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第 21讲 矩形、菱形、正方形 考点一 矩形的性质和判定 矩形的定 义 有一个角是 直角 的平行四边形 叫做矩形 矩形的 性质 ( 1) 矩形具有平行四边形所有的性质； ( 2) 矩形的四个角都是 直角 ，对角线互 相平分且 相等 ； ( 3) 矩形既是轴对称图形 ， 又是中心对称 图形它有两条对称轴 ， 它的对称中心 就是 对角线的交点 矩形的 判定 ( 1) 定义法； ( 2) 有三个角是直角的四边形是矩形； ( 3) 对角线相等 的平行四边形是矩形 考点二 菱形的性质和判定 菱形的 定义 有一组 邻边相等 的平行四边形叫 做菱形 菱形的 性质 ( 1) 菱形具有平行四边形所有的性质； ( 2) 菱形的四 条边 相等 ， 对角线互相 垂直 平分 ， 并且每条对角线平分一组对角； ( 3) 菱形既是轴对称图形 ， 又是中心对称图 形两条对角线所在的直线是它的对称轴 ， 它的对称中心就是 对角线的交点 ； ( 4) 菱形的面积等于对角线乘积的 一半 菱形的 判定 ( 1) 定义法； ( 2) 四 条边 相等 的四边形是菱形； ( 3) 对角线 互相垂直 的平行四边形 是 菱形 考点三 正方形的性质和判定 正方形 的定义 有一组邻边 相等 ， 并且有一 个角是 直角 的平行四边形叫 做正方形 正方形 的性质 ( 1) 正方形的四条边 相等 ， 四个角都 是 直角 ， 对角线互相 垂直平分 且 相等 ， 并且每一条对角线平分一组 对角 ， 具有矩形和菱形的所有性质； ( 2) 正方形既是轴对称 图形又是中 心 对称图形 ， 有 四 条对称轴 ， 对称中 心是对角线的交点 正方形 的判定 ( 1) 有一组邻边相等的 矩形 是 正方形； ( 2) 有一个角是直角的 菱形 是 正方形； ( 3) 对角线 互相垂直平分且相等 的四边形是正方形 温馨提示： 1 正方形的判定： ( 1 )先证明四边形是矩形 ， 再证 明有一组邻边相等或对角线垂直； ( 2) 先证明四边形是 菱形 ， 再证明有一个角是直角或对角线相等 2 矩形的面积： S ab ( a ， b 表示长和宽 )；菱形 的面积等于边长与高的乘积或两条对角线乘积 的一 半；正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一 半 考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 考点一 矩形的性质与判定 例 1 ( 2 0 1 6 台州 )如图 ， 点 P 在矩形 ABCD 的对 角线 AC 上 ， 且不与点 A ， C 重合 ， 过点 P 分别作边 AB ， AD 的平行线 ， 交两组对边于点 E ， F 和 G ， H . ( 1) 求证： P H C CFP ； ( 2) 证明四边形 P E D H 和四边形 P F B G 都是矩形 ， 并直接写出它们面积之间的关系 【点拨】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的 判定与性质以及平行线的性质 ( 1) 证明： 四边形 ABCD 为矩形 ， AB CD ， AD B C PF AB ， P F CD ， C P F P C H . PH AD ， PH BC ， P C F C P H . 在 P H C 和 CFP 中 ， C P F P C H ， PC CP ， P C F C P H ， P H C CFP ( A S A ) ( 2 ) 证明： 四边形 ABCD 为矩形 ， D B 90 . 又 EF AB CD ， GH AD BC ， 四边形 P E D H 和四边形 P F B G 都是矩形 解： S 矩形 PE D H S 矩形 P FB G . 证明如下： EF AB ， C P F CA B 在 Rt A G P 中 ， A G P 90 ， PG AG t an CA B 在 Rt CFP 中 ， CFP 90 ， CF PF t an C P F . S 矩形 P ED H DE EP CF EP PF EP t an C P F ， S 矩形 P FB G PG PF AG PF t an CAB EP PF t an CA B t an C P F t a n CAB ， S 矩形 P ED H S 矩形 P FB G . 方法总结： 矩形是特殊的平行四边形 ， 证明矩形的常用方法 就是先证明四边形是平行四边形 ， 然后证明有一个角 是直角或对角线相等 考点二 菱形的性质与判定 例 2 ( 20 16 聊城 ) 如图，在 Rt ABC 中， B 90 ，点 E 是 AC 的中点， AC 2 AB ， BAC 的平分线 AD 交 BC 于 点 D ，作 AF BC ，连接 DE 并 延长交 AF 于点 F ，连接 F C 求 证：四边形 A D C F 是菱形 【点拨】 先证明 AEF CED ， 推出四边形 A D C F 是平行四边形 ， 再证明 AED ABD ， 推出 DF AC ， 由此即可证明 证明： AF CD ， AFE C D E ， 在 AFE 和 C D E 中 ， AFE C D E ， AEF CED ， AE CE ， AEF CE D AF C D AF CD ， 四边形 A D C F 是 平行四边形 由题 意知， AE AB ， EAD BAD ， AD AD ， AED AB D AED B 90 ， 即 DF A C 四边形 A D C F 是菱形 方法总结： 对于菱形的判定 ， 若可证出四边形为平行四边形 ， 则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边 较多 ， 则可证四条边都相等 考点三 正方形的性质与判定 例 3 ( 2 0 1 6 威海 ) 如图，在 ABC 和 BCD 中， BAC BCD 90 ， AB AC ， CB CD 延长 CA 至点 E ，使 AE AC ；延长 CB 至点 F ，使 BF BC 连 接 AD ， AF ， DF ， EF ；延长 DB 交 EF 于点 N . ( 1) 求证： AD AF ； ( 2) 求证： BD EF ； ( 3) 试判断四边形 AB N E 的形状 ， 并说明理由 【点拨】 ( 1) 要想证明 AD AF ， 只需要根据条件 证明 ABF ACD 即可； ( 2) 首先根据 ( 1 ) 中 ABF ACD 得出 F A B D A C ， 然后结合已知 条件证明 AEF ABD ， 即可得出结论； ( 3) 根据有 三个角是直角的四边形是矩形 ， 证明四边形 AB N E 是 矩形 ， 再结合一组邻边 AE AB ， 即可得出结论 ( 1) 证明： AB AC ， BAC 90 ， ABC ACB 45 ， ABF 135 . BCD 90 ， ACD 135 ， ABF AC D CB CD ， CB BF ， BF C D 在 ABF 和 ACD 中 ， AB AC ， ABF ACD ， BF CD ， ABF ACD ( S A S ) ， AD AF . ( 2) 证明： 由 ( 1) 知 ， AF AD ， ABF ACD ， F A B DA C BAC 90 ， EAB BAC 90 ， EAF BA D AB AC ， AC AE ， AB AE . 在 AEF 和 ABD 中 ， AE AB ， EAF BAD ， AF A D AEF ABD ( S A S ) ， BD EF . ( 3) 解： 四边形 AB N E 是正方形 理由： CD CB ， BCD 90 ， CBD 45 . ABC 45 ， ABD 90 ， ABN 90 . 由 ( 2) 知 ， EAB 90 ， AEF ABD ， AEF ABD 90 ， 四边形 AB N E 是矩形 又 AE AB ， 矩形 AB N E 是正方形 方法总结： 1 正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形 ， 具有矩 形和菱形的所有性质 2 证明一个四边形是正方形 ， 可以先判定为矩形 ， 再证邻边相等或对角线互相垂直；也可以先判定为菱 形 ， 再证有一个角是直角或对角线相等 1 ( 20 16 海南 ) 如图，矩形 ABCD 的顶点 A ， C 分 别在直线 a ， b 上，且 a b ， 1 60 ，则 2 的度数 为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 【解析】 如图 ， 连接 A C AC 为矩形 ABCD 的 对角线 ， BAC DC A 又 a b ， 1 BAC D C A 2. 1 60 ， 2 1 60 .故选 C 【答案】 C 2 ( 201 6 河南 ) 如图，已知菱形 O A B C 的顶点 O (0 ， 0) ， B (2 ， 2) ，若菱形绕点 O 逆 时针旋转，每秒旋转 45 ，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为 ( ) A (1 ， 1) B ( 1 ， 1) C ( 2 ， 0 ) D (0 ， 2 ) 【解析】 由题意得点 D 的坐标为 (1 ， 1) 菱形 O A B C 每秒旋转 45 ， 60 秒旋转的角度为 45 60 2 70 0 ， 而 2 70 0 36 0 7. 5 ， 因此菱形 O A B C 绕点 O 旋转了 7 周半 ， 终止位置与原位置关于原点 O 成中心 对称 ， 根据成中心对称的点的坐标特征可求得旋转终 止位置时点 D 的坐标为 ( 1 ， 1) ， 故选 B 【答案】 B 3. 如图 ， E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 ， 且 BE BC ， P 为 CE 上任意一点 ， PQ BC 于点 Q ， PR BE 于点 R ， 则 PQ PR 的值是 ( D ) A 2 3 B 1 2 C 3 2 D 2 2 4 ( 20 16 天津 ) 如图，把一张 矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折 叠，点 B 的对应点为 B ， AB 与 DC 相交于点 E ，则下列结论一定 正确的是 ( ) A D A B CAB B ACD B CD C AD AE D AE CE 【解析】 四边形 ABCD 是矩形 ， DC AB ， D C A CA B AB C 由 ABC 翻折得到 ， ABC AB C ， CAB CAB ， CAB D C A ， AE CE .故选 D 【答案】 D 5 如图 ， 顺次连接菱形 ABCD 的各边中点 E ， F ， G ， H .若 AC a ， BD b ， 则四边形 E F G H 的面积是 1 4 ab 6 如图，在四边形 ABCD 中， AB 6 ， ABC 90 ，点 E 在 CD 上，连接 AE ， BE ， D A E 75 ， 若四边形 ABED 是菱形，则 EC 的长度为 3 3 7 如图 ， 已知点 D 在 ABC 的 BC 边上 ， DE AC 交 AB 于点 E ， DF AB 交 AC 于点 F . ( 1) 证明： AE DF ； ( 2) 若 AD 平分 BAC ， 试 判断四边形 A E D F 的形 状 ， 并说明理由 ( 1 ) 证明： DE AC ， DF AB ， 四边形 A E D F 是平行四边形 AE DF . ( 2) 解： 若 AD 平分 BAC ， 四边形 A E D F 是菱形理 由如下： AD 平分 BAC ， EAD D A F . 又 AB DF ， EAD A D F . D A F A D F . AF DF . 又 四边形 A E D F 是平行四边形 ， 四边形 A E D F 是菱形 一、选择题 ( 每小题 4 分，共 40 分 ) 1 ( 2016 无锡 ) 下列性质中，菱形具有而矩形不一 定具有的是 ( C ) A 对角线相等 B 对角线互相平分 C 对角线互相垂直 D 邻边互相垂直 2 ( 2016 舟山 ) 如图，矩形 ABCD 中， AD 2 ， AB 3 ，过点 A ， C 作相距为 2 的平行线段 AE ， CF ，分 别交 CD ， AB 于点 E ， F ，则 DE 的长是 ( ) 【导学号 90280226 】 A 5 B 13 6 C 1 D 5 6 【解析】 如图 ， 过点 F 作 FH AE 于点 H ， 则 FH 2 ， 四边形 ABCD 是矩形 ， AB CD AE CF ， 四边形 AECF 是平行四边形 ， AF CE ， DE BF ， AF 3 DE ， AE AD 2 DE 2 4 DE 2 . F H A D D A F 90 ， AFH H A F D A E H A F 90 ， D A E A F H .又 AD H F , A D E F H A ( A S A ) ， AE AF ， 4 DE 2 3 DE ， DE 5 6 . 故选 D 【答案】 D 3 ( 2016 荆门 ) 如图，在 矩形 ABCD 中 ( AD AB ) ， 点 E 是 BC 上一点，且 DE DA ， AF DE ，垂足为点 F . 在下列结论中，不一定正确的是 ( ) 【导学号 902802 27 】 A AFD D C E B AF 1 2 AD C AB AF D BE AD DF 【解析】 由矩形 ABCD ， AF DE 可得 C AFD 90 . AD BC ， A D F DE C 又 DE AD ， AFD D C E ( AAS ) ， 故选项 A 正确； A D F 不一定等于 30 ， 直角三角形 A D F 中 ， AF 不一定等于 AD 的一半 ， 故选项 B 错误；由 AFD D C E ， 可得 AF CD ， 由矩形 ABCD ， 可 得 AB CD ， AB AF ， 故选项 C 正确； 由 AFD D C E ，可得 CE DF ， 由矩形 ABCD ， 可得 BC AD ， BE BC CE AD DF ， 故选项 D 正确故选 B 【答案】 B 4 ( 2016 扬州 ) 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB 4 ， BC 6. 将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三角形，所有 剪法中剩余部分面积的最小值是 ( ) 【导学号 90280228 】 A 6 B 3 C 2. 5 D 2 【解析】 如图 ， 以 BC 为边作等腰直角三角形 EBC ， 延长 BE 交 AD 于点 F ， 得 ABF 是等腰直 角三角形 ， 作 EG CD 于点 G ， 得 E G C 是等腰直角 三角形 ， 在矩形 ABCD 中剪去 ABF ， BCE ， ECG 得到四 边形 E F D G ， 由等腰直角三角形的性质易得 EC BE 3 2 ， EG CG 3 ， 此时剩余部分面积的最小值 4 6 1 2 4 4 1 2 3 6 1 2 3 3 2 . 5 . 故选 C 【答案】 C 5 如图，在菱形 ABCD 中， AB 8 ，点 E ， F 分别 在 AB ， AD 上，且 AE AF ， 过点 E 作 EG AD 交 CD 于 点 G ，过点 F 作 FH AB 交 BC 于点 H ， EG 与 FH 交 于点 O . 当四边形 A E O F 与四边形 C G O H 的周长之差 为 12 时， AE 的值为 ( ) A 6. 5 B 6 C 5. 5 D 5 【解析】 设 AE x ， 则 EB 8 x. 四边形 ABCD 是菱形 ， EG AD ， FH AB ， 四边形 A E O F 和四边 形 O H C G 都是菱形 四边形 A E O F 与四边形 C G O H 的周长之差为 12 ， 4 x 4( 8 x ) 12 ， 解得 x 5 . 5 . 故选 C 【答案】 C 6 如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C 上，若 AB 6 ， BC 9 ，则 BF 的长为 ( ) A 4 B 3 2 C 4. 5 D 5 【解析】 设 BF x ， 则 C F CF 9 x ， C 是 AB 的中点 ， AB 6 ， BC 3 . 在 Rt BFC 中 ， BF 2 C B 2 C F 2 ， x 2 3 2 (9 x ) 2 ， 解得 x 4 .故选 A 【答案】 A 7 ( 2016 淄博 ) 如图，正方形 ABCD 的边长为 10 ， AG CH 8 ， BG DH 6 ，连接 GH ，则线段 GH 的 长为 ( ) 【导学号 90280229 】 A 8 3 5 B 2 2 C 14 5 D 10 5 2 【解析】 如图 ， 延长 BG 交 CH 于点 E , 在 ABG 和 C D H 中 ， AB CD 10 ， AG CH 8 ， BG DH 6 ， ABG C D H ( S S S ) , AG 2 BG 2 AB 2 ， 1 5 ， 2 6 ， A G B C H D 90 ， 1 2 90 ， 5 6 90 . 又 2 3 90 ， 4 5 90 ， 1 3 5 ， 2 4 6 . 在 ABG 和 BCE 中 ， 1 3 ， AB BC ， 2 4 ， ABG BCE ( A S A ) ， BE AG 8 ， CE BG 6 ， BEC A G B 9 0 ， GE BE BG 8 6 2 , 同理可得 HE 2 .在 Rt G HE 中 ， GH = GE 2 HE 2 2 2 2 2 2 2 . 故选 B 【答案】 B 8 ( 2016 郴州 ) 如图，在正方形 ABCD 中， ABE 和 C D F 为直角三角形， AEB CFD 90 ， AE CF 5 ， BE DF 12 ，则 EF 的长是 ( ) 【导学号 90280230 】 A 7 B 8 C 7 2 D 7 3 【解析】 四边形 ABCD 是正方形 ， BAD ABC BCD A D C 90 ， AB BC CD A D 在 ABE 和 C D F 中 ， AB CD ， AE CF ， BE DF ， ABE C D F ( SSS ) ， ABE C D F . BAD 90 ， BAE D A G 90 . AEB CFD 90 ， ABE BAE 90 ， ABE D A G C D F . 同理可得 ABE D A G C D F BCH ， D A G A D G C D F A D G 90 ， 即 DGA 90 ， 同理可得 C H B 90 . 在 ABE 和 D A G 中 ABE D A G ， AEB DGA 90 ， AB DA ， ABE D A G ( AAS ) ， AE DG ， BE AG ， 同理可得 AE BH ， BE CH ， 即 AE DG CF BH 5 ， BE AG DF CH 12 ， EG GF FH EF 12 5 7 . G E H 180 90 90 ， 四边形 E G F H 是正方形 ， EF 2 EG 7 2 . 故选 C 【答案】 C 9 小明在学 习了正方形之后，给同桌小文出了道 题，从下列四个条件： AB BC ； A B C 90 ； AC BD ； AC BD 中，选两个作为补充条件，使 ABCD 成为正方形 ( 如图 ) ，现有下列四种选法，你认 为其中错误的是 ( ) A B C D 【解析】 要 使 ABCD 成为正方形 ， 即 “ 在 ABCD 的基础上 ， 需要再同时具备矩形和菱形的特征 ” 是 菱形的特征； 是矩形 的特征； 是矩形的特征； 是菱形的特征而 B 中都是矩形的特征故选 B 【答案】 B 10 如图，矩形 ABCD 中， AB 8 ， BC 4 ，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，点 G ， H 在对角线 AC 上若 四边形 E G F H 是菱形，则 AE 的长是 ( ) 【导学号 90280231 】 A 2 5 B 3 5 C 5 D 6 【解析】 如图 ， 连接 EF 交 AC 于点 O ， 根据菱 形性质 ， 得 FE AC ， OG OH ， 易证 OA O C 由矩 形 ABCD ， 得 B 90 . 根据勾股定理 ， 得 AC 4 2 8 2 4 5 ， OA 2 5 .易 证 A O E ABC ， 进而可得 OA AB AE AC ， 即 2 5 8 AE 4 5 ， AE 5 .故选 C 【答案】 C 二、填空题 ( 每小题 4 分，共 16 分 ) 11 ( 2016 巴中 ) 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE BD ，连接 AE ，如果 A D B 30 ， 则 E 【解析】 如图 ， 连接 AC ， 四边形 ABCD 是矩形 ， AD BE ， AC BD ， 且 A D B CAD 30 ， E D A E . 又 BD CE ， CE CA ， E CAE. CAD CAE D A E 30 ， E E 30 ， 即 E 15 . 【答案】 15 12 ( 2016 扬州 ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 为 AD 的中点，若 OE 3 ，则菱形 A B C D 的周长为 【解析】 四边形 ABCD 为菱形 ， AC BD ， AB BC CD DA ， A O D 为直角三角形 OE 3 ， 且点 E 为线段 AD 的中点 ， AD 2 OE 6 ， C 菱形 A BC D 4 AD 4 6 24 . 【答案】 24 13 ( 2016 天津 ) 如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， N ， P ， G 分别在边 AB ， BC ， CD ， DA 上，点 M ， F ， Q 都在对角线 BD 上，且四边形 M N P Q 和 AEFG 均为 正方形，则 S 正方形 MN P Q S 正方形 AEFG 的值等于 【导学号 90280232 】 【解析】 在正方形 ABCD 中 ， ABD CBD 45 ， 四边形 M N P Q 和 AEFG 均为正方形 ， BEF AEF 90 ， B M N Q M N 90 ， BEF 与 B M N 是等腰直角三角形 ， FE BE AE 1 2 AB ， BM MN Q M . 同理 DQ MQ ， MN 1 3 BD 2 3 AB ， S 正方形 MN P Q S 正方形 AEFG 2 3 AB 2 1 2 AB 2 8 9 . 【答案】 8 9 14 ( 2016 襄阳 ) 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 2 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 是 OC 的中点，连接 BE ，过点 A 作 AM BE 于点 M ，交 BD 于点 F ，则 FM 的长为 【导学号 90280233 】 【解析】 在正方形 ABCD 中 ， AO BO ， A O F B O E 90 . AM BE ， AFO BFM ， F A O EBO ， AFO BEO ( A S A ) ， FO E O . 正方形 ABCD 的边长为 2 2 ， E 是 OC 的 中点 ， FO EO 1 BF ， BO 2 ， 直角三角形 B O E 中 ， BE 1 2 2 2 5 .由 FBM EBO ， F M B E O B ， 可得 BFM BEO ， FM EO BF BE ， 即 FM 1 1 5 ， FM 5 5 . 【答案】 5 5 三、解答题 ( 共 44 分 ) 15 ( 10 分 ) 在 ABCD 中，过点 D 作 DE AB 于 点 E ，点 F 在边 CD 上， DF BE ，连接 AF ， BF . ( 1 ) 求证：四边形 B F D E 是矩形； 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形 ， AB C D BE DF ， BE DF ， 四边形 B F D E 是平行四边形 DE AB ， D E B 90 . 四边形 B F D E 是矩形 ( 2 ) 若 CF 3 ， BF 4 ， DF 5 ，求证： AF 平分 DA B 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形 ， AB DC ， AD BC D F A FA B 在 Rt BCF 中 ， 由勾股定理 ， 得 BC FC 2 FB 2 3 2 4 2 5 ， AD BC DF 5 ， D A F D F A ， D A F F A B ， 即 AF 平分 D A B 16 ( 10 分 ) 如图 ， ABC 中 ， ACB 90 ， D ， E 分别是 BC ， BA 的中点 ， 连接 DE ， F 在 DE 的延长线上 ， 且 AF AE .【导学号 90280234 】 ( 1 ) 求证：四边形 ACEF 是平行四边形； 证明： 如图 ， ACB 90 ， E 是 BA 的中点 ， CE AE BE. AF AE ， AF CE. 在 BEC 中 ， BE CE 且 D 是 BC 的中点 ， ED 是等腰 BEC 底边上的中 线和顶角平分线 ， 1 2 . AF AE ， F 3 . 1 3 ， 2 F ， CE A F .又 CE AF ， 四边形 ACEF 是平行四边 形 ( 2 ) 若四边形 ACEF 是菱形，求 B 的度数 解： 四边形 ACEF 是菱形 ， AC CE. 由 ( 1 ) 知 ， AE CE ， AC CE AE ， AEC 是等边三角形 ， CAE 60 ， 在 Rt ABC 中 ， B 90 CAE 90 6 0 30 . 17 ( 12 分 ) ( 2016 德州 ) 我们给出如下定义：顺次 连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四 边形 【导学号 90280235 】 ( 1 ) 如图 1 ，四边形 ABCD 中，点 E ， F ， G ， H 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点求证：中点四边形 E F G H 是平行 四边形； ( 2 ) 如图 2 ，点 P 是四边形 ABCD 内一点，且满足 PA PB ， PC PD ， A PB C PD ，点 E ， F ， G ， H 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，猜想中点四边形 E F G H 的形状，并证明你的 猜想； ( 1 ) 证明： 如图 ， 连接 B D 点 E ， H 分别为边 AB ， AD 的中点 ， EH BD ， EH 1 2 B D 点 F ， G 分别为边 BC ， CD 的中点 ， FG BD ， FG 1 2 B D EH FG ， EH F G . 中点四边形 E F G H 是平 行四边形 ( 2 ) 解： 四边形 E F G H 是菱形 如图 ， 连接 AC ， B D A P B CP D A P B A P D C P D AP D 即 A P C BP D 又 PA PB ， PD P C A P C BP D ( S A S ) AC B D 点 E ， F ， G 分别为边 AB ， BC ， CD 的中点 ， EF 1 2 AC ， FG 1 2 B D EF F G .又 四边形 E F G H 是平行四边 形 ， 中点四边形 E F G H 是菱形 ( 3 ) 若改变 ( 2 ) 中的条件，使 A P B C P D 90 ， 其他条件不变，直接写出中点四边形 E F G H 的形 状 ( 不必证明 ) 解： 四边形 E F G H 是正方形证明如下： 如图 ， AC 与 BD 相交于点 O ， 由 ( 2) 得四边 形 E F G H 是菱形 ， 由 A P C B P D ， 得 ACP B D P ， 进 而可得 C O D C P D 90 ， 由 EH BD ， AC HG 可得 E H G 90 ， 则四边形 E F G H 是正方形 18 ( 12 分 ) ( 2016 枣庄 ) 如图，把 EFP 放置在菱 形 ABCD 中，使得顶点 E ， F ， P 分别在线段 AB ， AD ， AC 上， EP FP 6 ， EF 6 3 ， BAD 60 ， AB 6 3 . 【导学号 90280236 】 ( 1 ) 求 E P F 的大小； 解： 如图 ， 过点 P 作 PG EF 于点 G. PE PF 6 ， PG EF ， FG EG 1 2 EF 3 3 ， F P G E P G 1 2 E P F . 在 Rt F P G 中 ， s i n F P G FG PF 3 3 6 3 2 . F P G 60 ， E P F 2 F P G 120 . ( 2 ) 若 AP 10 ，求 AE AF ； 证明： 如图 ， 作 PM AB 于 M ， PN AD 于 N. AC 为菱形 ABCD 的对角线 ， D A C BAC ， AM AN ， PM P N . 在 Rt P M E 和 Rt P N F 中 ， PM P N ， PE PF ， Rt P M E Rt P N F . ME N F . 又 AP 10 ， P A M 1 2 D A B 30 ， AM A N A P c o s 30 10 3 2 5 3 . AE AF ( AM ME ) ( AN NF ) AM AN 10 3 . ( 3 ) 若 EFP 的三个顶点 E ， F ， P 分别在线段 AB ， AD ， AC 上运动，请直接写出 AP 长的最大值和最小值 证明： 如图 ， 当 EFP 的三 个顶点 E ， F ， P 分别在线段 AB ， AD ， AC 上运动时 ， 点 P 在 P 1 ， P 2 之间运动 ， 易知 P 1 O P 2 O 3 ， AO 9 ， AP 的最大值为 12 ， AP 的最小值为 6 .
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