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1.1.2 导数的概念 在高台跳水运动中 ,平均 速度不能反映他在这段 时间里运动状态，需要 用瞬时速度描述运动状 态。我们把物体在某一 时刻的速度称为 瞬时速 度 . 又如何求 瞬时速度呢 ? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 105.69.4)( 2 ttth 求：从 2s到 (2+ t)s这段时间内平均速度 t t hth t h v 9.41.13 )2()2( t0时 , 在 2, 2 + t 这段 时间内 1.139.4 tv 1.139.4 tv 051.13v当 t = 0.01时 , 149.13v当 t = 0.01时 , 0 9 5 1.13v当 t = 0.001时 , 1 0 4 9.13v当 t =0.001时 , 0 9 9 5 1.13v当 t = 0.0001时 , 1 0 0 4 9.13v当 t =0.0001时 , 0 9 9 9 5 1.13v t = 0.00001, 1 0 0 0 4 9.13v t = 0.00001, 0 9 9 9 9 5 1.13v t = 0.000001, 1 0 0 0 0 4 9.13v t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 105.69.4)( 2 ttth 当 t 趋近于 0时 , 即无论 t 从小于 2的一边 , 还是从大于 2的 一边趋近于 2时 , 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 1.13 )2()2(lim 0 t hth t 从物理的角度看 , 时间间隔 | t |无限变小时 , 平均速度 就 无限趋近于 t = 2时的瞬时速度 . 因此 , 运动员在 t = 2 时的瞬时速 度是 13.1. v 表示“当 t =2, t趋近于 0时 , 平均速度 趋近于确定值 13.1” . v 从 2s到 (2+ t)s这段时间内平均速度 tthv 9.41.13 探 究 : 1.运动员在某一时刻 t 0 的瞬时速度怎样表示 ? 2.函数 f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示 ? 5.68.9 )5.68.99.4(lim )5.68.9()(9.4 lim )()( lim 0 0 0 0 2 0 00 0 t tt t ttt t thtth t t t 定义 : 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 00 00 ( ) ( ) l im l im xx f x x f x y xx 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的 导数 , 记作 . )()(lim)( 00 00 x xfxxfxf x )( 0 xf 或 , 即 0| xxy 。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与 000 )(.1 xxxf 的具体取值无关。与 xxf )(.2 0 一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3 定义 : 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 00 00 ( ) ( ) l im l im xx f x x f x y xx 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的 导数 , 记作 . )()(lim)( 00 00 x xfxxfxf x )( 0 xf 或 , 即 0| xxy 由导数的定义可知 , 求函数 y = f (x)的导数的 一般方法 : 1. 求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值 00( ) ( ) ;y f x x f x 00( ) ( ) ;f x x f xy xx x yxf x 00 lim)( 题 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要 对原油进行冷却和加热 . 如果第 x h时 , 原油的温度 (单位 : )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第 2h和第 6h, 原油温度的瞬时变 化率 , 并说明它们的意义 . C 解 : 在第 2h和第 6h时 , 原油温度的瞬时变化率就是 )2(f ).6(f 和 x fxf )2()2( 根据导数的定义 , 37)(4 2 xx xxx 所以 , 00 ( 2) l im l im ( 3 ) 3. xx yfx x 同理可得 .5)6( f 在第 2h和第 6h时 , 原油温度的瞬时变化率分别为 3和 5. 它说明在 第 2h附近 , 原油温度大约以 3 / h的速率下降 ; 在第 6h附近 ,原油温度大 约以 5 / h的速率上升 . C C 应用： 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要对原油进行冷却和加热 . 如果第 x h时 , 原油的温度 (单位 : ) 为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第 2h和第 6h, 原油温度的瞬 时变化率 , 并说明它们的意义 . C 练习 : 计算第 3h和第 5h时原油的瞬时变化率 , 并说明它们的 意义 . 练习： 2 .已知 ,y x y 求
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