2023年专题集训三角函数三角恒等式与解三角形

学习必备 欢迎下载 专题集训（三角函数、三角恒等式与解三角形）1已知函数23cossin3 cos34fxxxx，xR.（）求 f x的最小正周期；（）求 f x在闭区间,44 上的最大值和最小值.2 已知函数()3sin()(0,)22f xx 的图像关于直线3x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若32()()2463f，求3cos()2的值.3设ABC的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.（）求 a 的值；（）求4sinA的值.学习必备 欢迎下载 4在ABC中，已知2233AB ACABACBC，求角 A，B，C 的大小。5.如图，在ABC中，8,3ABB，点D在BC边上，且71cos,2ADCCD （1）求BADsin （2）求ACBD,的长 6.某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；()103cossin,0,24)1212f ttt t（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？7.在ABC中，内角 A，B，C的对边 a，b，c，且ac，已知2BA BC，1cos3B，3b，求：（1）a 和 c 的值；（2）cos()BC的值.且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 8如图 5，在平面四边形ABCD中，1,2,7ADCDAC（）求cosCAD的值；（）若721cos,sin146BADCBA，求 BC的长。9.已知函数()sin()cos(2)f xxax，其中,(,)2 2aR（1）当2,4a时，求()f x在区间0,上的最大值与最小值；(2)若()0,()12ff，求,a的值.10已知向量(,cos 2)amx，(sin 2,)bx n，设函数()f xa b，且()yf x的图象过点(,3)12和点2(,2)3.（）求,m n的值；（）将()yf x的图象向左平移（0 ）个单位后得到函数()yg x的图象.若()yg x的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求()yg x的单调增区间 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 11.在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）上 （1）若0PAPBPC，求|OP；（2）设(,)OPmABnAC m nR，用yx,表示nm，并求nm 的最大值 12已知函数()sin(3)4f xx。（1）求()f x的单调递增区间；（2）若是第二象限角，4()cos()cos 2354f，求cossin的值。13.在ABC中，内 角,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c，已 知ab，3c，22coscos3sincos3sincosABAABB（1）求角C的大小（2）若4sin5A，求ABC的面积 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 1已知函数 23cossin3cos34f xxxx，xR.（）求 f x的最小正周期；（）求 f x在闭区间,44 上的最大值和最小值.解：（）由已知，有()2133cossincos3cos224f xxxxx骣=诅+-+桫 2133sincoscos224xxx=?+()133sin21cos2444xx=-+13sin2cos244xx=-1sin 223xp骣=-桫.所以，()f x的最小正周期22Tpp=.（）解：因为()f x在区间,412pp轾犏-犏臌上是减函数，在区间,12 4pp轾犏-犏臌上是增函数.144fp骣-=-桫，1122fp骣-=-桫，144fp骣=桫.所以，函数()f x在闭区间,4 4p p轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.2 已知函数()3sin()(0,)22f xx 的图像关于直线3x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（I）求和的值；（II）若32()()2463f，求3cos()2的值.解：（）因()f x的图像上相邻两个最高点的距离为，所以()f x的最小正周期且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 T，从而22T；又因()f x的图像关于直线3x对称，所以 2,0,1,2,.32kk 因为22 ，得0k，所以2236 （）由（）得3()3sin(2)2264f 所以1sin()64 由263 得062 ，所以22115cos()1 sin()1()6644 因此3cos()sin2 sin()66 sin()coscos()sin6666 1315 14242 3158 3设ABC的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.（）求 a 的值；（）求4sinA的值.解：（）因为2AB，所以sinsin 22sincosABBB 由正、余弦定理得22222acbabac 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 因为3,1bc，所以212,2 3aa（）由余弦定理得2229 1 121cos263bcaAbc 由于0A，所以212 2sin1 cos193AA 故2 221242sin()sincoscossin()44432326AAA 4在ABC中，已知2233AB ACABACBC，求角 A，B，C 的大小。解：设,BCa ACb ABc 由23AB ACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A 又(0,),A因此6A 由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA 所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此 22sincos2 3sin3,sin 23cos 20CCCCC，既sin(2)03C 由 A=6知506C，所以3，4233C，从而 20,3C 或2,3C，既,6C或2,3C故 2,636ABC或2,663ABC。5.（本小题 13 分）如图，在ABC中，8,3ABB，点D在BC边上，且71cos,2ADCCD （1）求BADsin （2）求ACBD,的长 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 解：（）在ADC中，因为1cos7ADC，所以4 3sin7ADC 所以sinsin()BADADCB sincoscossinADCBADCB 4 31133 3727214 （）在ABD中，由正弦定理得 3 38sin143sin4 37ABBADBDADB 在ABC中，由余弦定理得 2222cosACABBCAB BCB 221852 8 5492 所以7AC 6.某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；()103cossin,0,24)1212f ttt t（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？解：（）因为31()102(cossin)102sin()212212123f tttt，又024t，所以7,1sin()131233123tt 当2t 时，sin()1123t；当14t 时，sin()1123t 于是()f t在0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8 故实验室这一天最高温度为 12，最低温度为 8，最大温差为 4。（）依题意，当()11f t 时实验室需要降温 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 由（）得()102sin()123f tt，故有102sin()11123t，即1sin()1232t 又024t，因此71161236t，即1018t 在 10 时至 18 时实验室需要降温 9.在ABC中，内角 A，B，C的对边 a，b，c，且ac，已知2BA BC，1cos3B，3b，求：（1）a 和 c 的值；（2）cos()BC的值.解：（）由2BA BC得cos2c aB，又1cos3B，所以6ac，由余弦定理，得2222cosacbacB 又3b，所以2292 213ac 解22613acac，得2,3ac或3,2ac 因为ac，所以3,2ac（）在ABC中，2212 2sin1cos1()33BB 由正弦定理，得2 2 24 2sinsin339cCBb 因abc，所以 C为锐角，因此224 27cos1 sin1()99CC 于是 cos()coscossinsinBCBCBC 1 72 2 4 2233 93927 7如图 5，在平面四边形ABCD中，1,2,7ADCDAC 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载（）求cosCAD的值；（）若721cos,sin146BADCBA，求 BC的长 解：（1）在ADC中，由余弦定理可得 2227 1 42 7cos272 7ACADCDCADAC AD（2）设BAC，则BADCAD 因为2 7cos7CAD，7cos14BAD 所以222 721sin1 cos177CADCAD 2273 21sin1 cos11414BADBAD 于是sinsin()BADCAD sincoscossinBADCADBADCAD 3 212 7721147147 32 在ABC中，由正弦定理，得sinsinBCACCBA 故37sin23sin216ACBCCBA 8.已知函数()sin()cos(2)f xxax，其中,(,)2 2aR（1）当2,4a时，求()f x在区间0,上的最大值与最小值；(2)若()0,()12ff，求,a的值.16.（本小题满分 12 分）且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 解：（1）()sin()2cos()44f xxx 2(sincos)2sin2xxx 22cossin22xx sin()4x 因为0,x，从而3,444x 故()f x在0,上的最大值为22，最小值为-1（2）由()02()1ff得2cos(12 sin)02 sinsin1 ，又(,)2 2知cos0 解得16 （10）已知向量(,cos 2)amx，(sin 2,)bx n，设函数()f xa b，且()yf x的图象过点(,3)12和点2(,2)3.（）求,m n的值；（）将()yf x的图象向左平移（0 ）个单位后得到函数()yg x的图象.若()yg x的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求()yg x的单调增区间.解：（）由题意知()sin 2cos 2f xa bmxnx 因为()yf x的图像过点(,3)12和2(,2)3 所以3sincos66442sincos33mnmn 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 即1332231222mmn 解得3,1mn（）由（）知()3sin2cos 22sin(2)6f xxxx 由题意知()()2sin(22)6g xf xx 设()yg x的图像上符合题意的最高点为0(,2)x，由题意知2011x，所以00 x 即到点（0，3）的距离为 1 的最高点为（0，2）将其代入()yg x得sin(2)16 因为0 ，所以6 因此()2sin(2)2cos 22g xxx 由222,kxkk Z，得,2kxkk Z 所以，函数()yg x的单调递增区间为,2kkkZ 11.在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）上 （1）若0PAPBPC，求|OP；（2）设(,)OPmABnAC m nR，用yx,表示nm，并求nm 的最大值 解：（）由题意(1,1),(2,3),(3,2),(,)ABCP x y，(1,1)(2,3)(3,2)(0,0)PAPBPCxyxyxy 所以1230,1320,xxxyyy 解得2,2,xy 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 所以22|2 2OPxy（）因为OPmABnAC，所以(,)(1,2)(2,1)x ymn，即2,2,xmnymn，两式相减，得mnyx ，令yxt，由图知，当直线yxt 过点(2,3)B时，t取得最大值 1，故mn的最大值为 1 12已知函数()sin(3)4f xx。（1）求()f x的单调递增区间；（2）若是第二象限角，4()cos()cos 2354f，求cossin的值。解：（1）由232242kxk 2234312kkx 所以()f x的单调递增区间为22,34312kk （kZ）（2）由4()cos()cos 2354f4sin()cos()cos 2454 因为cos 2sin(2)sin2()2sin()cos()2444 所以28sin()cos()sin()4544 又是第二象限角，所以sin()04或25cos()48 由3sin()022444kk （kZ）所以33cossincossin244 由25515cos()cos()(cossin)4842 222 2 所以5cossin2 综上，cossin2 或5cossin2 13.在ABC中，内 角,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c，已 知ab，3c，且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必学习必备 欢迎下载 22coscos3sincos3sincosABAABB（1）求角C的大小（2）若4sin5A，求ABC的面积（）解：由题意得1cos 21cos 233sin 2sin 22222ABAB 即3cos 23cos 2sin2sin22222ABAB sin(2)sin(2)66AB 由ab，得AB，又(0,)AB，得2266AB 即23AB 所以3C（）解：由43,sin,5 sinsinaccAAC，得85a 由ac，得AC，从而3cos5A，故 sinsin()BA C sincoscossinACAC 43 310 所以，ABC的面积为18 318sin225SacB 且求的值求的值学习必备欢迎下载在中已知求角的大小如图在中求点在在中内角的对边且已知求和的值的值学习必备欢迎下载如图在平面四边的图象的图象上各最高点到点的距离的最小值为求的单调增区间学习必