第15章波函数薛定谔方程课件

15.5 德布罗意波德布罗意波 波波-粒二象性粒二象性光光(波波)具有粒子性具有粒子性实物粒子具有波动性实物粒子具有波动性一一 德布罗意波德布罗意波?不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分如电子、原子、分子等子等)也都具有波粒二象性也都具有波粒二象性;具有确定动量具有确定动量 P 和确定能量和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为的实物粒子相当于频率为 和波长为和波长为 的波的波,二者之间的二者之间的关系如同光子和光波的关系一样关系如同光子和光波的关系一样,满足：满足：德布罗意假设：德布罗意假设：这种和实物粒子相联系的波这种和实物粒子相联系的波称为称为 德布罗意波德布罗意波 或或 物质波物质波。1924年年，青年博士研究生德布罗意提出，青年博士研究生德布罗意提出，例：电子在电场里加速所获得的能量例：电子在电场里加速所获得的能量电子的德布罗意波长电子的德布罗意波长德布罗意公式德布罗意公式X射线范围射线范围 电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线在晶射线在晶体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电子具有波动性。体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电子具有波动性。KDUM镍单晶镍单晶BG1 1 戴维孙戴维孙-革末实验（革末实验（19271927）二 德布罗意假设的实验证明德布罗意假设的实验证明电子衍射实验电子衍射实验多晶多晶 铝铝 箔箔 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象2、汤姆逊（、汤姆逊（1927）3、约恩逊（、约恩逊（1960）单缝衍射单缝衍射双缝衍射双缝衍射三缝衍射三缝衍射四缝衍射四缝衍射例题例题 m=0.01kg，V=300m/s的子弹的子弹 极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量，“宏观物体只表现出粒子性宏观物体只表现出粒子性”经典经典粒子粒子 不被分割的整体，有确定不被分割的整体，有确定位置和运动轨道。位置和运动轨道。经典经典的波的波 某种实际的物理量的空间某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性。分布作周期性的变化，波具有相干叠加性。二二 象象 性性 要求将波和粒子两种对立要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上。的属性统一到同一物体上。15.6 15.6 德布罗意波的统计解释德布罗意波的统计解释 单个粒子在何处出现具有偶然性单个粒子在何处出现具有偶然性;大量大量粒子在某处出现的多少具有规律性粒子在某处出现的多少具有规律性.粒子在粒子在各处出现的概率不同各处出现的概率不同.1 1 从从粒子性粒子性方面解释方面解释电子束电子束狭缝狭缝电子的单缝衍射电子的单缝衍射 电子密集处，波的强度大；电子稀电子密集处，波的强度大；电子稀疏处，波的强度小疏处，波的强度小.2 2 从从波动性波动性方面解释方面解释电子束电子束狭缝狭缝电子的单缝衍射电子的单缝衍射 在某处德布罗意波的强度与粒子在该处在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比附近出现的概率成正比.3 3 结论结论(统计解释统计解释)1926 年玻恩提出，年玻恩提出，德布罗意波为德布罗意波为概率波概率波.一、引入一、引入经典力学：经典力学：宏观粒子的运动具有决定性的规律，原宏观粒子的运动具有决定性的规律，原则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏观物体的运动。观物体的运动。微观粒子：微观粒子：由于波动性，粒子以一定的概率在空间由于波动性，粒子以一定的概率在空间出现，即粒子在任一时刻不具有确定的位置。出现，即粒子在任一时刻不具有确定的位置。二、电子单缝衍射二、电子单缝衍射 电子通过单缝位电子通过单缝位置的不确定量置的不确定量:15.6.2 不确定关系不确定关系电子通过单缝后，电子电子通过单缝后，电子要到达屏上不同的点，要到达屏上不同的点，具有具有 x方向动量方向动量 Px，根据单缝衍射公式，其根据单缝衍射公式，其第一级的衍射角满足：第一级的衍射角满足：动量在动量在 Ox轴上的分量的不确定量为轴上的分量的不确定量为:考虑中央明纹区：考虑中央明纹区：pxpy p代入德布罗意关系：代入德布罗意关系：得出：得出：即即考虑到更高级的衍射图样，则应有：考虑到更高级的衍射图样，则应有：上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。示准确的量值关系。1927年德国物理学家海森伯由量子力学得到年德国物理学家海森伯由量子力学得到位置与动量不确定量之间的关系：位置与动量不确定量之间的关系：推广到三维空间，则还应有：推广到三维空间，则还应有：由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写为：简写为：说明：说明：（1）不确定性关系说明，不确定性关系说明，微观粒子不可能同时微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量越。粒子位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然。小，动量的不确定量就越大，反之亦然。（2）不确定关系是由微观粒子的波粒二象性引起不确定关系是由微观粒子的波粒二象性引起的，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的的，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的误差所致。误差所致。海森伯海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，规律的矩阵力学，获获1932年诺贝尔物理奖年诺贝尔物理奖。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。可用经典力学处理。由坐标由坐标动量的不确定关动量的不确定关系还可以推导出相应的能量与时系还可以推导出相应的能量与时间的不确定关系：间的不确定关系：三三.能量和时间的不确定关能量和时间的不确定关系系 E 表示粒子处在某个状态的能量的不确定量，表示粒子处在某个状态的能量的不确定量，即即原子的能级宽度原子的能级宽度，而，而 t 表示粒子处在该能级表示粒子处在该能级E上的上的平均寿命。平均寿命。能级的能级的平均平均寿命寿命 t 越长，能级的宽度越长，能级的宽度 E（能量（能量的不确定量）就越小，辐射产生的谱线宽度就越小，的不确定量）就越小，辐射产生的谱线宽度就越小，单色性就越好，反之亦然。单色性就越好，反之亦然。意味着微观粒子在某一个能态上的能量不可意味着微观粒子在某一个能态上的能量不可能有精确的值，除非它永远停留在这个能态上。能有精确的值，除非它永远停留在这个能态上。反映了原子能级宽度反映了原子能级宽度E 和原子在该能级的平均和原子在该能级的平均寿命寿命 t 之间的关系。之间的关系。基态基态激发态激发态 寿命寿命t光辐射光辐射能级宽度能级宽度平均寿命平均寿命平均寿命平均寿命能级宽度能级宽度E基基态态它能它能解释谱线的自然宽度解释谱线的自然宽度例：例：一颗质量为一颗质量为10g的子弹，以的子弹，以500m/s的速度飞行，的速度飞行，设速度的不确定量为设速度的不确定量为0.1%，问在确定该子弹的位，问在确定该子弹的位置时，有多大的不确定量？置时，有多大的不确定量？解：解：子弹速度的不确定量为子弹速度的不确定量为:子弹的动量的不确定量为子弹的动量的不确定量为:由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定量为由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定量为:这个不确定范围很小，仪器测不出，可见这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观对宏观物体物体来说，来说，不确定关系不确定关系实际上是实际上是不起作用不起作用的。的。解：解：电子横向位置的不确定量电子横向位置的不确定量:由于由于 ，所以电子运动速度相对来说所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的仍然是相当确定的，波动性不起什么实际影响。波动性不起什么实际影响。例例:电视显象管中电子的加速电压为电视显象管中电子的加速电压为kV，电电子枪的枪口的直径为子枪的枪口的直径为0.01。试求电子射出电子枪后。试求电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。的横向速度的不确定量。电子经过加速后出口速度为：电子经过加速后出口速度为：例例:氢原子中电子的速度为氢原子中电子的速度为 106m/s，原子的线度，原子的线度约为约为10-10m，求求:原子中电子速度的不确定量。原子中电子速度的不确定量。由不确定性关系由不确定性关系:与与 在数量级上相当，因此原子中电子就不在数量级上相当，因此原子中电子就不能当作经典粒子处理，即不能用位置和动量来描述能当作经典粒子处理，即不能用位置和动量来描述原子中电子的运动原子中电子的运动。解：解：原子中的电子位置的不确定量原子中的电子位置的不确定量:例：例：某原子的第一激发态的能级宽度为某原子的第一激发态的能级宽度为 E=6 10-8 eV，试估算原子处于第一激发态的寿命试估算原子处于第一激发态的寿命 t。解：解：根据时间与能量的不确定关系，根据时间与能量的不确定关系，对于微观粒子，牛顿方程已不适用。对于微观粒子，牛顿方程已不适用。一一 波函数波函数 一个沿一个沿 x 轴正向传播的频率为轴正向传播的频率为 的平面简谐波的平面简谐波:15.7 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程1 1、一维自由粒子的波函数、一维自由粒子的波函数用指数形式表示：用指数形式表示：波的强度波的强度取复数实部取复数实部微观粒子的运动状态微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程描述微观粒子运动基本方程波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程 对于动量为对于动量为P、能量为、能量为 E 的一维自由微观的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：相当于单色平面波，类比可写成：量子力学中量子力学中一维自由粒子波函数一维自由粒子波函数的一般形式的一般形式这里的这里的 和和 一般都为复数。一般都为复数。2 2、量子力学波函数（复函数）、量子力学波函数（复函数）与光波类比，物质波的强度：与光波类比，物质波的强度：由玻恩的统计解释，由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处出现的概率成正比的。与粒子在该处出现的概率成正比的。是是的共轭复数。的共轭复数。正实数正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子中的粒子的的概率为：概率为：由此可见，由此可见，为粒子在某点附近单位体积内粒子出为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为现的几率，称为几率密度几率密度。即：。即：、波函数的统计解释、波函数的统计解释波波函函数数不不仅仅把把粒粒子子与与波波统统一一起起来来，同同时时以以几几率率幅幅（几几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。波函数波函数(x,y,z,t)的统计解释的统计解释(哥本哈根解释哥本哈根解释)：波函波函数模的平方代表某时刻数模的平方代表某时刻 t 在空间某点在空间某点(x,y,z)附近附近单位体积内发现粒子的概率，即单位体积内发现粒子的概率，即|2 代表概率密度。代表概率密度。波函数的统计意义是波恩于波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。规律。粒子在某一个时刻粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几，在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的单值的、有限的有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是所以波函数还必须是连续的连续的。由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以。所以应有：应有：、波函数应满足的条件、波函数应满足的条件1）标准条件）标准条件2）归一化条件）归一化条件 波函数必须满足波函数必须满足“单值、有限、连续单值、有限、连续”的条件，称的条件，称为波函数的为波函数的标准条件标准条件。也就是说，波函数必须。也就是说，波函数必须连续可连续可微，且一阶导数也连续可微微，且一阶导数也连续可微。这称为波函数的这称为波函数的归一化条件归一化条件。如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为为1，这个过程称为波函数的归一化过程。，这个过程称为波函数的归一化过程。量子力学中的波函数具有一个独特的性质：量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函波函数数 与波函数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是粒为任意常数）所描写的是粒子的同一状态子的同一状态。原原因因：粒粒子子在在空空间间各各点点出出现现的的几几率率只只决决定定于于波波函函数数在在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。如如果果把把波波函函数数在在空空间间各各点点的的振振幅幅同同时时增增大大一一倍倍，并并不不影影响响粒粒子子在在空空间间各各点点的的几几率率。所所以以将将波波函函数数乘乘上上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件有一种符合标准条件符合符合不符合不符合不符合不符合不符合不符合德布罗意波德布罗意波（概率波）（概率波）不同于不同于 经典波经典波（如机械波、电磁波）（如机械波、电磁波）是振动状态的传播是振动状态的传播不代表任何物理量的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。波强的绝对值。能流密度分布取决于空能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。间各点的波强的绝对值。因此，因此，将波函数在空间各点将波函数在空间各点的振幅同时增大的振幅同时增大 C倍，不影响倍，不影响粒子的概率密度分布粒子的概率密度分布，即，即 和和C 所描述德布罗意波的状所描述德布罗意波的状态相同。态相同。因此，将波函数在空间各因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大点的振幅同时增大 C倍，则倍，则个处的能流密度增大个处的能流密度增大 C2 倍，倍，变为另一种能流密度分布状变为另一种能流密度分布状态。态。波动方程无归一化问题。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。波函数存在归一化问题。德布罗意波德布罗意波经经 典典 波波解：解：(1)由归一化条件由归一化条件解得解得(2)粒子的概率密度为粒子的概率密度为粒子在粒子在0到到a/2区域内出现的概率区域内出现的概率(3)概率最大的位置应该满足概率最大的位置应该满足即当即当时，粒子出现的概率最大。因时，粒子出现的概率最大。因为为0 xa，故得，故得x=a/2，此处粒，此处粒子出现的概率最大。子出现的概率最大。例：例：作一维运动的粒子被束缚在作一维运动的粒子被束缚在0 xa的范围内，已知其波函数为：的范围内，已知其波函数为：求：求：(1)常数常数A；(2)粒子在粒子在0到到a/2区域内出现的概率；区域内出现的概率；(3)粒子在粒子在何处出现的概率最大？何处出现的概率最大？二二薛定谔方程的建立薛定谔方程的建立 1、一维自由粒子、一维自由粒子薛定薛定谔谔方程的建立方程的建立薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明一维自由粒子的一维自由粒子的含时薛定谔方程含时薛定谔方程以一维自由粒子为例以一维自由粒子为例2、一维势场、一维势场 中运动粒子中运动粒子薛定薛定谔谔方程方程一维运动粒子含时一维运动粒子含时薛定薛定谔谔方程方程推广到三维情况，推广到三维情况，薛定薛定谔谔方程可写为：方程可写为：拉普拉斯算符：拉普拉斯算符：一般的薛定一般的薛定谔谔方程可写为：方程可写为：薛定薛定谔谔方程是非相对论量子力学的基本动力学方程，方程是非相对论量子力学的基本动力学方程，其地位与经典力学中的牛顿方程相同。其地位与经典力学中的牛顿方程相同。3、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程若势能若势能 U 与与 t 无关，仅是坐标的函数无关，仅是坐标的函数。粒子在空间各处出现的概率粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。不随时间变化的。定态：定态：概率不随时间变化的状态概率不随时间变化的状态1）定态）定态2 2）定态薛定谔方程）定态薛定谔方程定态波函数可写成定态波函数可写成：根据：根据：一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程定态薛定定态薛定薛薛方程方程 15.8 一一维维无限深无限深势阱中的粒子势阱中的粒子BA金属表面1 势阱势阱2 一维无限深势阱一维无限深势阱0 0 x a0ax金属中自由电子的势能曲线U 与与t 无关，写出定态定谔方程无关，写出定态定谔方程1 2 3 1=0 3=00ax1 势阱外势阱外E 为有限值，所以为有限值，所以2 势阱内势阱内（1）解方程）解方程令令:（2）确定常数）确定常数 A、势阱无限深势阱无限深 阱外无粒子阱外无粒子 (x)=0 （x 0 x a）由波函数由波函数连续性连续性，边界条件边界条件：(0)=0 (a)=0 =0ka=nAsin=0Asinka=0n=1，2，3，n=0?n=1，2，3，一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。其中其中n -被称为被称为量子数量子数。由归一化条件确定系数由归一化条件确定系数A归一化条件为：归一化条件为：（0 x a）(x)=0 （x 0 x a）ka=n（0 x a）（x a)考虑考虑时间因子时间因子（0 x a）（x a)n=1n=2n=30 x0 x一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度 例题例题 求在一维无限深势阱中粒子概率密度的求在一维无限深势阱中粒子概率密度的 最大值的位置最大值的位置.解解:一维无限深势阱中粒子的概率密度为一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对将上式对x求导一次，并令它等于零求导一次，并令它等于零只有只有于是于是由此解得最大值得位置为由此解得最大值得位置为例如例如 最大值位置最大值位置最大值位置最大值位置最大值位置最大值位置可见，概率密度最大值的数目和量子数可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。相等。（0 x a）