高考数学专题命题形式变化及真假判定

第1炼命题形式变化及真假判定一、基础知识：（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若P，则0”的形式，则（1）否命题：“若或，则F ”（2）逆命题：“若0，则p ”（3）逆否命题：“若-0，则-P ”2、p v 0，p 0（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为pv0（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p A 03、命题的否定-p :命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的 命题也有不同的方法（1） 一些常用词的“否定”：是一不是全是一不全是至少一个一都没有至多n个一至少n +1个小于一大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时p,0均变为-p,-q :p 或 0 一 p 且-0p 且 0 一 p 或-0（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：p : Vx eM,pG）Tp : 3x eM，p（x）存在性命题：p : 3x e M,p（x）Tp : Vx eM, p（x）规律为：两变一不变 两变：量词对应发生变化（V3 ），条件p （x ）要进行否定np （x ） 一不变：x所属的原集合M的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题 中，真假性也存在一定的关联。1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真 假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、p v q ， p a q，如下列真值表所示:pqp或q真真真真假真假真真假假假pqp且q真真真真假假假真假假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、或：与命题p真假相反。4、全称命题：真：要证明每一个M中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在M举出一个使命题成立的元素即可假：要证明M中所有的元素均不能使命题成立二、典型例题例1：命题“若方程ax2 - bx + c = 0的两根均大于0，则ac 0 ”的逆否命题是（）A. “若ac 0，则方程ax2 - bx + c = 0的两根均大于0 ”B. “若方程ax2 - bx + c = 0的两根均不大于0，则ac 0 ”C. “若ac 0，则方程ax2 - bx + c = 0的两根均不大于0 ”D. “若ac 0 ”的对立面是“ ac 0 ”，“均大于0 ”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确答案：D例2：命题“存在x g Z,x2 + 2x + m 0b.不存在 x g Z,x2 + 2x + m 0C.对任意 x g Z,x2 + 2x + m 0思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化x2 + 2 x + m 0，但x所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意x g Z, x 2 + 2 x + m 0 ”答案：D例3：给出下列三个结论（1）若命题P为假命题，命题q为假命题，则命题“ P v q ”为假命题（2）命题“若xy = 0，则x = 0或y = 0 ”的否命题为“若xy丰0,则x牛0或y丰0 ”（3） 命题“ Vx g R,2x 0 ”的否定是“ 3x g R,2x 0 ”，则以上结论正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0思路：（1）中要判断p v q的真假，则需要判断p, q各自的真值情况，q为假命题，则q为 真命题，所以p,q 一假一真，p v q为真命题，（1）错误（2）“若，则”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“ x = 0或y = 0 ”的否定应该为“ x丰0且y丰0 ”，所以（2）错误（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且x的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确综上只有（3）是正确的答案：C例4 :有下列四个命题 “若x + y = 0，则x,y互为相反数”的逆命题 “全等三角形的面积相等”的否命题 “若q 1，则x2 + 2x + q = 0有实根”的逆否命题 “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为（）A.B.C.D.思路：中的逆命题为“若x,y互为相反数，则x + y = 0 ”，为真命题。中的否命题为“如 果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等，为假命题（同底等高即可）。中若 要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。q 0，故方程 有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。中的逆命题为“如果一个三 角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，正确答案：C小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑 其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解例5：下列命题中正确的是（）A. 命题“女e R，使得x2 -1 0 ”的否定是“ Vx e R，均有x2 -1 0 ”，B选 型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D 选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相 同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误答案：B例6：如果命题“ p且q”是假命题，Jq ”也是假命题，则（）A.命题“或或q ”是假命题B.命题“ p或q ”是假命题C.命题“或且q ”是真命题D.命题“ p且q ”是真命题思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的 真假，再根据真值表进行判断。题目中以q为入手点，可得q是真命题，而因为p且q是假 命题，所以p只能是假命题。进而p是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判 断是正确的答案：C例7：已知命题p :若x J，则x J，则x2 J2，在命题p a q ；p v q :p A（q）；q （p）v q中，真命题是（）A.B.C.D.思路：可先判断出p,q的真假，从而确定出复合命题的情况。命题p符合不等式性质，正确，而q命题是错的。所以是假的，是真的，中，因为成为假，F为真，所以正确，不正确。综上可确定选项D正确答案：D例8：下列4个命题中，其中的真命题是（）Pi/一 (1 (1 :女 6(0, +8- log x23P3(一 、(1 :Vx e(0, +8),-2 log xi2p : Vx e 0,(1V2V27 log x，23所以p正确;(i V27p3通过作图可发现图像中有一部分二x log xi2所以p3错误；在p4中，(i V 所以- i log x，pV 2 7 i 43L i (i V (i、。 一 (i、一可得当 x e 0,三时，-log | 三=i，V 3 7V2 7V2 73： V3 7正确。综上可得：% 4正确答案：D小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进 行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定 （2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中p ,p ,p运用的数形结合，而p通过选择中间量判断。 i234例 9：已知命题 p : 3x0 e R, mx2 + i 0，若 p v q 为假命题，则实数m的取值范围是（）A, -2 m 2B. m 2 C. m 2思路：因为p v q为假命题，所以可得p, q均为假命题。则p, -q为真命题。p : Vx e R,mx2 + 1 0;-q : 3x e R,x2 + mx +1 0;q : 3x g R, x2 + mx +1 0mx 2 +1 0 n m x 2当 x g R 时，一上 0x2对于q: 3x g R,x2 + mx +1 0，解得：m 2 或 m 2小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假 命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉 的形式以便于求解例10：设命题P :函数f (x) = lg (x2 4x + a2 )的定义域为R ；命题q : Vm g 1,1，不等式a2 5a 3 m2 + 8恒成立，如果命题“p v q ”为真命题，且“p q ”为假命题，求 实数a的取值范围思路：由“p v q ”为真命题可得p,q至少有一个为真，由“p a q ”为假命题可得p,q至少 有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明p, q是一真一假。所以分为p假q真与p真q假 进行讨论即可解：丁命题“p v q ”为真命题，且“ p a q ”为假命题p, q 一真一假若p假q真，则p :函数f (x) = lg (x2 4x + a2)的定义域不为R/.A = 16 4a2 0 n2 a ；m2 + 8 恒成立 ./ a2 5a 3 Cm 2 + g) = 3max， a2 5a 6 Z 0 a V 1 或 a Z 62 V a V 1若p真q假，则p :函数f (x) = lg(x2 4x + a2)的定义域为R/.A = 16 4a2 0 n a 2q: 3m g 1,1，不等式 a2 5a 3 ： m2 + 8/. a2 5a 3 （m2 + 8= 3 解得1 a 6max/. 2 a x2，则下列命题中为真命题的是（）A. p A qB, p A qC. p qD. p q2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述： 若pvq为真命题，则paq为真命题 “ x 5 ”是“ x2 4x 5 0 ”的充分不必要条件 命题 p : 3x g R，使得 x2 + x 1 0命题：“若x2 3x + 2 = 0，则x = 1或x = 2 ”的逆否命题为：“若x丰1或x丰2，则x2 3x + 2 牛 0 ”其中错误命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 43、（ 2014成都七中三月模拟，4 ）已知命题p : 3x g R,2 一 x e，命题q : V a g R + ,log （a 2 +1） 0，则（）A.命题p vq是假命题B.命题p aq是真命题C.命题p v q是假命题D,命题p A q是真命题4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“ 3x g R，使得2x2 + （a 1）x + 1 V 0 ”是假命题，则实数的取值范围是()A, (-8,-1)B, (-3,+3)C, (-1,3)D, (-3,1)5、(2014新课标全国卷I)不等式组：K + :的解集记为D，有下面四个命题:I x - 2 j -2p : V(x, j)e D,x + 2j 2p : 3(x, j)e D,x + 2j -1C. p , pD. p , p1413习题答案：1、答案：C 解析：分别判断p, q真假，令f (x) = ln x + x 一 2，可得f (1)f(2) 0的解为x 5或x v-1，由命题所对应的集合关系可判断出正确;存 在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故正确；“ x = 1或x = 2 ”的否定 应为“ x。1且x。2 ”，故错误，所以选择B3、答案：B解析：对于p :当x v 0时，2 - x ex，故p正确；对于q :因为a2 +1 0，所以当a e(0,1) 时，log (a2 + 1)v 0，故q错误，结合选项可知p a-i q是真命题4、答案：C解析：命题的否定为：“ Vx e R，使得2x2 + (a -1) x + 0 ”，此为真命题，所以转为恒成 立问题，利用二次函数图像可得：A = (a -1)2 - 4 v 0，解得a e(1,3)5、答案：C解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线 二x + 2y = -2,x + 2y = 2,x + 2y = 3,x + 2y =-1，观察图像可、弋、-IO4 5 x知：阴影部分恒在x + 2y = -2的上方，所以p 1成立；且阴影区域中有在x + 2y -1中的点，所以p成立，综上可得：p ,p正确414