 1 ,0 1 1 1 =+ =+=+ + = + + + = + ）故原方程的解为（ 即两边积分得 故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln,lnln 0 11 000 0)1()1(4 = =+=+ = = + = =+ xycyxxy cyxxycyyxx dy y y dx x x xyxy xdyyydxx 故原方程的解为 即两边积分 时，变量分离是方程的解，当或解：由 ： 10 ln1 ln ln1 ln1 , 0ln 0)ln(ln:9 3 1 :8 .coslnsinln 07 lnsgnarcsin lnsgnarcsin 1 sgn 1 1 , )1( , 6 ln)1ln( 2 1 1 1 1 , 1 1 , 0)()(:5 3 3 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 c dxdy dx dy x y cy ud u u dx xx y u dx x y dy x y ydxdyyxx cdy y y y y dx dy cxy tgxdxctgydy ctgxdytgydx cxx x y cxxu dx x xdu xdx du dx du xu dx dy uxyu x y y dx dy x cxarctgu dx x du u u u dx du xu dx du xu dx dy uxyu x y xy xy dx dy dxxydyxy ee ee e e e e x y u ux y x u u xy xy yx x x += = = += + = = = += = += = = = += += = = += += +=+ = + + + + =+ += + = =+ + 两边积分 解：变量分离 ： 。代回原变量得： 则有：令 解：方程可变为： 解：变量分离，得 两边积分得： 解：变量分离，得： ： 也是方程的解。另外， 代回原来变量，得 两边积分得： 分离变量得： 则原方程化为：解：令 ： 。两边积分得： 变量分离，得：则 令解： cxyxarctg cxarctgtdxdt dx dt dx dt dx dy tyx dx dy c dxdy dx dy t t yx ee ee e xy xy yx +=+ += + += +=+ = += = = + )( , 1 1 1 1 1, .11 2 2 2 )( 代回变量得： 两边积分变量分离得： 原方程可变为： 则解：令 两边积分得： 解：变量分离， 12 2 )( 1 yxdx dy + = 解 cxyxarctgyx cxarctgttdxdt t t tdx dt dx dt dx dy tyx +=+ += + +=+ )( 1 1 1 1 2 2 2 ，代回变量，两边积分变量分离 ，原方程可变为，则令 变量分离 ，则方程可化为：令 则有令 的解为解：方程组 U U dX dU XU X Y YX YX dX dY YyXx yxyxyx yx yx dx dy U 21 222 2 2 , 3 1 , 3 1 3 1 , 3 1 ;012,012 12 12 .13 2 + = =+= =+= + = .7)5(7 2 1 77 2 1 7)7(, 7 1 ,1,5 2 5 ,14 )5( 2 2 cxyx cxt dxdtt t t dx dt dx dt dx dy tyx yx yx dx dy yx t +=+ += = = + = + 代回变量 两边积分 变量分离原方程化为： 则解：令 15 18)14()1( 22 += xyyx dx dy 原方程的解。 ，是，两边积分得分离变量 ，所以求导得，则关于令 解：方程化为 cxyxarctgdxdu u u dx du dx du dx dy xuyx yxxyyyxx dx dy +=+= + +=+=+ +=+= 6) 3 8 3 2 3 2 ( 94 1 4 9 4 1 4141 2)14(18181612 2 2 222 16 225 26 2 2 yxxy xy dx dy + = 解：，则原方程化为，令uy xxy xy dx dy xxyy xy dx dy = + = + = 3 23 2233 232 223 2 2)(3 2( 2)( 12 6 3 2 63 2 2 2 22 + = + = x u x u xxu xu dx du ，这是齐次方程，令 cxxyxy cxyxycxxyxy cxzzdx x dz dzz z zz xyxyzzzz z zz dx dz x dx dz xz z z dx dz xz dx du z x u 153373 3353373 537 2 2 332 22 )2()3( 023)2()3 ,)2()3 112 06 2312306 )1.(. 12 6 12 63 =+ =+ =+= + = + =+= + += 的解为 时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（ ，两边积分的（时，变量分离当 是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当 ，所以，则 17. yyyx xxyx dx dy + + = 32 3 23 32 解：原方程化为 123 132 ; )123( )132( 22 22 2 2 22 22 + + = + + = yx yx dx dy yxy yxx dx dy 令)1.( 123 132 ;, 22 + + = uv uv dv du vxuy则 方程组 ，）；令，的解为（1111 0123 0132 += =+ =+ uYvZ uv uv 则有 + + = =+ =+ z y z y dz dy yz yz 23 32 1 023 032 ）化为，从而方程（ 令 )2.(. 23 22 23 32 2 ，所以，则有 t t dz dt z t t dz dt zt dz dt zt dz dy z y t + = + + =+= 当 是原方程的解或的解。得，是方程时，即 22222 2)2(1022 xyxytt = 当 cxyxydz z dt t t t 52222 2 2 )2( 1 22 23 022 +=+= + 两边积分的时，分离变量得 另外 cxyxyxyxy 522222222 )2(2 +=+=原方程的解为，包含在其通解中，故，或 ，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得 ，则原方程化为令解 ）（ 并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程 c yx x y dx x du u u u u x u u u u x yx yx dx dy y x xdydxyxy uxyxyf dx dy y x += =+ + = = + = + = + = + += += +=+= += = =+= + = =+ = 4 ln 1 4 2 2 41 ) 2 2 ( 1 dx du uxy(2) 0.x,c 2 故原方程的解为原 也包含在此通解中。0y,c 2 即,c 2 两边同时积分得： dx x 1 2u du 变量分离得：),(2u x 1 dx du 则方程化为u,xy令 1 dx dy y x 时，方程化为0sxy是原方程的解，当0y或0 x当:(1)解 程。故此方程为此方程为变 u)(uf(u) x 1 1)(f(u) x u 1)y(f(u)dx du f(u),1 dx du y 1 得： y dx du dx dy x所以, dx dy dx dy xy求导导得x关于u,xy证明：因为 2 2 ).2( )1(.1 )(18. 222 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 22 22 22 x y x y x y x y x u u u u y x 19. 已知f(x) = x xfxdtxf 0 )(,0,1)(的一般表达式试求函数. 解：设f(x)=y, 则原方程化为 = x y dtxf 0 1 )( 两边求导得 1 2 y y y = cx y y cx dyy dx dx dy y + =+= 2 1 ; 1 2 1 ; 1 ; 23 3 所以两边积分得 代入把 cx y + = 2 1 = x y dtxf 0 1 )( x yccxccxcxdt ct x 2 1 ,02)2(;2 2 1 0 =+=+= + 所以得 20.求具有性质 x(t+s)= )()(1 )()( sxtx sxtx + 的函数x(t),已知x(0)存在。 解：令t=s=0 x(0)= )0(1 )0()0( x xx + = )0()0(1 )0(2 xx x 若x(0) 0 得x 2 =-1矛盾。 所以x(0)=0. x(t)= )(1)(0( )()(1 )(1)( lim )()( lim 2 2 txx txtxt txtx t txttx += + = + ) )(1)(0( )( 2 txx dt tdx += dtx tx tdx )0( )(1 )( 2 = + 两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42） 习题 2.2 求下列方程的解 1 dx dy = xy sin+ 解： y=e dx ( xsin e dx cdx+ ) =e x - 2 1 e x ( xx cossin + )+c =c e x - 2 1 ( xx cossin + )是原方程的解。 2 dt dx +3x=e t2 为解：原方程可化 ： dt dx =-3x+e t2 所以：x=e dt3 ( e t2 e dt3 cdt + ) =e t3 ( 5 1 e t5 +c) =c e t3 + 5 1 e t2 是原方程的解。 3 dt ds =-s tcos + 2 1 t2sin 解：s=e tdtcos ( t2sin 2 1 e dt dt 3 c+ ) =e tsin ( +cdttet tsin cossin ) = e tsin ( cete tt + sinsin sin ) = 1sin sin + tce t 是原方程的解。 4 dx dy nx xey n x = ， n 为数常. 为解：原方程可化 ： dx dy nx xey n x += )( cdxexeey dx x n nx dx x n + = )( cex xn += 是原方程的解. 5 dx dy + 1 21 2 y x x =0 为解：原方程可化 ： dx dy =- 1 21 2 + y x x = dx x x ey 2 12 ( cdxe dx x x + 2 21 ) ) 2 1 (ln 2 + = x e )( 1 ln 2 + cdxe x x = )1( 1 2 x cex + 是原方程的解. 6 dx dy 2 34 xy xx + = 解： dx dy 2 34 xy xx + = = 2 3 y x + x y 令 x y u= 则 uxy = dx dy =u dx du x+ 因此： dx du xu+ = 2 u x 2 1 udx du = dxduu = 2 cxu += 3 3 1 cxxu +=3 3 （*） 将 x y u= 带 入 （*）中 得： 343 3 cxxy = 是原方程的解. 3 3 3 2 () 2 1 () 2 2 7. ( 1) 1 2 (1) 1 2 () , () ( 1) 1 (1) () 1 (1) dx Pxdx x Pxdx dy y x dx x dy y x dx x Px Qx x x eex eQxdxc x + =+ + =+ + =+ + =+ + + P(x)dx 23 2 解： 方程的通解为： y=e =(x+1)( *(x+1)dx+c) =(x+1)( (x+ 2 3 2 2 1 (1) () 2 1 1 ,() () dy y x c dy y dx x y dx xy dyyy Qy y y ey Qydy c + + + =+ = = + 2 24 3 P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c) =(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. = x+y 解： 则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 2 3 3 1 *) 2 2 ydy c y y cy y + + =y( = 即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。 () () () 1 9. , 1 ),() () 0 1 a dx Pxdx a x Pxdx Pxdx a a dy ay x a dx x x ax Px Qx xx eex eeQxdxc a a + =+ + = = + = = 为常数 解：（ 方程的通解为： y= 1 x+1 =x ( dx+c) xx 当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程 01a aa a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ， 时，方程的通解为 x1 y=cx + - 1- 3 3 3 1 () () () 3 10. 1 1 () , () 1 () (* ) dx Pxdx x Pxdx Pxdx dy xyx dx dy yx dx x Px Qx x x ee x eeQxdxc xxdxc c x c x += = + = = = + + + + 3 3 解： 方程的通解为： y= 1 = x x = 4 x 方程的通解为：y= 4 () () () 2 2 33 33 23 3 23 2 3 3 2 3 11. 2( ) 2( ) () 2, () 2 () (2) px xdx x px px x dy xy x y dx xy x y dx xy x ydx xy x dx yz dz xz x dx Px xQx x edxe e e dx e dxQ x dx c ex += = + = + = + = = + = = + 2 3 -2 x dy 解： 两边除以y dy dy 令 方程的通解为： z= =e 2 2 2 ) 1 1) 1, 0 x x dx c ce yce y + + += = 2 2 =x 故方程的通解为： (x 且 也是方程的解。 2 2 2 1 2 11 1 () () 22 2 ln 1 12.( ln 2) 424 ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2ln () , () () ln 1 ()( Pxdx Pxdx dx dx xx cx yx ydxxdyx dy x y y dx x x y dy x y ydx x x dy x y dx x x yz dz x z dx x x x Px Qx xx ze e Qxdxc x ze e dxc x x = + = = = = = = =+ =+= 解： 两边除以 令 方程的通解为： 2 2 2 ln () ln 1 424 ln 1 :( ) 1, 424 x dx c xx cx x cx yx + =+ += 方程的通解为 且y=0也是解。 13 2 2 2() 21 22 xydy y x dx dy y x y dx xy x y = = 这 是 n=-1 时 的伯努利方程。 两边 同除以 1 y ， 2 1 2 dy y y dx x = 令 2 y z= 2 dz dy y dx dx = 2 22 11 dz y z dx x x = P(x)= 2 x Q(x)=-1 阶线由一 性方程的求解公式 22 () dx dx xx ze e dxc = + = 2 x xc+ 22 y xxc=+ 14 2 3 y dy e x dx x + = 两边 同乘以 y e 2 2 () 3 yy y dy e xe e dx x + = 令 y ez= y dz dy e dx dx = 22 33dz z xz z z dx x x x + =+ 这 是n=2 时 的伯努利方程。 两边 同除以 2 z 22 131dz zdx xz x =+ 令 1 T z = 2 1dT dz dx z dx = 2 31dT T dx x x =+ P（x）= 3 x Q(x)= 2 1 x 阶线由一 性方程的求解公式 33 2 1 () dx dx xx Te e dxc x =+ = 32 1 () 2 x xc + = 13 1 2 x cx + 13 1 ()1 2 zxcx += 13 1 ()1 2 y excx += 23 1 2 yy x ecex+= 23 1 2 y x xe c += 15 33 1dy dx xy x y = + 33 dx yxyx dy =+ 这 是n=3 时 的伯努利方程。 两边 同除以 3 x 3 32 1 dx y y xdy x = + 令 2 x z = 3 2 dz dx x dy dy = 3 2 2 2 dz y y dy x = = 3 22yzy P(y)=-2y Q(y)= 3 2y 阶线由一 性方程的求解公式 22 3 (2 ) ydy ydy ze ye dyc = + = 22 3 (2 ) yy eyedyc + = 2 2 1 y yce + 2 22 (1 )1 y xy ce + = 222 22 (1 ) yyy x ey ce e + = 2 222 2 (1 ) y exxycx+ = 16 y= x e + 0 () x ytdt () x dy eyx dx =+ x dy ye dx =+ P(x)=1 Q(x)= x e 阶线由一 性方程的求解公式 11 () dx dx x ye ee dxc =+ = () xxx eeedxc + = () x exc+ 0 () () x xx exc e excdx+=+ + c=1 y= () x exc+ 17 设数函 (t) 于 t= kvktk dt dv m 即：(*)( 12 t m k v m k dt dv + = (*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 )( 22 1 cdtet m k eV dt m k dt m k + = )( 222 2 2 1 2 1 ce k mk et k k e t m k t m k t m k += 又当t=0时，V=0，故c= 2 2 1 k mk 因此，此质点的速度与时间的关系为：)( 22 1 2 2 1 2 k m t k k e k mk V t m k += 36. 解下列的黎卡提方程 （1） xxx eyeyey 22 12 =+ 解：原方程可转化为：(*),2 322 xxxx eeyeyey += 观察得到它的一个特解为： x ey =，设它的任意一个解为zey x +=， 代入（*）式得到：(*)(2)( )( 322 xxxxxx x eezeezee dx zed += + 由（*）-（*）得： 2 ze dx dz x = 变量分离得：dxe z dz x = 2 两边同时积分：ce z x += 1 即： ce z x + = 1 故原方程的解为 x x ec ey + += 1 （2）xxxyyy 22 sincossin2 =+ 解：原方程可化为：xxxyyy 22 sincossin2 += 由观察得，它的一个特解为xy sin=，设它的任意一个解为zxy += sin，故 22 )sin2sin2( zzzxx dx dz =+= 变量分离再两边同时积分得：cx z += 1 即 cx z + = 1 故原方程的解为 cx xy + += 1 sin （3）1 222 += xyyxyx 解：原方程可化为： 2 2 11 x y x yy += 由观察得到，它的一个特解为 x y 1 =，设它的任一个解为z x y += 1 ，故 2 1 zz xdx dz +=，该式是一个2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z得到：1 111 2 += zxdx dz z 即：1 11 1 = zxdx z d ，令u z = 1 ， 则：1 1 = u xdx du ，根据一阶非齐线性方程的求解公式得： =+= |)|()( 11 xencxcdxeeu dx x dx x 故： |)|( 1 xencx z = 因此：原方程的解为：1 | 1 = xenc xy （4）1)(4 22 = yyx 解：原方程可化为： 2 2 4 1 x yy += 由观察得到，它的一个特解为 x y 2 1 =，设它的任一个解为z x y += 2 1 ，于 是 2 1 zz xdx dz +=，这是2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z得到：1 111 2 += zxdx dz z 即：1 11 1 = zxdx z d 则： =+= |)|()( 1 11 xencxcee z dx x dx x 即： |)|( 1 xencx z = 故：原方程的解为：1 | 2 2 = xenc xy （5）2)( 22 =+ yyx 解：原方程可化为： 2 2 2 x yy += 由观察得，它的一个特解为 x y 1 =，故设它的任一个解为z x y += 1 ，于是 2 2 zz xdx dz =，这是2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z得到：1 121 2 = zxdx dz z 即：1 12 1 += zxdx z d 则： +=+= ) 3 ( 1 )( 1 3 2 22 c x x cdxee z dx x dx x 故：原方程的解为： xcx x y 13 3 2 + =，即 3 3 2 xc cx xy + = . （6）0)2( 22 =+ xyyx 解：原方程可化为： 2 2 44 x y x yy += 由观察得到它的一个特解为 x y 1 =，设它的任一个解为z x y += 1 ，于是 2 2 zz xdx dz =，这是2=n的伯努利方程 两边同除以 2 z得到：1 121 2 = zxdx dz z 即：1 12 1 += zxdx z d 则： +=+= ) 3 ( 1 )( 1 3 2 22 c x x cdxee z dx x dx x 从而： += )( 1 22 cdxee z dx x dx x ) 3 ( 1 3 2 c x x += 故原方程的解为： )( 431 3 3 3 2 cxx cx cx x x y + + = + += 即： )( 4 3 3 cxx cx xy + + = （7）xyxyxy += )21()1( 2 解：由观察得到它的一个特解为1=y，故设它的任一个解为zy +=1，于是 2 )1( zxz dx dz +=，这是n=2的佰努利方程， 两边同除以 2 z得：)1( 11 2 += x zdx dz z 即：)1( 1 1 x zdx z d += 从而：)1( 1 cdxexe z dxdx + = xxx cexcxee +=+= )( 故原方程的解为： x cex zy + +=+= 1 11 习题3.1 1 求方程 dx dy =x+y 2 通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)( 0 =x 2 00 2 001 2 1 )()( xxdxdxyxyx xx =+= 5222 00 2 102 20 1 2 1 ) 2 1 ()()( xxdxxxdxxxyx xx +=+=+= dxxxxyx x ) 20 1 2 1 ()( 252 0 03 += = 11852 4400 1 160 1 20 1 2 1 xxxx + 2 求方程 dx dy =x-y 2 通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)( 0 =x 则 2 00 2 001 2 1 )()( xxdxdxyxyx xx =+= 5222 00 2 102 20 1 2 1 ) 2 1 ()()( xxdxxxdxxxyx xx =+= dxxxxyx x ) 20 1 2 1 ()( 252 0 03 += = 11852 4400 1 160 1 20 1 2 1 xxxx + 3 题 求初值问题： = = 0)1( 2 y x dx dy R：1+x 1，y 1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max 22 yx =4 则h=min(a, M b )= 4 1 则解的存在区间为 0 xx = )1(x = 1+x 4 1 令 )( 0 X =0 ; )( 1 x =y 0 + x x x 0 )0( 2 dx= 3 1 x 3 + 3 1 ; )( 2 x =y 0 + ) 3 1 3 1 ( 2 1 32 + x xx dx= 3 1 x 3 - 9 x - 18 4 x - 63 7 x + 42 11 又 y yxf ),( 2 =L 则：误差估计为：)()( 2 xx 3 2 2 )12( * h LM + = 24 11 4 题 讨论方程： 3 1 2 3 y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为 y yxf ),( = 3 2 2 1 y在y 0上存在且连续； 而 3 1 2 3 y在y 0null上连续 由 3 1 2 3 y dx dy =有：y =（x+c） 2 3 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y = 00 0 2 3 x xx 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间 t上的连续非负函数， 且满足不等式： f(t)k+ t dssgsf )()( , t 则有：f(t)kexp( t dssg )( ), t 证明：令R（t）= t dssgsf )()( ,则R (T) =f(t)g(t) R (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)R (T)- R(t)g(t)kg(t); 两边同乘以exp(- t dssg )( ) 则有： R (T) exp(- t dssg )( )-R(t)g(t) exp(- t dssg )( ) kg(t) exp(- t dssg )( ) 两边从到t积分： R(t) exp(- t dssg )( )- t dsskg )( exp(- t drrg )( )ds 即 R(t) t dsskg )( exp(- t s drrg )( )ds 又 f(t) 1k+R(t) k+k t sg )( exp(- t s drrg )( )ds k(1-1+ exp(- t s drrg )( )=k exp( s t drrg )( ) 即 f(t) k t drrg )( ; 7题 假设函数f(x,y)于（x 0 ,y 0 ）的领域内是y的 不增函数，试证方程 dx dy = f(x,y)满足条件y(x 0 )= y 0 的解于x x 0 一侧最多只有一个解； 证明：假设满足条件y(x 0 )= y 0 的解于x x 0 一侧有两个 (x),(x) 则满足： (x)= y 0 + x x xxf 0 )(,( dx (x)= y 0 + x x xxf 0 )(,( dx 不妨假设(x)null (x)，则(x)- (x)0 而(x)- (x)= x x xxf 0 )(,( dx- x x xxf 0 )(,( dx = x x xxfxxf 0 )(,()(,( dx 又因为 f(x,y)在（x 0 ,y 0 ）的领域内是y的 增函数，则： f(x, (x)-f(x, (x)0 则(x)- (x)= x x xxfxxf 0 )(,()(,( dx0 则(x)- (x)0 所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x) 则原命题方程满足条件y(x 0 )= y 0 的解于x x 0 一侧最多 只有一个解； 习题 3.4 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）： 1、 4 2 2 += dx dy x dx dy xy 解：令p dx dy =，则 42 2 pxxpy +=， 两边对x求导，得 dx dp pxxp dx dp xpp 324 4222 += () 0221 3 = + p dx dp xxp 从021 3 =+ xp得 0p时， 23 4 3 , 2 1 p y p x =； 从02 =+ p dx dp x得 2 2 2 , c p c y p c x +=， 0p 为参数，0c为任意常数. 经检验得 += = 2 2 2 c p c y p c x ，（0p）是方程奇解. 2、 2 = dx dy yx 解：令p dx dy =，则 2 pxy +=， 两边对x求导，得 dx dp pp 21+= p p dx dp 2 1 =， 解之得 ()cppx += 2 1ln2， 所以()cpppy += 22 1ln2， 且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、 2 1 += dx dy dx dy xy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2 1 ccxy +=， 从 = + += 0 1 1 2 2 c c x ccxy 中消去c, 得到奇解 2 1 xy = . 4、0 2 =+ y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2 ccxy +=， 从 =+ += 02 2 cx ccxy 中消去c, 得到奇解 04 2 =+ yy . 5、02 2 =+ y dx dy x dx dy 解：令p dx dy =，则 2 2 pxpy +=， 两边对x求导，得 dx dp p dx dp xpp 222 += 2 2 = x pdp dx ， 解之得 2 3 2 += cppx， 所以 12 3 1 += cppy， 可知此方程没有奇解. 6、01 23 = dx dy y dx dy x 解：原方程可化为 2 1 = dx dy dx dy xy， 这是克莱罗方程，因此其通解为 2 1 c cxy =， 从 =+ = 02 1 3 2 cx c cxy 中消去c，得奇解0427 32 =+ yx . 7、 2 1 + += dx dy dx dy xy 解：令p dx dy =，则() 2 1 ppxy =+=， 两边对x求导，得 22 += pcex p ， 所以 () 21 2 += pepcy p ， 可知此方程没有奇解. 8、()0 2 2 = ax dx dy x 解： () x ax dx dy 2 2 = x ax dx dy = dx x a xdy = = 2 1 2 3 2 3 2 axxy () ( ) 22 349 axxcy =+ 可知此方程没有奇解. 9、 3 3 1 2 += dx dy dx dy xy 解：令p dx dy =，则 3 3 1 2 ppxy +=， 两边对x求导，得 dx dp p dx dp p 2 2 += 2 1 2 p p dx dp = 解之得 () cp p x + + = 2ln3 2 2 2 ， 所以 cppppy += 2ln643 3 1 23 ， 且 3 2 2 = xy也是方程的解，但不是方程的奇解. 10、() 01 2 =+ y dx dy x dx dy 解： 2 += dx dy dx dy dx dy xy 这是克莱罗方程，因此方程的通解为 2 cccxy +=， 从 + += cx cccxy 21 2 中消去c, 得方程的奇解() 041 2 =+ yx . （二）求下列曲线族的包络. 1、 2 ccxy += 解:对c求导，得 x+2c=0, 2 x c = , 代入原方程得， 442 222 xxx y =+=， 经检验得， 4 2 x y =是原方程的包络. 2、01 22 =+cxyc 解：对c求导，得 y x cxyc 2 ,02 2 2 =+， 代入原方程得 01 24 4 2 4 = y x y y x ，即04 4 =+ yx， 经检验得04 4 =+ yx是原方程的包络. 3、()()4 22 =+ cycx 解：对c求导，得 2(x-c)-2(y-c)=0, 2 yx c + = , 代入原方程得()8 2 = yx . 经检验,得 ()8 2 = yx是原方程的包络. 4、() cycx 4 22 =+ 解：对c求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2, 代入原方程得( )244 2 +=+ xy ，( )14 2 += xy , 经检验，得()14 2 += xy是原方程的包络. (三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之 和等于常数c. 解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一 点（x,y(x)）的切线方程为( )( ) ( )( )xXxyxyY =， 它与X轴、Y轴的截距分别为 y y xX =，yxyY =， 按条件有 ayxy y y x =+ ，化简得 y ya yxy = 1 ， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线 c ac cxy = 1 ， 它的包络是 () = = 2 1 1 0 1 c ac c a x c ac cxy ， 消去c后得我们所求的曲线( ) 2 4 ayxax += . (四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别 曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解. 证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法， 从 () () += += cfx cfcxy 0 中消去p后而得的曲线； c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程 () () += += cfx cfcxy 0 中消去c而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式， 因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题 4.1 1. 设 ()tx 和 ()ty 是区间 bta 上的连续函数， 证明： 如果在区间 bta 上有 () () ty tx 常 数或 () ()tx ty 常数，则 ()tx 和 ()ty 在区间 bta 上线形无关。 证明：假设在 ()tx ， ()ty 在区间 bta 上线形相关 则存在不全为零的常数 ， ，使得 ( ) ( ) 0=+ tytx 那么不妨设 ( )tx 不为零，则有 ( ) () = tx ty 显然 为常数，与题矛盾，即假设不成立 ( )tx ， ( )ty 在区间 bta 上线形无关 2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设 ( )tx 1 ， ( )tx 2 分别是非齐线形方程 () () =+ xta dt xd ta dt xd n n n n n null 1 1 1 ( )tf 1 （ 1） () () =+ xta dt xd ta dt xd n n n n n null 1 1 1 ( )tf 2 （ 2） 的解，则 ()tx 1 + ()tx 2 是方程 () () =+ xta dt xd ta dt xd n n n n n null 1 1 1 ()tf 1 + ()tf 2 的解。 证明：由题可知 ( )tx 1 ， ()tx 2 分别是方程（ 1） ， （ 2）的解 则： () () ( ) () () ()tftxta dt txd ta dt txd n n n n n 11 1 1 1 1 1 =+ null （ 3） () () ( ) () () ()tftxta dt txd ta dt txd n n n n n 22 1 2 1 1 2 =+ null （ 4） 那么由（ 3） +（ 4）得： () () () ( ) ( )() () () ()=+ + + + txtxta dt txtxd ta dt txtxd n n n n n 21 1 21 1 1 21 null ()tf 1 + ()tf 2 即 ()tx 1 + ()tx 2 是方程是 () () =+ xta dt xd ta dt xd n n n n n null 1 1 1 ( )tf 1 + ()tf 2 的解。 3. 试验证 = x dt xd 2 2 0 的基本解组为 tt ee , ，并求方程 = x dt xd 2 2 tcos 的通解。 证明：由题将 t e 代入方程 = x dt xd 2 2 0 得： t e - t e =0,即 t e 是该方程的解， 同理求得 t e 也是该方程的解 又显然 tt ee , 线形无关，故 tt ee , 是 = x dt xd 2 2 0 的基本解组。 由题可设所求通解为： ()=tx ( ) ( ) tt etcetc + 21 ，则有： 解之得： () ()()() 2211 sincos 4 1 ;sincos 4 1 cttetccttetc tt +=+= 故所求通解为： () tecectx tt cos 2 1 21 += 4. 试验证 = + x tdt dx t t dt xd 1 1 1 2 2 0 有基本解组 t， t e ，并求方程 = + x tdt dx t t dt xd 1 1 1 2 2 t-1 的通解。 解：由题将 t 代入方程 = + x tdt dx t t dt xd 1 1 1 2 2 0 得： 0 111 1 1 2 2 = + = + t t t t t tdt dt t t dt td ，即 t 为该方程的解 同理 t e 也是该方程的解，又显然 t， t e 线形无关， 故 t， t e 是方程 = + x tdt dx t t dt xd 1 1 1 2 2 0 的基本解组 由题可设所求通解为 () ( ) ( ) t etcttctx 21 += ，则有： () () () () = + = + 1 0 21 21 tetctc etcttc t t () () () () = = + tetcetc etcetc tt tt cos 0 21 21 解之得： ( ) ( ) ( ) 2211 , cetetccttc tt +=+= 故所求通解为 () ( ) 2 21 1+= tectctx t 5. 以知方程 = x dt xd 2 2 0 的基本解组为 tt ee , ，求此方程适合初始条件 () () () ( ) 10,0000,10 = xxxx 及 的基本解组（称为标准基本解组，即有 () 10 =w ） 并求出方程的适合初始条件 () () = 00 0,0 xxxx 的解。 解： tt ee , 时间方程 = x dt xd 2 2 0 的基本解组，故存在常数 21 ,cc 使得： () tt ecectx += 21 于是： () tt ecectx = 21 令 t=0,则有方程适合初始条件 ( ) ( ) 00,10 = xx ，于是有： = =+ 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 ecec ecec 解得： 1 c 2 1 , 2 1 2 = c 故 () tt eetx += 2 1 2 1 又该方程适合初始条件 () ( ) 10,00 = xx ，于是： = =+ 1 0 0 2 0 1 0 2 0 1 ecec ecec 解得： 2 1 , 2 1 21 = cc 故 () tt eetx = 2 1 2 1 显然 ()tx 1 ， ()tx 2 线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为： () tt eetx += 2 1 2 1 ， () tt eetx = 2 1 2 1 而此方程同时满足初始条件 () () = 00 0,0 xxxx ，于是： = =+ 0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 xecec xecec 解得： 2 , 2 00 2 00 1 = + = xx c xx c 故 () tt e xx e xx tx + + = 22 0000 满足要求的解。 6. 设 ()tx i ni ,2,1 null= 是齐线形方程（ 4.2）的任意 n 个解。它们所构成的伏朗斯行列式 记为 ()tw ，试证明 ()tw 满足一阶线形方程 ( ) 0 1 =+ wtaw ，因而有： () ( ) () = t t dssa etwtw 0 1 0 ( )bat , 解： () () () () () () () () ()n n n n n n n n n n n n n n n n n n xx x x x x xx xx xx xx xx xx xx tw null null null null null null null null null null null null null null null null null null null null 1 22 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 = + = 又 ()tx i ni ,2,1 null= 满足 () () 0 1 1 1 =+ in n i n n i n xta dt xd ta dt xd null 即 () () += xta dt xd ta dt xd n n i n n i n null 1 1 1 () () ( )121 nktaktw k ，为，加到最后一行行都乘以中第 null 则： () () () () () ()( ) () ()twtata xx x x x x xx tw n n n n n n n n 11 11 1 22 1 1 1 = = null null null null null null null 即 () 0 1 =+ wtaw 则有： ( ) () ()dtta tw tw 1 = () () () () () = = t t dssatwntw dssa t t twtt 0 10 1 0 0 ln ,ln 则积分：到两边从 即： () ( ) () = t t dssa etwtw 0 1 0 ( )bat , 7. 假设 () 0 1 tx 是二阶齐线形方程 ( ) ( ) 0 21 =+ xtaxtax （ *）的解，这里 () ( )tata 21 和 在区间 ba, 上连续，试证：（ 1 ） ( )tx 2 是方程的解的充要条件为： 0, 21121 =+ xxwaxxw ；（ 2 ）方程的通解可以表示为： () + = 21 2 1 11 0 exp 1 cdtdssa x cxx t t , 其中 21 ,cc 为常 数 , batt , 0 证： （） 0, 21121 =+ xxwaxxw () 的解。为即 (*) 0,0 0 0 0 2 121212 212121 21121121121121 2112112121 x xxaxax xaxaxx xxaxxaxxaxxaxx xxaxxaxxxx =+ + = + + = + + = + （）因为 21 , xx 为方程的解，则由刘维尔公式 () () () () = = t t t t dssa dssa etwxxxx etw xx xx 0 1 0 1 02121 0 21 21 :,即 两边都乘以 2 1 1 x 则有： () () = t t dssa e x tw dt x x d 0 1 2 1 0 1 2 ，于是： () () 12 2 1 12 2 2 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 xcdte x cx cdte x c x x t t t t dssa dssa + = + = 即： () () () 0 , 1 ,0,1 0 1 0 1 21 21 2 1 1221 = = = t t t t dssa dssa e xx xx tw dte x xxcc 又： 得：取 从而方程的通解可表示为： () + = 21 2 1 11 0 exp 1 cdtdssa x cxx t t , 其中 21 ,cc 为常 数 , batt , 0 。 8. 试证 n 阶非齐线形微分方程（ 4.1）存在且最多存在 n+1 个线形无关解。 证：设 () () ()txtxtx n , 21 null 为（ 4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， ()tx 是（ 4.1） 的一个解，则： () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 21 txtxtxtxtxtxtx n + null （ 1） ，均为（ 4.1）的 解。同时（ 1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数 121 , +n ccc null ，使得： () ()( ) () ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) () () () ()tx c c txc c ctxtxc txctxtxctxtxctxtxc i i n i i n i i n i i n i i n i ii n i nnn 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12211 0 0 0: 0 + = = + = + = + = + = = =+ =+ ，则有：否则，若 我们说： 即 null （ *）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有 () 0 1 = = txc ii n i 又 () () ()txtxtx n , 21 null 为（ 4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 故有： 0:,0 121 = +nn cccc 进而有null 即（ 1）是线形无关的。 习题4.2 1. 解下列方程 （1）045 )4( =+ xxx 解：特征方程1122045 4321 24 =+ ，有根 故通解为x= tttt ecececec + 43 2 2 2 1 (2) 033 32 =+ xaxaxax 解：特征方程033 3223 =+ aaa 有三重根a= 故通解为x= atatat etctecec 2 321 + （3）04 )5( = xx 解：特征方程04 35 = 有三重根0=，= 4 2，= 5 -2 故通解为 54 2 3 2 2 2 1 ctctcececx tt += （4）0102 =+ xxx 解：特征方程0102 2 =+ 有复数根= 1 -1+3i, = 2 -1-3i 故通解为tectecx tt 3sin3cos 21 += (5) 0=+ xxx 解：特征方程01 2 =+有复数根= 1 , 2 31 i+ = 2 , 2 31 i 故通解为tectecx tt 2 3 sin 2 3 cos 2 1 2 2 1 1 += (6) 1 2 += tsas 解：特征方程0 22 =a有根= 1 a
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