资源描述
第六章 实数 平方根（3学时) 课程目的 一、知识与技能目的 1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。理解算术平方根与平方根的区别与联系。毛 2.对于任意有理数都能辨别其“”、“-”性，运用计算器已势在必行。 二、过程与措施目的 采用类比平方值的求法,定义出平方根的概念,同步从这个过程可知一种什么样的数才具有平方根，这种数有几种平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系? 三、情感态度与价值观目的 1引导学生充足进行交流，讨论与摸索等教学活动,培养她们的合伙与钻研精神。 .理解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑,培养学生学习数学的热情。 教材解读 本节内容一方面给出一种简朴的问题,根据正方形的面积求出其边长,由此引出求某数的平方根的问题，在波及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用措施,通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。 学情分析 上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都可以顺利得到，同步也感知了“互为相反数的平方相等”,故由平方值去摸索平方根的问题事实上只是互逆过程,只规定出一种数的平方就可得知平方根的值。第1学时 一、创设情境，导入新课 玲玲家近来喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增长了工资。条件改善了,为了给玲玲一种好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲觉得正方形桌子更大,可以多堆点书,又可以有足够的位置写字，因此她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的爱慕为她购买了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100m,你能算出这张桌子的周长和面积吗？固然可以了，可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为1m的正方形桌子”。请问她爸爸能为她购买到满意的桌子吗?固然可以,计算正方形的面积必须要懂得正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题。 二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题,引起讨论 1.你能求出下列各数的平方吗？ ,-1,5,2.3,-,-3,3,1, 能.02=0 （-1）2=1 522 32.9 ()2 （-)2=9 3=9 1 ()2= .若已知一种数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,-,1.9 能.由于225,(-)25,故平方为25的数为5或5. 02=0,故平方为0的数为0. 224,(-2)2=4，故平方为4的数为或-. (-）2=,（）=,故平方为的数为. (-)2=,()2=,故平方为的数为. 对于这个数，没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到. 1.3216,(-1.3)=1.69,故平方为1.的数是1.3. 又如:课本P10中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方，而边长不也许为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为,9,16,时,此正方形的边长分别为,3,4, . 由以上讨论发现,有时候我们已知一种数规定这个数的平方值时,只有一种,也有些时候，我们已知某数的平方,规定出这个数,发现此时一般可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一种值.我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根. (二)导入知识,解释疑难 1教材内容解说 欲拟定某数的平方根时,由以上过程发现,虽然有两个值，这两个值也是一对互为相反数,因此事实上我们若求出其中一种值,另一种值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先拟定一种正数,把这个正数称为所给数的算术平方根 一般地,如果一种正数x的平方等于,即x=a,那么这个正数叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为,读作“根号a”，a叫做被开方数.规定:的算术平方根是0. 例1 求下列各数的算术平方根： （1)0 (2）1 (3) (）96 (5) (6)106 解:（1)302=90,故90的算术平方根是30，即=30. (3)()2,故的算术平方根是，即= ()1219，故96的算术平方根是14,即14. (5)20,故的算术平方根是0,即=0. （6)（10）2=1-6,故10的算术平方根是10-3，即 =-3 例2：勤俭节省是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,她把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为169d2.已知她用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为dm的小板子，试问另一张较大的桌面的边长应为多少m才干拼出面积为16m的桌面？ 分析:边长为d的正方形板子,其面积为2m2,要拼出面积为19dm2的桌面,还需面积为1695=42的正方形桌面,故问题事实上转化为求14的算术平方根，即1. 解：设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有x2+=19,x2=1-=14,而2144 故144的算术平方根为12,即,即另一张桌面的边长应为12dm. 练习: 1.求下列各式的值: ； ; .解:=1 =0.1=.9-0.=0.7 （2)若(-1)2+b-90,则的算术平方根是下列哪一种（ ) A. 3 C.3 D.-3分析:由于（-1)2.b-90， (a1)b=时,有a1=且-90,1，b=9, =,故的算术平方根是3. . 故意义吗?为什么? 分析: 无意义，由于任何数的平方都是非负数,即20,故无意义 2.探究活动 (1）当a为负数时,2有无算术平方根？其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时，a2的算术平方根如何表达?a为0呢？举例阐明你的结论 (2)x2-x+与否有算术平方根?如有请写出其算术平方根，如没有阐明为什么? 解：当a为负数时,a2为正数,故a有算术平方根,如a=5时,a2（-5)2=25,=,是-5的相反数,故0时,a的算术平方根与a互为相反数,表达为-a. 当a2为正数时,a的算术平方根表达为,其值为a，即=a. 当=0时, =0 由此可知=|a|= （)由于(x)2=x-x,而(x-)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定当时,x2-+的算术平方根为x-.当x时,x2-x+的算术平方根为（x-)-x. (三)归纳总结，知识回忆 这节课重要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一种数的算术平方根与求一种正数的平方幂正好是互逆的过程,因此，求正数的算术平方根事实上可以转化为求一种数的开平方运算.只但是，只有正数和才有算术平方根,负数没有算术平方根 练习设计 (一)双基练习 1.某数的算术平方根等于它自身,则这个数为_；若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为_2.求下列各式的值:,， , , 33x-4为25的算术平方根,求x的值. 4.已知的算术平方根为a,的绝对值为，求a-b的值 (二)创新提高 5.已知2-的算术平方根是3,3a+b1的算术平方根是4,求、b的值. （三)探究拓展 6若与互为相反数,求xy的算术平方根. 参照答案0，1 0; 20, ,3，0,0-(); 3.x=3 4a=3,b=，则a=34或3-（-4),故a-b1或7.5.a=5,b=2 6.x,y=4,y16,xy的算术平方根为4.课后作业：第2学时 一、创设情境，导入新课某同窗用一张正方形纸片折小船，但她手头上没有现成的正方形纸片,于是她撕下一张作业本上的纸,按照如图,沿AE对折使点B落在点F的位置上，再把多余部分ED剪下,如果她事先量得矩形ABC的面积为0cm,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为0cm.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米 将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积，正方形纸片的面积为90-0=0cm2,而正方形的面积为边长的平方,规定正方形的边长就得算出多少的平方等于5,但我们懂得=49,826,50这个数既不是2，也不是82,由于95064,故此正方形的边长应不小于而不不小于8.究竟它为多少呢?它是一种小数吗?你有什么措施拟定这个值呢？这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题. 二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题，引起讨论 在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题，如果在所学过的有理数中的确找不到合适的数的平方会等于所给的数，我们该怎么表达所给数的算术平方根呢? 我们懂得,若有正数x，使x2(a),则x为a的算术平方根,记作x=,于是若x2=50时(为正数)，则=，而728,因此有5，故50,故7.9,而7.08250.1,7.072=498,故7.07.08,接着继续增长小数点后一位小数，如7.1,计算7.07=4.9,而.72=5.01,故70717.0,如此继续进行下去，可以发现将小数点后的小数位继续增长下去,始终不能穷尽，都只能使707的平方值无限接近，因此发现，不也许化为我们此前学过的无限循环小数,只能化为无限不循环小数,而有理数只涉及有限小数和无限循环小数或者整数，但却不在这些数的范畴内,只能说这个数不是有理数,我们把这种数重新命名为“无理数”，于是数的范畴也就扩大了，与否我们可以直接用计算器来计算某一种正数的算术平方根呢? 只要计算器上有“”键或者“”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了，但不同的计算器的按键顺序不相似,只要按计算器的使用措施去按键，就可求出任意正数的算术平方根了. 例1:用计算器计算和，的值. 解:通过按键可得的值在计算器上显示:56，为有理数.的值在计算器上显示1,而的值在计算器上显示，的值在计算器上显示3122766从计算器上显示的数都是位数有限的,因此往往给我们一种印象“这些值都是有理数”,而事实上我们懂得用平方幂验证它们的平方根时，却怎么也找不到精确的数,使其平方为2、5、1,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一种无限不循环小数即无理数.通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很以便地拟定一种任意正数的算术平方根. 活动:如何用两个面积为1的小正方形拼成一种面积为2的大正方形?求出其边长. 分析：将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一种正方形即能满足规定.要拟定新正方形的边长,我们就得拟定的值大概是多少,我们懂得2=1,22=4,故17=2cm,21c比原正方形的边长2c更长,这是不也许的. 通过上述两例发现运用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片. (三)归纳总结,知识回忆 通过本节课的学习可知,并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“”的形式表达，也可以用一种与的值接近的有理数替代,于是可用计算器算出这个数,但事实上,是一种无理数. 练习设计 (一)双基练习1. 用计算器求出下列各式的值 2.用计算器比较与的大小. 3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流,功率之间有如下的一种关系式:=2,既有一用电器,电阻为欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I .用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一种较大的正方形，其边长约为多少?(精确到.0m） （二)创新提高 5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一种以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为6000米2 （1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差不不小于1米) (2)若在公园中建一种圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到01) (三)探究拓展 （)任意找一种很大正数,运用计算器将该数除以3,将所得成果再除以3.随着运算资料的增长,你发现了什么?换一种数试试，与否仍有类似的规律? (2)任意找一种非常大的正数,运用计算器不断地对它进行开算术平方根,你发现了什么?第3学时 一、创设情境，导入新课 同窗们,你懂得“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行初次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着国内的航天事业又迈进了一步，国内在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到1千米秒的运动速度时能挣脱地球引力的束缚,在挣脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行，脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运营，若要挣脱太阳引力的束缚飞出太阳系，物体的运动速度必须达到17千米/秒，那时将按双曲线轨迹飞离地球，而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.通过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/秒时,该速度被称为第一宇宙速度第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢? 二、师生互动,课堂探究 (）前面在第一节课的学习中,我们计算过了诸多互为相反数的平方，发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若=a,则=称为a的算术平方根，而x尚有一种负值,又该如何称呢? （2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运营的速度要不小于第一宇宙速度v1(米/秒)而不不小于第二宇宙速度2（米/秒),其中v1、2满足v12=R，v22=2gR,其中g是物理中的一种常数(重力加速度),g9.8米/秒,R是地球半径，R6.10米,如何拟定v1、v2的值呢?它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧. (二)导入知识,解释疑难 .若一种数的平方等于16,这个数是多少,又如何表达呢? 由于2=16,(）216,故平方等于6的数有两个:4和-4,把4和-4叫做1的平方根,记为4=，则- ,把4和-4称为16的平方根. 一般地,如果一种数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根,即若x2a，则x为的平方根,记为=.如3和3是9的平方根，记为3是的平方根,表达为3.把求一种数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一种数的平方根,例如当2=1时,x=1；当x216时，则x=4,当x2=36时，x=6;当x2=4时,x=；当x2=,则为的平方根,依次可记为,，,它们的相应关系如图所示. 练习:求下列各数的平方根. （1)0.49 （2) (3)81 (4)0 （5)-10 解：(1)由于072.9,(-07)2=049,因此.49的平方根为07,即=0.7 （2)由于(）2=,(-)2= ,因此的平方根为,即= (3)由于92=8,（)2=8,因此8的平方根为9,即=. (4)由于02=,因此0的平方根为,即=0 (5)由于任何数的平方都不不不小于，找不到平方为-100的数，故10没有平方根. 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数（或)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数（或0)的那部分,而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出: 正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根 例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根 （) ()- （3） 解:(1)由于1.2.44,因此=12,1.44的平方根为1.2,即.2. (2)由于98,因此-9，8的平方根为9，即=9. (3）由于()2,因此，它正是的平方根. 故求正数的平方根时,只要懂得它的算术平方根,就能拟定了,由于其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.同样如果懂得某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可拟定. 面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们懂得第一宇宙速度v12gR,其中=9.米秒,646米，22=2gR,则有v129.6.40米2/秒227106米2/秒=627107米2/秒2.v2212.44106米2/秒21.25418米2秒2 因此，v1是6.27217的平方根,v2是12418的平方根. 那么17.910米/秒7.9千米/秒,v2=11.1米/秒=11.2千米/秒 但在实际问题中，速度是一种比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向，故负值不合题意,应舍去,事实上,在某些具体问题中,要根据得出的答案与否故意义而取值. 例2:某矩形的面积为1200平方米,若其长是宽的3倍，试求出此矩形的长与宽分别是多少米？ 解:设宽为x米，则长为3米,其面积为3x2平方米 故2320 2=40 解得x=66.3 但x为矩形的边长应不小于,故=663米,=98.99米,即此矩形的长为989米,宽为6.3米. 2.探究活动 对于正数x和y，有下列命题: (）若+=2,则1 （)x+y=3,则 (3)若x+=6,则3 根据以上三个命题所提供的规律猜想: ()若+y=9，则_. ()若对于任意正数、b,总有_. 分析：当+y=时,有,从中发现分母为2,分子为x、的和,再验证其他的等式:+y时,则=1.当x+y=6时, 3.与已知相吻合,故有结论m0,n0，且mna时,则,即 xy=时,则, 由此得b2, 即(-）2 (三)归纳总结,知识回忆 本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,何种情形用其算术平方根,得根据实际状况选择答案 练习设计 （一)双基练习 .的值为多少?的平方根为多少? 的平方根呢？ 2.如果一种正数的一种平方根为4，则另一种平方根为多少? .有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2，求长和宽. 4.若（a） +a2-2,现教师布置了一道化简题： +(a=） .甲、乙两同窗不久地写出其解答过程：甲: +=+-a,当a=时,-a=109 乙: +=+a-=a 谁的答案是对的?为什么? (二)创新提高 5.已知=-1,b-，c=-2,试比较a、的大小.(不用计算器) （三）探究拓展 6.若的整数部分为,小数部分为b,求a、b的值. 参照答案.4，4,2 2.-4 3.长为10m,宽为2 4甲的答案是对的，由于a 时, 5由于，因此a-=-1-=1-11-,而a=1- =ab ba 6. 50时,-表达的算术平方根的相反数无意义；若a0，则-无意义. 例2:求下列各数的立方根。 -27; ; -.216。 解：（-）3=-27,-3; （)=， ,. (-0.6）3=-.26, =0. 练习:()求下列各数的立方根: 0 8 -6 81- 解：=0; ； =-4; 1-=-=75; 4.2; (2）比较-4、-5、的大小. 解:4364,312，64101, -5 .探究活动 若正方体的棱长为1,则其体积为;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为,则其体积为64；若其棱长为8,则其体积为52当棱长为2n时，其体积为多少？某正方体的体积为时,其棱长为;体积为2时,棱长为；体积为3时,棱长为 ;若体积扩大到本来的倍,则棱长扩大多少倍？ 解:正方体棱长为,则体积为1,棱长为2,体积为8,比较两者棱长扩大了倍,体积扩大了8倍,棱长又扩大了倍,其体积相应增大7倍,为本来的8倍,故当棱长为2n时,体积为8n3. 当体积扩大到本来的倍时,棱长扩大到本来的倍. (三)归纳总结,知识回忆 这节课学习了立方根的概念,立方根的表达措施以及如何求一种数的立方根.用计算器求任意数的立方根时,只能先求出该数的绝对值的立方根,再根据任意数的正负性决定其值,注意辨别平方根与立方根. 练习:(一)51页;52页2，3 .某数的立方根等于它自身，这个数是多少? .求下列各数的立方根:(1）-1+; (2）00.某金属冶炼厂将2个大小相似的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一种长方体钢铁,此长方体的长,宽，高分别为10cm,80cm和40cm，求本来立方体钢铁的边长.4.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,还需再加水73才满,求另一正方体容器的棱长 参照答案 1这个数为,1 2.（1) （2)40 3. cm 4.cm 作业：57页,4。 .2 立方根（学时)答：被开方数扩大(缩小）100倍时,它的立方根扩大（缩小)10倍。课堂练习:。 11页2, 73页10,1观测下列各式与否成立,你能从中找到什么结论，并证明你的结论. (1) =2 (2)=3 () =4 (4) = 3.设1993=199y997,xy0,且=+,求的值.参照答案 2.7=123- 2=27-1=33-1 63=641=31 =12=53-1 猜想=(n=1,，） =n.令199x3=1996y319973=k,k0,则995=,996=，1997,故=+, 即 =. 而x0,y0,0,因此=(）3,解得: =1 6.3 实数(）一、教学目的 (一）知识目的 1理解无理数和实数的意义,掌握实数的分类，可以判断一种数是有理数还是无理数; .掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍合用.(二)能力目的 通过实数的分类,使学生进一步领略分类的思想;（三）情感目的.由实数的分类，渗入数学分类的思想 2.数形结合体现了数学的统一性的美二、教学重点和难点 教学重点：使学生理解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质. 教学难点：无理数意义的理解 三、教学措施讲练结合四、教学手段 投影片 五、教学活动设计（一)复习提问什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师协助纠正: 1.整数和分数统称为有理数 2.有理数的分类有两种措施:第一种：按定义分类： 第二种:按大小分类： (二)引入新课 同窗们,有理数由整数和分数构成,下面我们用小数的观点来看,整数可以看做是小数点背面是0的小数,如3可写做.、.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表达。如3=30,，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢?答案与否认的,我们来看这样一组数：我们会发现这些数的小数位数是无限的,并且是不循环的,这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范畴.这就是我们今天要学习的一种新的概念：无理数. 1定义:无限不循环小数叫做无理数. 请同窗们判断如下说法与否对的？ (1）无限小数都是无理数 (）无理数都是无限小数. （)带根号的数都是无理数 答:（1）错，无限不循环小数都是无理数. (2)错,无理数是无限不循环小数. 目前我们不仅学过了有理数,并且又定义了无理数，显然我们所学的数的范畴又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数,这是我们今天学习的又一新的概念. 2.实数的定义:有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类： 对于实数，我们可按定义分类如下: 由上述分类,我们发既有理数和无理数均有正负之分，因此对实数我们还可以按大小分类如下： 对于这两种分类的措施,同窗们应牢固地掌握.实数的相反数：如果a表达一种正实数,那么a就表达一种负实数,a与-a互为相反数，的相反数仍然是0. 由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相似其实不仅如此,绝对值的定义也是如此. 实数的绝对值:一种正实数的绝对值是它自身；一种负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.用数字表达仍可表达为: 6实数的运算: 有关有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立在实数范畴内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算.运算顺序仍然是从高档到低档值得注意的是在进行开方运算时，正实数和零可开任何次方,负数能开奇次方，但不能开偶次方. （3)若|x|=，求x值 例2 判断题: (1）任何实数的偶次幂是正实数.() （2)在实数范畴内，若x=|，则y ( ） ()0是最小的实数(）（）是绝对值最小的实数.()解：(1)错,的偶次幕是0，它不是正实数 （2)错，若=3，=-3,则满足|x|，但xy (）错，负实数都不不小于0.(4)对,由于任何实数的绝对值都为非负实数，自然是绝对值最小的实数 六、总结 今天我们学习了实数这一新的内容，请同窗们一方面要清晰,实数我们是如何定义的,它 与有理数是如何的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清晰并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质,来理解在实数中的定义和运用七、作业教材P 57练习、4、5、 .3 实数(2) 一、教学目的： (一)知识目的： 理解实数绝对值的意义，理解实数与数轴上的点一一相应的关系 (二）能力目的：通过实数与数轴上的点一一相应关系,使学生理解数形结合思想,提高思维能力 . （三)情感目的: 由实数与数轴的一一相应关系,渗入数形结合的思想二、教学疑点及解决措施：数轴上的点与实数是一一相应的为疑点,教学中应充足注意对实数分类的解说，并结合数轴画图阐明、实数稠密性三、教学活动设计 (一）复习提问 1有理数、无理数、实数的概念 2.实数的分类（两种方式) 例1 把下列各数写入相应的集合中: 以上内容应由学生自己先做,再由学生自己来纠正错误.教师再做合适提示。特别要注意有的学生一看不到不能化成有限小数的分类,如 ， 就容易将其化入无理数，这阐明学生在概念上还是不十分清晰,应让学生明白是分数就一定是有理数，必可化为有限小数或无限循环小数，要使学生清晰各概念之间的界线，抓住本质，区别相近的概念，我们在解说有理数概念的时候,接触过数轴的问题,请同窗们回忆一下什么叫数轴? 我们懂得规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴每个有理数都在数轴上有自己相应的位置反过来,同窗们想一想数轴上所有的点是不是都表达有理数呢?下面我们来验证一下，一方面画一种数轴:以0到为一边、单位长度为边长作一种正方形，以数轴的原点为圆心、正方形的对角线为半径画弧,根据勾股定理，我们懂得这个正方形的对角线长为 ,因此所画的弧与数轴的正半轴的交点表达的数就是 ，由此我们看出数轴上的点表达的并不都是有理数，也有无理数如果我们把所有的有理数连起来，构成的是一条断断续续的数轴,这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数,可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，因此我们把这个数轴又称为实数轴.实数与数轴上的点是一一相应的这其中涉及着两层含义:第一,每一种实数都可以用数轴上的一种点来表达;第二,数轴上的每一种点都可以用一种实数来表达.我们用数轴来表达实数，将数和图形联系在了一起，这给我们研究数学问题带来了以便，这也是我们数学中一种相称重要的数学思想数形结合. 我们把实数表达在数轴上,最直观地表白了实数的大小,以原点为分界线,在原点的右侧，表达正数，在原点的左侧为负数,我们懂得数轴上的实数从左到右是由小变大,并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题.显然同有理数之间的比较大小是类似的. 例2 比较大小： 解：(1)“”我们前面计算时懂得，化为小数再与17比较,便可知答案了.可见在实数比较大小时,要常常用到无理数的近似值,因此有些常用的无理数的近似值应记住，如 , , 等,记住了,用时就以便些. ()“”作此题时，我们看到是两个负数比较大小,根据规则两个负数比较大小先比较她们的绝对值的大小，因此先比较 与的大小，这两个无理数比较大小时，并不用将她们都化为小数,由于两个算术平方根比大小时，只需看她们的被开方数的大小就行了，被开方数大的，其算术平方根也大，这样我们就得到 ，再根据两负数比较大小,绝对值大的反而小的规律，我们就得到答案了. ()“”此题比较大小时,根据正数不小于一切负数的结论就可以得答案了. (4)“”此题将化为3.4159就可以比出大小了. (5)“”此题先将|-1.6|化为.6，再将化为 ，根据小数比较大小,就得出结论了.(6）“=”此题应将循环小数多展开某些再做比较，就会发现，这两个数,各位上的数是相似的，因此 . (）“” 小结：通过例2，我们看到两个数比较大小时,必须化成同类数才做比较,但在化的过程中应避免化错例3计算： 分析:在实数运算中,当遇到无理数,并且需规定出成果的近似值时,可以按照所规定的精确度用相应的近似有限小数去替代无理数，再进行计算. 2236+3.14 =538 .38. 应提示学生,成果规定精确到00,但在计算过程中应比成果规定的多保存一位小数. 1.32.44245. 作教材P.15中、8 7.()2.25 (2)-.88(1）“”（)“” 二、总结 同窗们,无理数的引进，把我们所研究问题的数的范畴从有理数扩大到了实数，这样一来,我们此后研究问题的数的范畴更广泛了,我们所研究的问题也就会更广、更深了从目前起,在考虑某些数学问题时,一定要有数的范畴的概念.对于不同数的范畴，也许成果是不相似的.三、作业教材P 1习题9，
展开阅读全文