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空间向量及其运算空间向量及其运算从建筑物上找向量的影子从建筑物上找向量的影子在空间里既有在空间里既有大小又有方向大小又有方向的量叫做空间的量叫做空间向量。向量。阅读教材填写下表阅读教材填写下表平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的向量的向量长度相等且方向相同的长度相等且方向相同的向量向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是其中不正确命题的个数是 （1）（）（2）（）（5）3ababOABb结论结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。，成为同一平面内的两个向量。思考：平面是否唯一？思考：平面是否唯一？探究一：探究一：空间任意两个向量是否都可以平移空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？到同一平面内？为什么？O结论：空间任意两个向量结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论题，平面向量中有关结论仍适用于它们。仍适用于它们。平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数,负数负数,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律ababab+OABbC探究二：空间向量如何进行加减运算？探究二：空间向量如何进行加减运算？a aa (k0)ka (k0)k空间向量的数乘aababab+OABbC空间向量加法交换律：空间向量加法交换律：探究三：探究三：空间向量的加法是否满足交换律？空间向量的加法是否满足交换律？b+aa+b=abcOABCab+abcOABCbc+(空间向量空间向量)ab+c+()ab+c+()空间向量的加法是否满足结合律？空间向量的加法是否满足结合律？=加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：空间向量的加法的运算律：空间向量的加法的运算律：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)数乘分配律数乘分配律平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数,负数负数,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律加法交换律加法交换律数乘分配律数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律加法结合律数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数,负数负数,零零AB 1.1.共线向量共线向量:如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作规定零向量与任何向量共线规定零向量与任何向量共线空间向量共线定理：空间向量共线定理：对于空间任意的两个对于空间任意的两个向量，向量，a,b,(a0），），b与与a共线的充要条件是共线的充要条件是存在实数存在实数，使，使b=aABB零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的如何理解零向量的方向？如何理解零向量的方向？共线向量共线向量:零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线.1.1.共线向量共线向量:如果表示空间向量的有向如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合线段所在直线互相平行或重合,则这些向量则这些向量叫做共线向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作 2.2.共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个向量对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使的充要条件是存在实数使共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:能能平移到同一平面的向量平移到同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OA注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。任意三个向量就不一定共面的了。平面向量基本定理的内容平面向量基本定理的内容存存在在性性唯唯一一性性如果如果是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数，一对实数，使使有且只有有且只有2.2.2.2.共面向量定理共面向量定理共面向量定理共面向量定理 :如果两个向量如果两个向量如果两个向量如果两个向量 不共线不共线不共线不共线,则向量则向量则向量则向量 与向量与向量与向量与向量 共面的充要共面的充要共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对条件是存在实数对条件是存在实数对 使使使使 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充要内的充要条件是存在有序实数对条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 例题1.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且求证：MN平面CBEBAFDCENMGH例例2对空间任意一点对空间任意一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式，试问满足向量关系式（其中）的四点（其中）的四点P、A、B、C是否共面？是否共面？例例3已知已知A、B、M三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABM外的任一点外的任一点O，确定在下列各条件下，确定在下列各条件下，点点P是否与是否与A、B、M一定共面？一定共面？注意：注意：空间四点空间四点P、M、A、B共面共面实数对实数对 已知已知E E、F F、G G、H H分别是空间分别是空间 四边形四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA 的中点，的中点，（1 1）求证：）求证：E E、F F、G G、H H四点共面；四点共面；（2 2）求证：）求证：BDBD平面平面EFGHEFGH；(1(1）要证）要证E E、F F、G G、H H四点共面，可四点共面，可 寻求寻求x x,y y使使 （2 2）由向量共线得到线线平行，进而得到线面）由向量共线得到线线平行，进而得到线面 平行平行.练习练习3证明证明 （1 1）连接）连接BGBG，则，则由共面向量定理的推论知：由共面向量定理的推论知：E E、F F、G G、H H四点共面四点共面.（2 2）因为）因为所以所以EHEHBDBD.又又EHEH平面平面EFGHEFGH，BDBD平面平面EFGHEFGH，所以所以BDBD平面平面EFGHEFGH.复习平面向量的基本定理复习平面向量的基本定理如果 ，是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数t1，t2，使 OCMN对向量对向量 进行分进行分解解：空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？POxyz二、空间向量的基本定理：二、空间向量的基本定理：如果三个向量如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯，存在一个唯一的有序实数组一的有序实数组(x，y，z)，使，使ABDCO思路：作思路：作E 如果三个向量 不共面,那么空间的每一个向量都可由向量 线性表示.把 称为空间的一个基底基底基底:基向量基向量:如果空间一个基底的三个向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.正交基底正交基底:单位正交基底单位正交基底:当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底.通常用 表示 设点设点O、A、B、C是不共面的是不共面的四点，则对空间任一点四点，则对空间任一点P，都存在，都存在唯一的有序实数组唯一的有序实数组(x，y，z)，使，使OABCPPP注：注：空间任意三个不空间任意三个不共面向量都可以构成共面向量都可以构成空间的一个基底空间的一个基底如：如：推论：推论：例：例：已知空间四边形已知空间四边形OABC，对角线，对角线OB、AC，M和和N分别是分别是OA、BC的中点，的中点，点点G在在MN上，且使上，且使MG=2GN，试用基底，试用基底 表示向量表示向量OABCMNG解：在解：在OMG中，中，
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