相似三角形存在性问题

因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0)与直线y=x2都通过点A(2, m) （1）求k与的值；（2）此双曲线又通过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C，联结、C,求BC的面积;(3）在()的条件下,设直线yx+与y轴交于点D，在射线CB上有一点,如果以点A、C、E所构成的三角形与ACD相似,且相似比不为,求点E的坐标图1动感体验请打开几何画板文献名“1宝山嘉定4”，拖动点E在射线C上运动，可以体验到，ACE与ACD相似，存在两种状况.思路点拨直线D/BC,与坐标轴的夹角为5.求ABC的面积,一般用割补法讨论AE与CD相似，先寻找一组等角，再根据相应边成比例分两种状况列方程.满分解答(1）将点A(2, m)代入y=x+，得m=4.因此点A的坐标为(2, 4）.将点A(, 4)代入，得k=8.(2)将点(， 2),代入,得n4因此点B的坐标为（4, 2）.设直线B为yx+b，代入点（4，2),得=-2.因此点C的坐标为（，-2)由A(2，）、(4,2） 、C (,-)，可知A、两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.因此AB=，C=,AB=. 图2因此SBC=8 ()由(2, 4) 、D(0, ) 、C （0,-2),得，.由于DAC+ACD5,ACE+ACD=45,因此AAE因此C与A相似，分两种状况：如图3，当时，E=A.此时ACDCAE，相似比为1.如图4,当时,解得CE=.此时、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，因此E(10, 8)图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算AC的面积时,正好ABC是直角三角形一般状况下,在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5,作ABC的外接矩形HCN,MN/y轴由矩形HCNM24,AHC6，SAM=,SBCN,得SBC8.图5例2 武汉市中考第24题如图1，RtBC中,ACB90，AC= c,B=8 m,动点从点B出发，在边上以每秒 m的速度向点匀速运动，同步动点Q从点出发,在B边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2)，连接Q.（1）若BQ与AB相似,求t的值;(2)如图2，连接AQ、CP,若AQC,求的值;（）试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上.图1 图动感体验请打开几何画板文献名“1武汉24”,拖动点P运动,可以体验到,若BQ可以两次成为直角三角形，与ABC相似当AQCP时，ACQCDP的中点在ABC的中位线EF上思路点拨BP与AC有公共角，按照夹角相等,相应边成比例，分两种状况列方程作PD于D，动点P、的速度,暗含了BD=CQP的中点H在哪条中位线上?画两个不同步刻P、Q、H的位置，一目了然.满分解答（)tABC中，AC=6，BC=8，因此AB10.BPQ与BC相似，存在两种状况: 如果,那么解得=1 如果，那么解得.图 图4(2）作PDB,垂足为D.在RBD中，BP5,csB,因此D=PoB=t，PD=t当QCP时,CQCDP.因此，即解得图5 图6（3）如图4，过PQ的中点作BC的垂线,垂足为,交AB于E.由于H是PQ的中点，F/PD，因此F是的中点.又由于BDQ=4,因此BFCF.因此F是C的中点,是A的中点.因此PQ的中点H在ABC的中位线E上.例3 苏州市中考第9题如图1，已知抛物线(b是实数且2)与x轴的正半轴分别交于点、(点位于点是左侧），与轴的正半轴交于点C.（1）点的坐标为_，点的坐标为_（用含b的代数式表达）；（2）请你摸索在第一象限内与否存在点P，使得四边形POB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在,求出点P的坐标;如果不存在，请阐明理由；（3)请你进一步摸索在第一象限内与否存在点Q,使得QO、QA和QB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊状况)？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在,请阐明理由.图1动感体验请打开几何画板文献名“2苏州29”，拖动点在轴的正半轴上运动,可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形COB的面积等于2b的时刻.双击按钮“第（）题”，拖动点B,可以体验到，存在OQA=B的时刻，也存在OA的时刻.思路点拨1.第()题中，等腰直角三角形PBC暗示了点到两坐标轴的距离相等.2.联结P，把四边形COB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含的式子表达3第(3)题要探究三个三角形两两相似，第始终觉这三个三角形是直角三角形，点最大的也许在通过点A与轴垂直的直线上.满分解答(1）的坐标为(, ),点的坐标为(0, )（2)如图,过点作Px轴,E轴,垂足分别为D、E,那么PDPEC因此PDPE设点P的坐标为（x, x）.如图,联结.因此S四边形PCB=SPOSPBOb解得因此点P的坐标为(）.图2 图3（3）由，得A(1, 0),OA=.如图4，以A、O为邻边构造矩形OAC,那么OA.当，即时，BQAQOA.因此解得因此符合题意的点Q为().如图5，以OC为直径的圆与直线x交于点Q，那么OQC=0。因此CQQ当时,BQAA此时OQB=90因此C、Q、B三点共线.因此，即解得.此时(1，4）图4 图5考点伸展第（3）题的思路是,A、O三点是拟定的,B是x轴正半轴上待定的点,而QO与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的状况这样,先根据QO与QC相似把点的位置拟定下来,再根据两直角边相应成比例拟定点B的位置.如图中,圆与直线x1的另一种交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话,那么点B的位置距离点很近,这与OB4OC矛盾.例5 义乌市中考第4题如图1，已知梯形ABC,抛物线分别过点(0，）、A(2,）、（6，3）.(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2）将图1中梯形OBC的上下底边所在的直线OA、C以相似的速度同步向上平移,分别交抛物线于点1、A1、1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形11B11的面积为,A1、1的坐标分别为 (x1,1)、（x2,y2)用含的代数式表达x21,并求出当S36时点A1的坐标；(3)在图1中，设点D的坐标为(1,)，动点P从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点从点D出发，以与点P相似的速度沿着线段M运动.P、Q两点同步出发，当点达到点时，P、Q两点同步停止运动.设、Q两点的运动时间为t，与否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线B、x轴围成的三角形与直线PQ、直线B、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，祈求出t的值；若不存在，请阐明理由 图1 图动感体验请打开几何画板文献名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观测图形和图象,可以体验到,2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3）题”，拖动点在M上运动,可以体验到，如果GAFGQE,那么GF与QE相似.思路点拨第（2）题用含的代数式表达xx,我们反其道而行之,用x1，2表达.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2-y1=.通过代数变形就可以了.2.第(3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算成果的状况下，无法画出精确的位置关系,因此本题的方略是先假设，再说理计算，后验证.3第（)题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率,因此假设直线P与AB的交点G在轴的下方，或者假设交点在x轴的上方满分解答(1）抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,）.（2) 梯形O1B1C1的面积,由此得到.由于，因此整顿,得因此得到当=6时, 解得 此时点1的坐标为（6,3）（3）设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线Q与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF与GQE,有一种公共角G.在EQ中，G是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值在GAF中，AF是直线B与轴的夹角,也为定值，并且GEQGA因此只存在QE=AF的也许，GQEAF.这时GAF=GPQD由于，,因此解得. 图 图4考点伸展第（3）题与否存在点G在x轴上方的状况？如图,如果存在,说理过程相似,求得的t的值也是相似的事实上，图3和图都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3.例6 临沂市中考第26题如图，抛物线通过点(，0)、B(1，0）、C（0，2)三点.(1）求此抛物线的解析式；()P是抛物线上的一种动点,过P作Px轴，垂足为M，与否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在,祈求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请阐明理由；（3)在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标.,图1动感体验 请打开几何画板文献名“09临沂26”，拖动点在抛物线上运动，可以体验到，的形状在变化，分别双击按钮“在B左侧”、“ P在x轴上方”和“在A右侧”，可以显示PAM与OC相似的三个情景双击按钮“第(3)题”, 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观测DC的形状和面积随D变化的图象，可以体验到,E是A的中点时,的面积最大思路点拨1.已知抛物线与轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表达图象上点的坐标,用点的坐标表达线段的长.3按照两条直角边相应成比例，分两种状况列方程.4把DC可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.满分解答 (1)由于抛物线与x轴交于(4,)、B（1,)两点，设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(，2）,解得因此抛物线的解析式为.（2)设点的坐标为如图，当点P在x轴上方时,x，,解方程，得.此时点P的坐标为.解方程,得不合题意.如图4，当点P在点B的左侧时，x1,，解方程,得此时点的坐标为解方程，得.此时点P与点重叠,不合题意.综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1)或或. 图2 图3 图4(3)如图5,过点作x轴的垂线交AC于E直线的解析式为.设点D的横坐标为，那么点D的坐标为,点E的坐标为.因此因此.当时,CA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1). 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6,过D点构造矩形OAN，那么DC的面积等于直角梯形CAM的面积减去C和ADM的面积.设点D的横坐标为（,n),那么由于,因此.