高中数学解题八个思维模式和十个思维策略

高中数学解题八种思维模式和十种思维方略引言“数学是思维的体操”“数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应当当作是学习数学思维过程以及数学思维成果这两者的综合，因而可以说数学思维是动的数学,而数学知识自身是静的数学，这两者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简洁精确和数学形式具有符号化、抽象化、构造化倾向。高中数学思维中的重要向题它可以涉及:高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般措施高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维方略高中数学非逻辑思维(涉及形象思维、直觉思维)问题研究;高中数学思维的指向性（如定 向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究;高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、 发明性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度分析，作为理性结识的人的个体思维题可以提成三种:逻辑思维、形象思维、直觉思维一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式,数学概念间的逻辑关系，a同一关系b附属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系XX、判断是逻辑思维在概念基本上的发展,它体现为对概念的性质或关系有所肯定或否认,是结识概念间联系的思维形式。 、推理是从一种或几种已知判断推出另一种新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的结识。 二数学形象思维的基本形式 1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图,2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。 3形象辨认直感是用数学表象这个类象（普遍形象)的特性去比较数学对象的个象，根据形象特性整合的相似性来鉴别个象与否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是运用主体已在头脑中建构的数学表象模式XXX,对具有部分特性相似的数学对象进行表象补形,实行整合的思维形式。5形象相似直感是以形象辨认直感和模式补形直感为基本基本的复合直感。6 象质转换直感是运用数学表象的变化或差别来鉴别数学在对象的质变或质异的形象特性判断。7图形想象是以空间形象直感为基本的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基本的对数学图式表象的加工与改造。有关联想和猜想,它们既是数学形象思维中想象推理不同体现形式，也是数学形象思维的重要措施。三数学直觉思维的基本形式 1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对目前问题进敏锐的分析、推理,并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感(或顿悟)是直觉思维的另一种形式。直觉思维是一种敏锐、迅速的综合思维，既需要知识组块和逻辑推理的支持，也需形象、经验和似真推理的推动。 意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识，而灵感是潜意识。思维的基本规律一反映同一律:等值变形,等价变换二思维相似律:同中辨异，异中求同数学思维的特性一数学思维的概括性 数学思维能揭示事物之间抽象的形式构造和数量关系这些本质特性和规律,可以把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。 二数学思维的问题性 数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的，定理、证明、概念、定义、理论、公式、措施中的队任何一种都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程，数学问题的推广、引申和应用过程,是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。 三数学思维的相似性 数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的主线思想在于谋求客观事物的数学关系和构造的样式, 从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去解决类似问题。并进而形成新模式，构成相似系列，即多种概念、命题与措施的相似链。数学思维的材料与成果 数学思维的材料就有外部材料与内部材料的辨别 外部材料是指数学思维的对象,即现实世界中存在的数量关系、空间 形式以及由此引申发展的多种构造关系。例如多种具体的思维目的:数学的概念、命题、定理、公式、法则，数学问题初始状态中的图形、符号和语言文字等。 内部材料是指思维主体已有的数学知识和经验，是储存于人脑的认知构造中的信息块。其中数学知识信息块由某些明晰的数学概念和关系构造构成,而数学经验信息块是一种带有模糊性质的思维“相似块”。 数学思维能力的评价原则广阔性：发散思维深刻性：收敛思维集中思维和分析思维灵活性:辨证思维，进退互用，正难则反，倒顺相通敏捷性:直觉思维,转化化归,辨认模式,反映速度，纯熟限度独创性：创新思维直觉思维和发散思维中，解题措施新颖独特。批判性:独立思考，善于提问，总结回忆，调控思维进程等六个方面，是高中数学思维能力的评价原则高中数学思维的关联系统 关联系统的三个方面涉及的重要内容是： 数学关系数学知识，数学经验和数学语言等; 心理关系动机与意志,情感、情境与爱好，性格与态度,精神与作风等; 社会条件一社会与时代的政治、经济、文化背景与主体的关系及其影响。 高中数学思维的一般措施(一) 观测与实验(二) 比较、分类与系统化(三) 归纳、演绎与数学归纳法(四) 分析与综合 (五) 抽象与概括(六) 一般化与特殊化 (七) 模型化与具体化(八) 类比与映射(九) 联想与猜想高中数学中的重要思维模式一逼近模式把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎;选择合适的方向逐渐逼近目的。 正向逼近一顺推演绎法、逆向逼近一逆求分析法、双向逼近一分析综合法或两头夹法、背面逼近-反证法、模糊逼近一尝试摸索法、近似逼近一极限法等。二叠加模式 采用化整为零、以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实行各个击破而使问题获解的思维方式。其思维程序是:(1）把问题归结为若干种并列情形的总和或者播入有关的环节构成一组小问题;（）解决多种特殊情形或解决各个小问题，将它们合适组合、叠加而得到问题的一般解。爬坡法、逻辑划分法(分类、分域进行讨论和枚举、穷举都是它的别称）、 半途点法、 辅助定理法等都是此类，4容斥原理、抽屉原理与重叠原则，以及负向的叠加可称为叠减，在某种限度上也 体现了登加模式的思想。三变换模式 变换模式是通过合适变更问题的体现形式使其由难化易、由繁化简,从而最后达到解决问题的思维方式。其思维程序是： （1）选择合适的变换,等价的或不等价的(加上约束条件)，以变化问题的体现形式,()持续进行有关变换，注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到目的状态。所谓等价变换,是指把原问题变更为新问题,使两者的答案完全相似。不等价变换则指新问题扩大或缩小了原问题的容许值范畴。涉及代数变换代数式的恒等变形、代数换元法、方程与不等式的同解变换与可控制变换等；三角变换三角式的恒等变形、三角换元法、万能变换等，几何变换合同变换（即平移、对称与旋转)、相似变换(涉及位似变换）、反演变换等。 四映射模式 映射模式是把问题从本领域(或关系系统)映射到另一领域，在另一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维模式, 它与变换模式在本质上是一致的,但变换一般是指从一种数学集合到它自身的映射。几何法：把数、式的问题归结为形的问题加以解决;解析法:把几何问题归结为代数问题加以解决；复数法与向量法一把几何或代数、三角问题归结为复数或向量向题加以解决； 模拟法：把数学问题转化为物理问题或其她学科问题加以解决，其她如极坐标法、参数法等也属于映射模式的范畴。 五方程模式 方程模式（又称函数模式)是通过列方程（或方程组）与解方程（或方程组)来拟定数学关系或解决问题的思维方式。方程模式是反映客观事物数量关系的一种重要数学模型，它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本措施。 其思维程序是: (1）把问题归结为拟定一种或几种未知量; （2）列出已知量与未知量之间按照条件必须成立的所有关系式(即方程);(3）解所得的方程或方程组得出成果。方程模式的思想一般合用于解决有关方程、函数与不等式等方面的许多问题,这是由于这三种数学对象之间存在某种相似和性,在一定条件下是可以互相转化、互相为用的。 六交轨模式 交轨模式是通过度离问题的条件以形成满足每个条件的未 知元素的轨迹（或集合),再通过叠加来拟定未知元素而使向题解决的思维方式。交轨是一种特殊的叠加,一般的叠加是求出集合才的并，而交轨的叠加是求出集合的交。交轨模式与方程模式也具有部分相通的关系,方程组与不等式组等内容既可以用交轨观点去看待,也可以用方程观点去分析，它们之间的区别仅是观测问题时所强调的侧重面的不同。交轨模式下的具体模式重要有：1、轨迹相交法:它涉及双轨迹模式、相似形模式、辅助图形模式及三轨迹模式等。双轨迹模式是:“把问题简化为作一种点。然后把条件分为两体部分，使每一部分变成未知点的一条轨迹;而每一条轨迹必须是 一条直线或者是一种圆”。、交集法一把向题的解归结成由几种条件所决定，每一种条件都可以拟定出某种元素的一种集合，这些集合的交集元素就是所求的解。 七退化模式退化模式是运用联系转化的思想，将问题按合适方向后退到能看清关系或悟出解法的地步,再以退求进来达到问题结论的思维方式。其思维程序是： (1)将问题从整体或局部上后退,化为较易解决的简化问题、类比问题或特殊情形、极端情形等,而保持转化回原问题的联系通途； 2用解决退化问题或情形的思想措施，通过适立当变换以解决原问题。如 降维法:从高维向低维后退。涉及数据、数量的简化: 空间问题转化为平面问题，方程同题的消元、降次，行列式的降阶、 去边等。 类比法：联想形式类似的熟悉问题与原问题作性质或解法的 比较对照，从中悟出相似性联系以达到转化。特殊化措施:从一般向特殊后退。即从问题的特殊情形或个别状况入手,观测性质或措施的变化规律,得出对的的解题途径。 极端化措施：将问题退到极端情形，即考察极端元素耳或临界位置,往往能找到对解决问题有用的奠基因素以实现解题措施的过渡。八递归模式 递归模式是通过确立序列的相邻各项之间的一般关系以及初始值来拟定通项或整个序列的思维方式。它合用于定义在自然 数集上的一类函数，是解决数学向题的一种重要逻辑模式,在计算机科学中有着重要的应用。其思维程序是：(1）得出序列的第一项或前几项； (2)找到一种或几种关系式，使序列的一般项和它相邻的前若干项联系起来；（3)运用上面得到的关系式或通过变换求出更为基本的关系式（如等差、等比关系等）,递推地求出序列的一般项或所有项。一般地，在递推关系转换成基本关系时,用迭代措施就能消去所有中间项而得到序列的通项公式。 高中数学解题常用的数学思维方略 (一) 以简驭繁。数学知识的发展是由简朴到复杂，繁衍发展以至推演成为各门数学学科的。解题时的思维反映重要是学会浓缩观测数学形式构造，从总体的粗线条上把握题目的数学图式 ；或者将题中有关的概念或措施转化为较简的情形入手解决。数学中的换元法、代换法、变换法、递推法、母函数法及解方程中的消元、降次措施等就是体现这个方略的解题措施(二) 进退互用。先足够地退到我们所容易看清晰 的地方，认透了钻深了,然后再上去（华罗庚语）。重要方式有:从一般向特殊后退；从抽象向具体后退，从高维向低维后退和从较强命题向较弱命题后退。 数学归纳法、经验归纳法、类比法、递推法、降维法、放缩法等数学措施或解题措施就是进退互用的辩证思维在具体措施中的 某些总结。(三) 数形迁移。在解决数学问题时，若把一种命题的条件或结论给出的数量关系式称为式构造，而把它在几何形态上的体现（图像或图形等）称为形构造, 数(或式)和形之间的互相迁移、转化的体现形态重要有：A、XXX由形构造迁移至式构造,解析几何是体现这种研究的典范。B、由式构造迁移至形构造,这就是一般所说的数形联想或几何措施，可使求解过程显得简洁直观。C、式构造或部分式构造之间的迁移，这是等价的式构造间的互相转换，常能发现隐含条件和结识多种变式间的本质联系与统一性,或者通过局部类比或相似联想的诱发解题线索以解决问题。D、形构造或部分形构造之间的迁移，几何变换就是运用了某种不变性来实现形与形之间的沟通。如类比接法、关系映射反演原则、模拟法、坐标法、交集法、抽屉原则、几何变换法、构造法、待定系数法等数学措施和解题措施均在一定意义上属于这个思想范畴。(四) 化生为熟。人们结识事物的过程是一种渐进的逐渐深化的过程,往往会呈现相对的阶段性 ,在数学中就是所研究的问题总会有较为熟悉和比较生疏之分。这样，在结识一种新事物或解决一种新问题时,往往会用已结识的事物性质和问题特性去比较对照新事物和新问题,设法将新问题的分析研究纳入到已有的结识构造或模式中来。化生为熟的目的是遇新思陈,推陈出新,起到用同求异,化难 为易的作用。数学解题措施中的变更问题法或化归法、模式法、放缩法、构造法、类比法等都具有化生为熟的指引思想。(五) 正难则反。解决数学间题时,一般总是先从正面入手按照习惯的思维途径去进行思考，这就是正向思维。如果这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识，则就是一 种定向思维。人们常常借助于某些具体的模式和措施先加强这种思维定势,而使许多数学问题得到解决。 但是往往也会遇到从正面入手较繁或较难的状况，或浮现一题些逻辑上的困境。这时,就要从辩证思维的观点出发,克服思维定势的悲观面，从问题或其中的某个方面的背面入手去进行思考， 采用顺繁则逆、正难则反的思维方略。就是说，当用顺证不易解决时就考虑用反证法或逆推法；当正向思维不能奏效时就采用逆向思维去摸索;当推理中浮现逻辑矛盾或缺陷时,就尝试从背面提出假设，通过背向思维进行论证。 (六) 倒顺相通。 解数学题往往会用顺推，从条件出发之推出某些关系或性质去逼近结论,或者用逆求，由结论去寻找使它成立的充足条件，直至追溯到已知事项,但是最有效和简捷的解题途径是这两者的有机结合。 倒顺相通方略的运用有两种体现形式。一种是侧重于整体性的思考，即抓住两头,盯着目的，谋求压缩中间环节的解题捷径；一种是侧重于联通性的思考,即两头夹击,沟通中间，达到目的的总体思路，也可以在解题过程中的局部加以使用。分析综合法 就在此列。(七) 动静转换。 动和静（数学中常表述为定)是事物状态体现 的两个侧面。在数学中，一方面动和静在一种参照系统中是相对的,可以转化的。另一方面,对于同一事物可以追寻形成静止状态此前的运动过程;或者反过来，从运动体现中推出事物将会达到的相对静止局面。因此，在解决数学问题时，可用动的观点来解决静的数量和形态，即以动求静,也可以用静的措施来解决运动过程和事物，即以静求动，数学中的变换法，局部固定法，几何作图中的轨迹相交法等就是动静转换方略的具体运用。 (八) 分合相辅。 从辩证思维的角度观测，任何事物的构成都具有“一中有多、多中有一”的性质,从而任何事物都是可以分割或分解的反映在数学思维方略上,就是在解题过程中可以将求解问题进行分割或分解,转化成某些较小的且易于解决的小问题,再通过相加或合成，使原问题在整体上得 到解决，这就是化一为多,以分求合的思想措施。有时也可以反过 来，把求解问题纳入到较大的合成问题中,寓分于合,以合求分, 使原问题迎刃而解。因此,分与合相辅相成、互寓互用、转化统一,是辩证思维的重要方略之一。 分合相辅的重要体现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合;无限与有限间的分合等。数学中微积分措施的思想就是思维中的一与多、分与合、有限与无限及离散与持续间的辩证关系的体现。数学解题措施中的枚举法、叠加法、半途点法, 几何中的形体割补法，代数与三角中的拆项、添项法等都是分合相辅方略的具体运用。 (九) 引参求变。数学中的常量和变量是互相依存，并在一定 条件下可以互相转化的。而参数(或参变量）是介于常量和变量之 间的具有中间性质的量。二 参变量的本质虽然属于变量，但又可把它当作常数。正是由于参数的这种二重性和灵活性，在解决数学问题时,引进了参数就能体现出较大的能动作用和活力。引参求变的思维方略是 将求解问题转化为参数问题加以解决，它是解决多种数学向题的有力武器(一般提到参数就局限于解析几何中的参数方程的理解是非常片面的）。 而数学中的待定系数法、参数过渡法与参数方程法等都是体现引参求变思想的具体解题措施。 (十) 以美启真。教学美的含义是丰富的，数学概念的简朴性、统一性，构造系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性,尚有数学中的奇异性等都是美的具体内容,上面的论述归结起来，可以觉得数学美的重要内容有五个 方面，即简朴性、对称性、相似性、和谐性（或统一性）与奇异性。 以美启真“是指用美的思想去启动数学真理，用美的措施去发现数学规律、解决数学问题。追求简朴性,探求解题捷径。“多数学问题,虽然其体现形式地也许较为复杂,但其本质总是存在简朴的一面。因此,如果能用简区单的观点、简化的措施对间题进行整体解决或实行分解、变换、降性维、减元等转化的方略，则往往能找到解题的简易途径。导致对称性,简化解题措施。有些问题用对称的眼光去观测， 通过形象的补形导致对称,或者用对称变换调节元素关系,则这样问题就可得到简化。 运用相似性，引申发散问题。由于相似的因素、相似的条件统可以产生相似的关系或相似的成果。因此，在数学解题中常可利工程用相似性的启示，找到对的的解题思路,并能运用联想、类比、猜 想等措施推广原命题,发现新知识，形成问题链。运用和谐性,变更化归问题。解数学问题的核心在于问题形式的变换与化归，而变换化 归的根据在于多种形式间在其本质上的和谐与统一。因此，运用和谐性,就是设法将问题通过等价或不等价 （加上控制条件)的转化，通过映射、分解、叠加等手段，使问题的 条件和结论在新的协调的形式下互相沟通,达到问题的解决。构思奇异性,突破常规思维。奇异性的存在使得在解某些问题时，构造反例、谋求特例、采用反证递推途径或极端化手法可以发挥意料不到的作用。逆向思维、正难则反思想在解题中的运用就是对奇异性的通俗理解，它与数学发现中的奇异创新只是层次上的差别，而其思想实质是共通的。