江苏高考数学试题(含答案详解

一般高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题规定1.本试卷共4页，涉及填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人与否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在相应的答题区域内作答，在其她位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清晰。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参照公式:锥体的体积公式: V锥体=S，其中S是锥体的底面积，h是高。一、填空题:本大题共14小题,每题5分，共0分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1、设集合A=-,，3,a+2,a2+4,B,则实数a=_.解析 考察集合的运算推理。3B, a23, a=1.、设复数z满足z(2-3)=6+4i(其中为虚数单位),则z的模为_.解析 考察复数运算、模的性质。(23)=2（3+2 i), 23i与32 的模相等，z的模为2。3、盒子中有大小相似的3只白球,只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _解析考察古典概型知识。、某棉纺厂为了理解一批棉花的质量,从中随机抽取了0根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）,所得数据都在区间5,0中,其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度不不小于2mm。解析考察频率分布直方图的知识。10(0.0010.1+0004）5=305、设函数f(x）=x(ex+ae-x)（R）是偶函数,则实数a=_解析考察函数的奇偶性的知识。(x)ex+ae-为奇函数，由(0)=0,得a=1。6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M,点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_解析考察双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=，=4。7、右图是一种算法的流程图,则输出S的值是_解析考察流程图理解。输出。、函数yx2(0）的图像在点(ak,k2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则1+a3a5=_解析考察函数的切线方程、数列的通项。在点(k,a2)处的切线方程为:当时,解得,因此。、在平面直角坐标系Oy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5yc=0的距离为1,则实数的取值范畴是_解析考察圆与直线的位置关系。 圆半径为2,圆心(0，）到直线125y=0的距离不不小于1,的取值范畴是(-1，3）。10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点作PPx轴于点P1，直线PP1与yinx的图像交于点2,则线段PP2的长为_。解析 考察三角函数的图象、数形结合思想。线段1P2的长即为n的值，且其中的x满足6cox=tan，解得sin=。线段P1P2的长为、已知函数,则满足不等式的的范畴是_。解析 考察分段函数的单调性。12、设实数,y满足8，49，则的最大值是 。解析考察不等式的基本性质，等价转化思想。,，,的最大值是27。13、在锐角三角形B,A、B、C的对边分别为a、b、,则_。解析 考察三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。（措施一）考虑已知条件和所求结论对于角A、和边a、b具有轮换性。当A=B或=b时满足题意,此时有:，,，= 4。（措施二)，由正弦定理,得:上式=4、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形，记,则的最小值是_。解析 考察函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则:（措施一)运用导数求函数最小值。，,当时，递减;当时，递增;故当时,S的最小值是。（措施二）运用函数的措施求最小值。令，则:故当时，S的最小值是。二、解答题：本大题共6小题，合计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字阐明、证明或演算环节15、(本小题满分14分)在平面直角坐标系xO中，点A(-1,-2）、(2,）、（-2,-1)。(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数满足（)=0,求t的值。解析本小题考察平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考察运算求解能力。满分4分。()（措施一）由题设知，则因此故所求的两条对角线的长分别为、。（措施二)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E,则：E为B、C的中点,E（,1)又E（0，1)为、D的中点，因此D(1,4） 故所求的两条对角线的长分别为B=、D=;（2）由题设知:(2，1)，。由()0，得：,从而因此。或者:，16、(本小题满分1分）如图，在四棱锥BCD中,PD平面ACD,PD=DCBC1，AB=2，DC，BD=900。(1) 求证:PBC;(2) 求点A到平面C的距离。解析 本小题重要考察直线与平面、平面与平面的位置关系，考察几何体的体积，考察空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1)证明：由于D平面ABCD，BC平面ABC，因此DBC。由B=00,得CDB，又PDD，D、C平面PC,因此BC平面PCD。由于PC平面C,故PCBC。（2）(措施一）分别取B、PC的中点E、F,连E、DF,则：易证DECB，DE平面PBC，点、E到平面PC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的倍。由（1)知：BC平面CD，因此平面B平面D于P,由于PD=C，=FC,因此DFPC,因此DF平面PB于F。易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。(措施二）体积法：连结AC。设点A到平面PB的距离为h。由于ABDC，BCD900,因此AB90。从而A=2,BC，得的面积。由P平面ABC及D1,得三棱锥P-BC的体积。由于P平面CD，平面ABCD，因此PD。又PD=DC=,因此。由PB,C=1,得的面积。由，,得,故点A到平面B的距离等于。17、（本小题满分14分）某爱好小组测量电视塔AE的高度H(单位：)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE，ADE=。(1) 该小组已经测得一组、的值,tn=1.2，tn=120,请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，觉得合适调节标杆到电视塔的距离d（单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,最大？解析 本题重要考察解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。(1),同理：,。 AA=D,故得，解得：。因此,算出的电视塔的高度H是124。（）由题设知，得，,(当且仅当时，取等号）故当时,最大。由于，则,因此当时，-最大。故所求的是m。8、(本小题满分6分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、B与椭圆分别交于点M、，其中0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；(2）设，求点T的坐标；(）设，求证:直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。解析 本小题重要考察求简朴曲线的方程,考察方直线与椭圆的方程等基本知识。考察运算求解能力和探究问题的能力。满分1分。(1)设点（x，）,则:F(2，0）、B（3,0）、A（3,0）。由,得化简得。故所求点P的轨迹为直线。()将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，)、N(,)直线MT方程为:，即,直线TB 方程为:，即。联立方程组,解得：,因此点的坐标为。(3)点T的坐标为直线TA方程为:，即,直线TB方程为:，即。分别与椭圆联立方程组,同步考虑到,解得：、。(措施一）当时,直线MN方程为：令,解得：。此时必过点D（,0）；当时，直线MN方程为:,与轴交点为(1，)。因此直线N必过x轴上的一定点D（1，）。(措施二）若，则由及，得,此时直线的方程为，过点（1,0）。若,则，直线D的斜率，直线ND的斜率,得,因此直线N过点。因此，直线MN必过轴上的点（，0)。19、（本小题满分16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列。(1)求数列的通项公式(用表达);(2)设为实数，对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。解析 本小题重要考察等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考察摸索、分析及论证的能力。满分1分。（)由题意知:, ,化简，得:,当时，适合情形。故所求(2）(措施一), 恒成立。 又，,故，即的最大值为。(措施二)由及，得,。于是,对满足题设的，有。因此的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数,令，则符合条件，且。于是,只要,即当时，。因此满足条件的，从而。因此的最大值为。20、(本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的均有，使得,则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。（i)求证：函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。(）已知函数具有性质。给定设为实数,，且,若|0，因此对任意的均有,在上递增。又。当时,且, 综合以上讨论,得：所求的取值范畴是(0，)。（措施二）由题设知，的导函数,其中函数对于任意的都成立。因此，当时，,从而在区间上单调递增。当时,有,得,同理可得，因此由的单调性知、，从而有|,符合题设。当时,于是由及的单调性知，因此|,与题设不符。当时,同理可得,进而得|,与题设不符。因此综合、得所求的的取值范畴是（0，1)。数学(附加题)21.选做题本题涉及、C、D四小题,请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节。A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分）AB是圆O的直径,为圆O上一点，过作圆O的切线交AB延长线于点,若D=D,求证:=2C。解析 本题重要考察三角形、圆的有关知识,考察推理论证能力。（措施一）证明：连结OD,则：DDC， 又O=D，DA=DC,因此DAO=ODADCO,DOC=D+OA=O，因此DCO=0，DOC=600，因此OC=2O，即OBC=OD=O，因此AB=2B。(措施二）证明:连结O、B。由于B是圆O的直径，因此AD=00,AB=2 O。由于DC是圆O的切线，因此=900。又由于DAD，因此D=DC，于是DCDO,从而A=。即2OB=OB+，得OBC。故B=BC。B 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，已知点A（,0),(2，0）,C（-2，1)。设k为非零实数,矩阵M，N=,点A、B、C在矩阵MN相应的变换下得到点分别为A1、1、C1，A1B11的面积是AB面积的2倍，求k的值。解析 本题重要考察图形在矩阵相应的变换下的变化特点,考察运算求解能力。满分0分。解：由题设得由,可知A1（0,0）、B1（0,-）、C1（,-2)。计算得ABC面积的面积是1,1B1C1的面积是，则由题设知:。因此k的值为2或-2。C 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分1分)在极坐标系中，已知圆os与直线cos4ina相切，求实数的值。解析 本题重要考察曲线的极坐标方程等基本知识，考察转化问题的能力。满分分。解：，圆=cos的一般方程为:,直线3cos+4sin+a=的一般方程为：，又圆与直线相切,因此解得：,或。D 选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分）设a、是非负实数,求证:。解析 本题重要考察证明不等式的基本措施，考察推理论证的能力。满分10分。（措施一)证明:由于实数a、0,因此上式0。即有。（措施二）证明：由、b是非负实数,作差得当时,从而,得;当时,从而，得;因此。必做题第22题、第2题,每题1分,合计0分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节。22、 (本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为2%;乙产品的一等品率为90%，二等品率为0%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润万元,若是二等品则亏损万元;生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产多种产品互相独立。（1） 记X（单位:万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列；（2） 求生产件甲产品所获得的利润不少于1万元的概率。解析本题重要考察概率的有关知识,考察运算求解能力。满分0分。解：(1）由题设知,X的也许取值为0,5，-3,且 P（X=）080.9=072, （X=5）=020.9=018， P（X=2)=0.801=0.0, （X=-3)0.20=02。 由此得X的分布列为：X1052-30.72080.080.0（2)设生产的4件甲产品中一等品有件,则二等品有件。 由题设知,解得， 又,得，或。所求概率为答:生产4件甲产品所获得的利润不少于0万元的概率为0.19。23、 (本小题满分10分)已知ABC的三边长都是有理数。（1） 求证cA是有理数;（2)求证:对任意正整数,nA是有理数。解析 本题重要考察余弦定理、数学归纳法等基本知识,考察推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。（措施一)(1)证明:设三边长分别为，是有理数,是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数,osA是有理数。（2）当时,显然oA是有理数；当时，由于coA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立,即coskA、均是有理数。当时,，,解得：cosA,均是有理数,是有理数，是有理数。即当时,结论成立。综上所述,对于任意正整数n，co是有理数。(措施二)证明：（)由A、BC、C为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明onA和都是有理数。当时，由（）知是有理数,从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时，由，,及和归纳假设,知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。