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浦东新区 2014 学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.2.本试卷共有23 道试题，满分150 分，考试时间120 分钟.一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分.1不等式32x的解为.2设i是虚数单位，复数)1)(3(iia是实数，则实数a.3已知一个关于yx,的二元一次方程组的增广矩阵为112012，则xy.4已知数列na的前n项和nnSn2，则该数列的通项公式na.5已知21nxx展开式中二项式系数之和为1024，则含2x项的系数为.6已知直线0243yx与圆2221ryx相切，则该圆的半径大小为.7在极坐标系中，已知圆sin2r（0r）上的任意一点),(M与点),2(N之间的最小距离为1，则r.8若对任意Rx，不等式0sin22sin2mxx恒成立，则m的取值范围是.9已知球的表面积为642cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，则截面与球心的距离是cm.10已知随机变量分别取 1、2 和 3，其中概率)1(p与)3(p相等，且方差13D，则概率)2(p的值为.11 若函数223()4f xxx的零 点,1,ma aa为 整数.则所 有满 足 条件a的 值为.12若正项数列na是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项ka的值都大于从2ka开始的各项和，则公比q的取值范围是.13等比数列na的首项1a，公比q是关于x的方程2(1)2(21)0txxt的实数解，若数列na有且只有一个，则实数t的取值集合为.14给定函数()f x和()g x，若存在实常数,k b，使得函数()f x和()g x对其公共定义域D上的任何实数x分别满足()f xkxb和()g xkxb，则称直线:lykxb为函数()f x和()g x的“隔离直线”.给出下列四组函数；xxgxfxsin)(,121)(；xxgxxf1)(,)(3；xxgxxxflg)(,1)(；xxgxfx)(,212)(其中函数()f x和()g x存在“隔离直线”的序号是.二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得5分，否则一律得零分.15已知,a b都是实数,那么“0ab”是“11ab”的（）)(A充分不必要条件)(B必要不充分条件)(C充分必要条件)(D既不充分也不必要条件16平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为（）)(A平行)(B相交)(C平行或重合)(D平行或相交17若直线30axby与圆223xy没有公共点，设点P的坐标(,)a b，则过点P的一条直线与椭圆22143xy的公共点的个数为()(A0)(B1)(C2)(D1 或 2 18如图，若正方体12341234PP P PQ Q Q Q的棱长为1，设jiTSQPx11，,jijiQPTS，（4,3,2,1,ji），对于下列命题：当ijiiSTPQ时，1x；当0 x时，,i j有 12 种不同取值；当1x时，,i j有 16 种不同的取值；x的值仅为1,0,1.其中正确的命题是（）)(A)(B)(C)(D三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤19（本题共有2 个小题，满分 12 分）；第（1）小题满分6 分，第（2）小题满分6 分.已知函数(),(0),afxxxax为实数.（1）当1a时，判断函数()yfx在1,上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数()yf x的最小值.P1P2P3P4Q1Q2Q3Q420（本题共有2 个小题，满分14 分）；共有 2 个小题，第（1）小题满分7 分，第（2）小题满分 7 分.如图，在四棱锥ABCDP中，底面正方形ABCD的边长为2，PA底面ABCD,E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为22arctan（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离21（本题共有2 个小题，满分 14 分）；第（1）小题满分6 分，第（2）小题满分8 分.一颗人造地球卫星在地球表面上空1630 千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2 小时绕地球旋转一周.将地球近似为一个球体，半径为6370 千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A，12:03 时卫星通过C点.（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03 时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1 千米）；（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1 分）.P A B C D OACA22（本题共有 3 个小题，满分 16 分）；第（1）小题满分4 分，第（2）小题满分6 分，第（3）小题满分6 分.已知直线l与圆锥曲线C相交于,A B两点，与x轴、y轴分别交于D、E两点，且满足ADEA1、BDEB2.（1）已知直线l的方程为42xy，抛物线C的方程为xy42，求21的值；（2）已知直线l：1myx（1m），椭圆C：1222yx，求2111的取值范围；（3）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab，22212ba，试问D是否为定点？若是，求出D点坐标；若不是，说明理由.23（本题共有 3 个小题，满分 18 分）；第（1）小题满分4 分，第（2）小题满分6 分，第（3）小题满分8 分.记无穷数列na的前n项12,na aa的最大项为nA，第n项之后的各项12,nnaa的最小项为nB，令nnnbAB（1）若数列na的通项公式为2276nann，写出12bb、，并求数列nb的通项公式；（2）若数列nb的通项公式为12nbn，判断1nnaa是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若nb为公差大于零的等差数列，求证：1nnaa是等差数列.浦东新区 2014 学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.2.本试卷共有23 道试题，满分150 分，考试时间120 分钟.一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分.1不等式32x的解为3log 2x.2设i是虚数单位，复数)1)(3(iia是实数，则实数a3.3已知一个关于yx,的二元一次方程组的增广矩阵为112012，则xy2.4已知数列na的前n项和nnSn2，则该数列的通项公式nan2.5已知21nxx展开式中二项式系数之和为1024，则含2x项的系数为210.6已知直线0243yx与圆2221ryx相切，则该圆的半径大小为1.7在极坐标系中，已知圆sin2r（0r）上的任意一点),(M与点),2(N之间的最小距离为1，则r23.8 若对任意Rx，不等式0sin22sin2mxx恒成立，则m的取值范围是),21(.9已知球的表面积为642cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，则截面与球心的距离是2 3cm.10已知随机变量分别取 1、2 和 3，其中概率)1(p与)3(p相等，且方差13D，则概率)2(p的值为23.11若函数223()4fxxx的零点,1,ma aa为整数.则所有满足条件a的值为1或2.12若正项数列na是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项ka的值都大于从2ka开始的各项和，则公比q的取值范围是51(0,)2.13等比数列na的首项1a，公比q是关于x的方程2(1)2(21)0txxt的实数解，若数列na有且只有一个，则实数t的取值集合为130,1,22.14给定函数()f x和()g x，若存在实常数,k b，使得函数()f x和()g x对其公共定义域D上的任何实数x分别满足()f xkxb和()g xkxb，则称直线:lykxb为函数()f x和()g x的“隔离直线”.给出下列四组函数；xxgxfxsin)(,121)(；xxgxxf1)(,)(3；xxgxxxflg)(,1)(；xxgxfx)(,212)(其中函数()f x和()g x存在“隔离直线”的序号是.二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得5分，否则一律得零分.15已知,a b都是实数,那么“0ab”是“11ab”的（A）)(A充分不必要条件)(B必要不充分条件)(C充分必要条件)(D既不充分也不必要条件16平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为（D ）)(A平行)(B相交)(C平行或重合)(D平行或相交17若直线30axby与圆223xy没有公共点，设点P的坐标(,)a b，则过点P的一条直线与椭圆22143xy的公共点的个数为(C)(A0)(B1)(C2)(D1 或 2 18如图，若正方体12341234PP P PQ Q Q Q的棱长为1，设jiTSQPx11，,jijiQPTS，（4,3,2,1,ji），对于下列命题：当ijiiSTPQ时，1x；当0 x时，,i j有 12 种不同取值；当1x时，,i j有 16 种不同的取值；x的值仅为1,0,1.其中正确的命题是（C）)(A)(B)(C)(D三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤19（本题共有2 个小题，满分 12 分）；第（1）小题满分6 分，第（2）小题满分6 分.已知函数(),(0),afxxxax为实数.（1）当1a时，判断函数()yfx在1,上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数()yf x的最小值.解：（1）由条件：1()f xxx在1,上单调递增.2 分任取12,1,x x且12xx1212121212111()()()(1)f xf xxxxxxxx x4 分211xx，121210,10 xxx xP1P2P3P4Q1Q2Q3Q412()()f xfx结论成立6 分（2）当0a时，()yf x的最小值不存在；7 分当0a时，()yf x的最小值为0；9 分当0a时，()2ayf xxax，当且仅当xa时，()yf x的最小值为2 a；12 分20（本题共有2 个小题，满分14 分）；共有 2 个小题，第（1）小题满分7 分，第（2）小题满分 7 分.如图，在四棱锥ABCDP中，底面正方形ABCD的边长为2，PA底面ABCD,E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为22arctan（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离解：方法,（1）因为底面ABCD为边长为2的正方形，PA底面ABCD,则CDAPAADPACDADCD平面PAD，所以CPD就是CP与平面PAD所成的角2 分在CDPRt中，由22tanPDCDCPD，得22PD，3 分在PADRt中，2PA分别取AD、PA的中点M、N，联结MC、NC、MN，则NMC异面直线AE与PD所成角或补角 4 分在MNC中，2MN，5MC，3NC，由余弦定理得，22225310cos102 25NMC，所以10arccos10NMC，6 分即异面直线AE与PD所成角的大小为1010arccos 7 分P A B C D P A B C D E M N（2）设点B到平面PCD的距离为h，因为BCDPPCDBVV，9 分所以，11113232CD PD hBC CD PA，得2h14 分方法，（1）如图所示，建立空间直角坐标系，同方法，得2PA，3 分则有关点的坐标分别为0,0,0A，2,1,0E，0,2,0D，2,0,0P5 分所以2,1,0AE，2,2,0PD设为异面直线AE与PD所成角，则101085202102cos，所以，1010arccos，即异面直线AE与PD所成角的大小为1010arccos7 分（2）因为2,2,0PD，0,0,2CD，0,2,0BC，设wvun,，则由wvuuCDnwvPDn002022，11 分可得1,1,0n，所以222n BCdn14 分21（本题共有2 个小题，满分 14 分）；第（1）小题满分6 分，第（2）小题满分8 分.一颗人造地球卫星在地球表面上空1630 千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2 小时绕地球旋转一周.将地球近似为一个球体，半径为6370 千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A，12:03 时卫星通过C点.（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）OACAP A B C D E x y z（1）求人造卫星在12:03 时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1 千米）；（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1 分）.解：（1）设人造卫星在12:03 时位于C点处，AOC，33609120，2 分在ACO中，222=6370+8000-263708000cos93911704.327AC,1977.803AC（千米），5 分即在下午12:03 时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978 千米.6 分（2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则90CAO，sin9sin(90)19788000，8000sin(90)sin90.63271978，9 分即cos0.6327，50 45，11 分即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为50 45.12 分22（本题共有 3 个小题，满分 16 分）；第（1）小题满分4 分，第（2）小题满分6 分，第（3）小题满分6 分.已知直线l与圆锥曲线C相交于,A B两点，与x轴、y轴分别交于D、E两点，且满足ADEA1、BDEB2.（1）已知直线l的方程为42xy，抛物线C的方程为xy42，求21的值；（2）已知直线l：1myx（1m），椭圆C：1222yx，求2111的取值范围；（3）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab，22212ba，试问D是否为定点？若是，求出D点坐标；若不是，说明理由.解：（1）将42xy，代入xy42，求得点2,1A，4,4B，又因为0,2D，4,0E，2 分由ADEA1得到，2,12,11112,，11，同理由BDEB2得，22所以21=1.4 分（2）联立方程组：022122yxmyx得012222myym，21,22221221myymmyy，又点mED1,0,0,1，由ADEA1得到1111ymy，11111ym，同理由BDEB2得到2221ymy，22111ym，21=4212)(122121mmyyyym，即214，6 分21214111214442421,8 分因为1m，所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知0,221，所以2,1121.10 分（3）假设在x轴上存在定点)0,(tD，则直线l的方程为tmyx，代入方程12222byax得到:0222222222batmtybyamb22222221222221,2ambbatyyambmtbyy,2221211atmtyy (1)而由ADEA1、BDEB2得到：2121112)(yymt (2)22212ba (3)12 分由（1）（2）（3）得到：2222222baatmtmt，22bat，所以点)0,(22baD，14 分当直线l与x轴重合时，ata1，ata2，或者ata1，ata2，都有222222122baata也满足要求，所以在x轴上存在定点)0,(22baD.16 分23（本题共有 3 个小题，满分 18 分）；第（1）小题满分4 分，第（2）小题满分6 分，第（3）小题满分8 分.记无穷数列na的前n项12,na aa的最大项为nA，第n项之后的各项12,nnaa的最小项为nB，令nnnbAB（1）若数列na的通项公式为2276nann，写出12bb、，并求数列nb的通项公式；（2）若数列nb的通项公式为12nbn，判断1nnaa是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若nb为公差大于零的等差数列，求证：1nnaa是等差数列.解：（1）因为数列na从第 2 项起单调递增，1231,0,3aaa，所以112101baa；213132baa；2 分当3n时，154nnnbaan2,254,13nnbnnn或4 分（2）数列nb的通项公式为12nbn，nb递减且0nb.由定义知，1,nnnnAaBa6 分10nnnnnbABaa1nnaa，数列na递增，即121nnaaaa 8 分21112111()()()()()nnnnnnnnnnnnaaaaaaaabbbb1 2122nn10 分（3）先证数列na递增，利用反证法证明如下：假设ka是na中第一个使1nnaa的项，1221kkkaaaaa，12 分111,kkkkkAAaBB111()()kkkkkkbbABAB1110kkkkkkAABBBB与数列nb是公差大于0 的等差数列矛盾.故数列na递增.14 分已证数列na递增，即12naaa，nnAa；1nnBa，16 分设若nb的公差为b，则2111211111()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaABABbbbbb故1nnaa是等差数列.18 分
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