二元函数的极限与连续

第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 经济数学基础（ II） 主 讲 人： 张慧鑫 联系方式： wzfei_ 13880404475 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 第 6章：多元函数微分学 内容提要 6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1 空间直角坐标系简介 6.1.2 曲面与方程 6.1.3 二元函数 6.1.4 二元函数的极限与连续 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1 二元函数的极限与连续 一元函数： 含有一个自变量的函数。 许多实际问题中，一个函数往往依赖于多个自变量。 )( xfy 例如： 某种商品的市场需求量 与 其市场价格有关 消费者的收入有关 这种商品的其它代用品的价格等因素有关 即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个，要全面研 究这类问题，就需要引入 多元函数 的概念。 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.1 空间直角坐标系简介 一元函数： 引入了平面直角坐标系 平面上的点 有序实数对 (x, y) 平面上的曲线 方程 F(x,y)=0 二元函数： 引入了空间直角坐标系 过空间中一点 O， 分别作三条互相垂 直的数轴 Ox， Oy， Oz， 规定 O为原点， 三条数轴为三个坐标轴，分别记为 x轴 （横）、 y轴（纵）和 z轴（立）。 x o y z 一、空间解析几何简介 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.1 空间直角坐标系简介 三个坐标轴的正方向 , 遵循 右手系法则 O y轴 (纵轴 ) z轴 (立轴 ) (坐标 )原点 x轴 (横轴 ) x 1 y 1 z 1 拇指方向 四指转向 右手规则 即 :将右手伸直，拇指向上 的方向为 Oz轴的正向。四 指的指向为 Ox轴正向，四 指弯曲 90 后的指向为 Oy 轴的正向。 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.1 空间直角坐标系简介 三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面 坐标平面 x轴及 y轴确定的平面 xy平面； x轴及 z轴确定的平面 xz平面； y轴及 z轴确定的平面 yz平面。 x yo z xy 面 yz 面 zx 面 三个坐标面把空间 分成八个部分 ， 每一 部分叫做一个 卦限 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.1 空间直角坐标系简介 二、空间一点的坐标 设 M为空间一已知点过点 M 作三个平面分别垂直于 x轴 y 轴和 z轴，三个平面在 x轴、 y轴和 z轴的交点依次为 P、 Q、 R， O x y z P R x z y M Q 在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的坐标依 次为 x、 y、 z， 我们称这组数为点 M 的坐标，并把 x、 y、 z分别称为点 M 的横坐标、纵坐标、立坐标 坐标为 x、 y、 z 的点 M 记为： M(x， y， z) 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.1 空间直角坐标系简介 三、空间两点间的距离 x y z o 1M P N Q R 2M 2 2 22 12 NMPNPMd ),(),( 22221111 zyxMzyxM设 为空间两点 , 21 NMM 在直角 PNM 1及直角 中 , 由勾股定理有 : 求 21MM 121 xxPM 12 yyPN 122 zzNM 21221221221 zzyyxxMM 特殊地：若两点分别为 ,),( zyxM )0,0,0(O OMd .222 zyx 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.1 空间直角坐标系简介 三、空间两点间的距离 例题 1： 求空间一点 (2,4,-1)到坐标轴 ox的距离 . 解： 点 (2,4,-1)到 x轴的距离 ,显然即为 点 (0,4,-1)到原点 (0,0,0)的距离 , y )1,4,2( o x z A )1,4,0( 17)1(4 22 d 于是其距离为 : 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.2 曲面与方程 定义 6.1 如果曲面 S上任意一点 的坐标都满足方程 F(x, y, z)=0， 而不在曲面 S上的点的坐标都不 满足方程 F(x, y, z)=0，则方程 F(x, y, z)=0称为曲面 S的方程， 而曲面 S称为方程 F(x, y, z)=0所 对应的图形。 o x y z S 0),( zyxF 在平面解析几何中，坐标平面上的一条 曲线与方程 F （ x， y） =0相对应；在空间直角坐标系中，可建立 空间曲 面与含有三个变量的方程 F (x， y， z） =0的对应关系。 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.2 曲面与方程 解： RMM | 0根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020 Rzzyyxx 所求方程为： 特殊地：球心在原点时方程为： 2222 Rzyx 设一个球面的球心为 M0（ x0， y0， z0)，半径为 R， 求此球面的方程。 例题 2 球面上任意一点，),(设 是 zyxM 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.2 曲面与方程 解： 设平面上的任意一点为 M (x， y， z），则点 M到 xy平面的距离为 c 取任意实数yx cz czcz 和所求平面方程为： 思考： byax , 求与坐标平面 xy距离恒等于 c（ c 0）的平面方程。 例题 3 x yo z c -c cz cz 分别表示什么样的平面？ 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.3 二 元函数 定义 6.2 设 D是平面上的一个非空点集， f是一个对应法则， 如果对于每个点（ x， y） D，都可由对应法则 f得到惟一的 实数 z与之对应，则称 z是变量 x， y的二元函数，记为： z = f（ x， y） 变量 x， y称为 自变量 ， z称为 因变量 ，集合 D称为函数 f（ x， y） 的 定义域 ，对应的函数集合 称为该函数的 值域 。 ),(,),(| DyxyxfzzZ 注 1: 该定义可推广到三元以上的函数情形； 注 2: 二元及以上的函数统称为多元函数 ,可见二元函数是多 元函数中最简单的 ,又因二元函数与其它多元函数有极类似的 性质 ,故我们研究二元函数即可 . 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.3 二 元函数 例题 4 求函数 的定义域 ,并画出其所表示的 平面区域 . yxz 解： 要使该函数有意义 , 须有 y x 0 则其定义域为 yxyxD ,0),( 其所表示的图形见右图所示 x y o D 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.3 二 元函数 例题 5 求函数 的定义域 ,并画出其所 表示的平面区域 . 114 22 yxz 解： 要使该函数有意义 , 须有 01 04 2 2 y x 则其定义域为 11,22),( yxyxD 其所表示的图形见右图所示 y xo 2 2 1 1 D 1 2 y x即 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.3 二 元函数 解 要使该函数有意义 , 须有 01 01 01 22 22 yx yx yx 例题 6 求函数 的定义域 ,并画出所表示的平 面区域 . 1 )1ln ( 22 yx yxz 1 1 22 yx yx即 1,1),( 22 yxyxyxD 所以该函数的定义域为 x D 1 1 o 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.3 二 元函数 由上述几例可见 ,二元函数 定义域是平面上的区域 , 区域往往是由一条或几条曲线围成的 ,围成区域的曲线称 为 区域的边界 ,包含边界在内的区域称为 闭区域 （ 例 4、 5） ,不含边界在内的区域称为 开区域 （ 例 6） ， 包含部分 边界的区域称为 半开区域 （ 课本例 5） 。 如果一个区域可以全部包含在一个以圆点为圆心 ,以 适当大的正数为半径的圆内的话 ,则称该区域为 有界区域 （ 例 5） ,否则称为 无界区域 （ 例 4、 6） . 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.4 二 元函数的极限与连续 平面上的邻域 为以后研究方便 ,现引入 邻域 的概念 0,)()(),( 22020 yyxxyx ),( 00 yxU y xo ),( 00 yx 设 为平面上一点 ， 以 为圆心 ， 为半径的 开圆域： ),( 00 yx ),( 00 yx 称为点 的 邻域。 ),( 00 yx 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.4 二 元函数的极限与连续 定义 6.3 如果函数 z = f（ x， y） 在点 （ x0， y0） 的某一领域内有 定义 （ 在 （ x0， y0） 点处可除外 ） ， 当点 （ x， y） 以任意方式 趋近于点 （ x0， y0） 时 ， 对应的函数值 f（ x， y） 就无限趋近于 一个常数 A， 则称当 （ x， y） 趋于 （ x0， y0） 时 ， 函数 f（ x， y） 以 A为极限 ， 记作： Ayxfyxyx ),(lim ),(),( 00 注： 虽二元函数与一元函数极限定义非常相似，但它们有很大的 区别。在一元函数极限中， 不外乎只有两种方式，即 和 ，当这两个极限只要都存在且相等时的极限就存在。 0 xx 0 xx 0 xx 0 x 0 xx 0 xx 0 xx x x 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.4 二 元函数的极限与连续 注： 在二元函数极限中，由于点 由于点 和 均是 平面 上的点，点 趋向于点 会有无数多条路线，因此 ,只有 ),( yx ),( 00 yx ),( yx ),( 00 yx o x y ),( 00 yx ),( yx ),(),( 00 yxyx 当这无数多条路线的极限均 存在且都相等时，二元函数 的极限才存在。可见二元函 数极限比一元函数的极限要 复杂的多。 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.4 二 元函数的极限与连续 定义 6.4 如果函数 满足 （ 1）在点 的某一邻域内有定义； （ 2）极限 存在； （ 3） 则称函数 在点 处 连续 ,否则称 在 点处 不连续或 间断 ，点 称为该函数的 间断点 。 ),(lim ),(),( 00 yxfyxyx ),(),(lim 00),(),( 00 yxfyxfyxyx ),( yxf ),( yxf ),( yxf ),( 00 yx ),( 00 yx ),( 00 yx ),( 00 yx 类似于一元函数 ， 如果二元函数在区域上的每一个 点处都连续 ， 则说二元函数在区域上连续 。 第 6章 多元函数微分学 四川教育学院 土木与交通工程学院 6.1.4 二 元函数的极限与连续 二元函数连续性概念与一元函数类似 ， 且具有类似的性质： 1. 在区域 D内连续的二元函数的图形 是空间一个连续 曲面； 2. 二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连 续函数； 3. 定义在有界闭区域 D上的连续函数 f（ x， y） 一定可 以在 D上取得最大值和最小值。