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6 6.3 3等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和-2-3-知识梳理考点自测1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an=.3.等比中项如果成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列.4.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;第二项 同一个 公比 a1qn-1 a,G,b G2=ab-4-知识梳理考点自测-5-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列.()(5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列.()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为 ()-6-知识梳理考点自测2.已知数列an中,a1=3,an+1-3an=0,bn=log3an,则数列bn的通项公式bn=()A.3n+1B.3nC.nD.n-13.已知an为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是an的前n项和,则S12的值为()A.21 B.42C.63 D.54C解析解析:由an+1-3an=0,得an+1=3an,又a1=3,数列an是以3为首项,以3为公比的等比数列,则an=3n,bn=log3an=n.故选C.D-7-知识梳理考点自测4.(2017全国)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏B解析解析:设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由 ,可得x=3,故选B.5.(2017北京朝阳二模)等比数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,a4=-2,则an的通项公式an=.2(-1)n-1 解析解析:a1=2,a4=-2,则a4=-2=a1q3,q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1.-8-考点一考点二考点三考点四等比数列的基本运算等比数列的基本运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()(2)(2017陕西咸阳二模)在等比数列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的两根,则a5=()A.1B.-1C.1D.3(3)(2017全国)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.B A-8-9-考点一考点二考点三考点四-10-考点一考点二考点三考点四思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.-11-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练1(1)(2017山西太原二模,文4)已知公比q1的等比数列an前n项和Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()(2)(2017安徽安庆二模)在等比数列an中,a3-3a2=2,且5a4为12a3和2a5的等差中项,则an的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6DC-12-考点一考点二考点三考点四-13-等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若 ,求.考点一考点二考点三考点四-14-考点一考点二考点三考点四思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.-15-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练2(2017吉林市模拟)已知数列an中,a1=1,anan+1=,记T2n为an的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列,并求出bn;(2)求T2n.-16-考点一考点二考点三考点四-17-考点一考点二考点三考点四等比数列性质的应用等比数列性质的应用(多考向多考向)考向1等比数列项的性质的应用B A-18-考点一考点二考点三考点四思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?-19-考点一考点二考点三考点四考向2等比数列前n项和的性质的应用例4(1)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32C.63 D.64(2)在公比为正数的等比数列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21 B.42C.135D.170CD-20-考点一考点二考点三考点四解析解析:(1)S2=3,S4=15,由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.(2)解法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.-21-考点一考点二考点三考点四思考本题应用什么性质求解比较简便?解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.-22-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练3(1)(2017广东广州综合测试)已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9=()A.10 B.20C.100D.200(2)(2017江西宜春二模)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=()A.-30 B.40C.40或-30 D.40或-50CB=(a4+a6)2=102=100.(2)由等比数列的性质,知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则(S8-10)2=10(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.-23-考点一考点二考点三考点四等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题例5(2017全国,文17)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.-24-考点一考点二考点三考点四思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.-25-考点一考点二考点三考点四对点训练对点训练4(2017湖南邵阳一模,文17)在等差数列an中,a2=1,a5=4.(1)求数列an的通项公式an;(2)设 ,求数列bn的前n项和Sn.解(1)由题意知,a5-a2=3d=3,d=1,an=n-1(nN*).(2)由(1)得bn=2n-1,数列bn是以1为首项,公比为2的等比数列,-26-考点一考点二考点三考点四1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(1)定义法:(q是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(3)等比中项法:=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.-27-考点一考点二考点三考点四1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.
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