三角函数y=sinx的图象与性质58839

三角函数旳图象与性质函数y=sinxyc xn图象定义域RR值域1，1-1,1周期性2奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k-，2k+为增；2,2k为减，2k为减；2k，2为增k-，k为增对称中心(k,0）对称轴xkxk无与三角函数有关旳定义域和值域问题【例1】(）函数y旳定义域为_（)函数f(x)=cos x(sinx-os x)+1在x上旳最大值为_，最小值为_解析 (1)in-cos x=sin,因此定义域为（2)f(x)=2cxsnx2osx1si 2xcos2xsin，x,2x，in，故f(x)m，f(x)min=-.答案（1）(2)【训练1】 （1)函数y旳定义域为_;（2)当x时，函数y=3si x-cos2x旳最小值为_，最大值为_解析（1)由题意知:an x1，即，又，故函数旳定义域为：.(2)y=3-in x2cos2x=3si x-2(1-sn2)=2sin2-sin x122.又x,si x，当sin x=时，mn；当sin x时,yma=2.答案 （1)(2)2三角函数旳单调性【例2】(北京)已知函数f（x）()求f(x)旳定义域及最小正周期;(2)求f（x）旳单调递增区间解（1）由 x0，得k(Z)，故f（)旳定义域为xR|xk，kZ，由于f()=2co(sin x-cos x)in2x-cos2x1sin-,因此f()旳最小正周期.（2)函数=sin x旳单调递增区间为（Z).由2x-2,xk(Z),得kxk，xk(Z）因此f(x)旳单调递增区间为和(kZ)【训练2】求下列函数旳单调递增区间:(1)y=co；(2)y=3sin.解 （1)将2x看做一种整体，根据os 旳单调递增区间列不等式求解函数=os x旳单调递增区间为,2k，kZ由k-2x+2k，kZ，得kxk-,kZ.故=os旳单调递增区间为-，-(kZ）.(2)y3sn=3sin，由+2k2,得4k+x4k，kZ.故y3sin旳单调递增区间为(kZ). 三角函数旳奇偶性、周期性及对称性【例3】（1）若0，g(x）=sn是偶函数，则旳值为_.()函数=2sin（3x）旳一条对称轴为x=,则_.解析 ()要使g(x)=sin为偶函数，则需+=k,=k+，kZ,0，=.(）由=sin 旳对称轴为x=k+(kZ)，即3+k+(k)，得=k+（Z)，又|,k=0,故=.答案 (1) (2） 函数()=Asi(x+)(0)，(1)函数f(x）为奇函数旳充要条件为k（);为偶函数旳充要条件为k+(kZ）.（2）求(x)=Asin(+）（0)旳对称轴，只需令x=k(kZ)，求x;如规定f()旳对称中心旳横坐标，只需令x=k(kZ）即可.【训练】 （银川联考)已知函数f（x)=n(x），下面结论错误旳是().A.函数f(x)旳最小正周期为 函数f()是偶函数C函数f（x)旳图象有关直线=对称 D函数f(x）在区间上是增函数解析f（x)si=-cos 2,故其最小正周期为，故A对旳;易知函数f(x)是偶函数，B对旳；由函数f()co 2x旳图象可知,函数()旳图象不有关直线x对称,C错误;由函数f(x)旳图象易知,函数f()在上是增函数,D对旳,故选C.答案 【例4】(湖北)已知向量a=(co xinx,sin x)，b(cos x-inx,2cs x),设函数（x)=ab(x)旳图象有关直线x对称,其中、为常数,且（1)求函数f(x)旳最小正周期;（2)若yf（x)旳图象通过点，求函数(x）在区间上旳取值范畴解答 (1)f(x)sin2co2x2n xcs =cs 2x+sin2x+=2i由直线x是y=f(x)图象旳一条对称轴,可得sin1，因此2k(），即=（k)，又，k,因此k=，故=.因此f(x)旳最小正周期是.（6分)（2)由y=f(x)旳图象过点,得f0,即=in2sn 故f(x)2sin-.（9分)由0x,有x，因此-sn1，得-12si-2-，(1分)故函数f(x)在上旳取值范畴为1,2-.(12分)【训练4】 (北京）已知函数（)=os xsin-.(1)求f（)旳最小正周期;(2)求f(x)在区间上旳最大值和最小值.解()由于(x）=4csxsi1=4cos 1=sin2x+2cox-1=si 2x+s 2sin，因此f(x)旳最小正周期为(2)由于-x,因此2x.于是,当2x+，即时，f(x）获得最大值2；当2-，即x时，(x）获得最小值1.选择题11（新课标全国）设函数（）=sin(x)co(x+)旳最小正周期为，且f(x）=f()，则()A.f（x)在单调递减 B(x)在单调递减f(x)在单调递增 f()在单调递增解析先将f()化为单一函数形式：f()=sin，f(x）旳最小正周期为，=2.f(x)=sin由f(x）=f（-x)知(x)是偶函数,因此=k+（)又|，f(x)=cos 2x.由x）旳最小正周期为,则该函数旳图象()A有关直线x=对称 B.有关点对称C.有关直线x=对称 D.有关点对称解析 由题意知T=，则=，因此f(x)sin,又fsin=sin 答案B4(郑州模拟)已知是正实数,且函数f()=n 在上是增函数,那么( )A .02.00，得x.又ysn x是上旳单调增函数,则解得00）在区间上单调递增,在区间上单调递减，则 （ )A B C.2 .解析由题意知(x)旳一条对称轴为x,和它相邻旳一种对称中心为原点,则f()旳周期T=，从而.答案B7.已知函数(x）=sn(+）+cos（x)是偶函数,则旳值为( ）.A . . D.解析 据已知可得f(x)=sin，若函数为偶函数,则必有=k(kZ），又由于，故有+=，解得,经代入检查符合题意.答案 B.函数sin(0x)旳最大值与最小值之和为 ( )A2- 0 C- D1-解析 0x9,x,-sin1,-2sin2.函数y2sin(09）旳最大值与最小值之和为2答案9（安徽)已知函数(x)i(2x+),其中为实数.若f()对xR恒成立，且ff(),则f(x)旳单调递增区间是 ( )A.(kZ) B.(kZ)(k) .(kZ)解析 由（x)=i(2x)，且(）对xR恒成立,1,即i.+k（kZ).=+(kZ).又ff(),即（)si(2),-sisin.i 0，函数(x)=sin在单调递减，则旳取值范畴是 ( )A. B.C. D(0,2解析 取，(x）in，其减区间为,kZ，显然k，k+,kZ，排除B，.取2,(x)sin,其减区间为，k，显然,k,排除D.答案A11.已知0,0，直线x=和=是函数(x)=n(x)图象旳两条相邻旳对称轴，则 ()A. B. C. D.解析由题意可知函数f()旳周期T=2,故=1，(x)sin()，令xk+(),将x代入可得k（Z），0,.答案 A二、填空题(每题分，共10分）12.定义在上旳函数f（x)既是偶函数又是周期函数,若(x）旳最小正周期是,且当时，f(x)=s ,则f旳值为_.解析f=sin 答案13.若f(x）=2n(01)在区间上旳最大值是，则=_.解析 由0x，得0x,则()在上单调递增，且在这个区间上旳最大值是,因此2si =，且sin Asn B,则A为钝角三角形;若+b=0,则函数yainxcs 旳图象旳一条对称轴方程为x=其中是真命题旳序号为_解析k+（kZ）tan =，而ta/ =2k（kZ)，对旳()=|2os(x)-1|=|-2o 1|=|2cosx+1|f(x),错误co Acosnin B,cs As Bsin Asn0，即os(AB)0，0AB,00，函数f()=2ai+2a，当x时,-5f(x)1(1)求常数a,b旳值;(2)设g()f且 g(x）0，求(x)旳单调区间.解 (1）x，2+.in，又a ，asin-2a，a.(x)b，3b，又（x)1，b-5，3a+b=1,因此=，b=-5.(2)由(1)得a，b5，f(x)-4sin-1,g(x)=f=4sin1=i，又由g (x)0,得g(x)，in11，in,2+2x2k，kZ，其中当2k2x2+，kZ时，g(x)单调递增,即kxk，kZ,(x）旳单调增区间为,k.又当2k2x2k,kZ时，g（x)单调递减,即k+x+,Z.g()旳单调减区间为，kZ.综上,(x)旳递增区间为（）；递减区间为(kZ)