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学习目标：学习目标：（一）知识与技能要求（一）知识与技能要求能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释 （二）过程与方法要求（二）过程与方法要求 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征体的基本数字特征 （三）情感态度与价值观要求（三）情感态度与价值观要求 体会统计对决策的作用，提高学习统计知识的兴体会统计对决策的作用，提高学习统计知识的兴趣趣 重点与难点：重点与难点：重点：重点：1、实例理解样本标准差的意义和作用、实例理解样本标准差的意义和作用 2、学会计算数据的标准差；、学会计算数据的标准差；难点：难点：1、理解样本标准差的意义和作用、理解样本标准差的意义和作用 2、形成对数据处理过程进行初步评价的意、形成对数据处理过程进行初步评价的意识识 众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数数字特征之一：数字特征之一：一、众数、中位数、平均数的概念一、众数、中位数、平均数的概念 中位数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数平均数）叫做这组数据的中位数 众数众数：在一组数据中，出现次数最多的数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数据叫做这组数据的众数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛其中以平均数的应用最为广泛.)xxx(n1n21平均数平均数:一组数据的算术平均数一组数据的算术平均数,即即 x=例例1:在一次中学生田径运动会上，参加男子在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的跳高的17名运动员的成绩如下表所示：名运动员的成绩如下表所示：成绩成绩(单位单位:米米)150160165170175180185190人数人数23234111 分别求这些运动员成绩的众数，中位数与分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数平均数 解：在解：在17个数据中，个数据中，1.75出现了出现了4次，出现的次，出现的次数最多，即这组数据的众数是次数最多，即这组数据的众数是1.75上面表里的上面表里的17个数据可看成是按从小到大个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第的顺序排列的，其中第9个数据个数据1.70是最中间是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是这组数据的平均数是答：答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是依次是1.75（米）、（米）、1.70（米）、（米）、1.69（米）（米）.频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)例如，在上一节调查的例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：如图所示：二二 、众数、中位数、平均数与频率分、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系布直方图的关系 1、众数在样本数据的频率分布直方图、众数在样本数据的频率分布直方图中，一般认为是最高矩形的中点的横坐标中，一般认为是最高矩形的中点的横坐标。2、在样本中，有、在样本中，有50的个体小于或等于中的个体小于或等于中位数，也有位数，也有50的个体大于或等于中位数，因的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的由此可以估计中位数的值应该在哪一个矩形框内及这个矩形框内的大约值应该在哪一个矩形框内及这个矩形框内的大约位置。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数位置。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为的估计值，此数据值为2.03t.频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)说明说明:2.03这是中位数的估计值这是中位数的估计值,与样本与样本的中位数值的中位数值2.0不一样不一样,这是因为样本数这是因为样本数据的频率分布直方图据的频率分布直方图,只是直观地表明只是直观地表明分布的形状分布的形状,但是从直方图本身得不出但是从直方图本身得不出原始的数据内容原始的数据内容,所以由频率分布直方所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致实际中位数值不一致.3、平均数是频率分布直方图的平均数是频率分布直方图的“重心重心”.是直方图的平衡点是直方图的平衡点.n 个样本数据的平均数个样本数据的平均数由公式由公式:给出给出)xxx(n1n21X=下图显示了居民月均用下图显示了居民月均用水量的平均数水量的平均数:x=1.973频率频率组距组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)三三 、三种数字特征的优缺点、三种数字特征的优缺点 1、众数体现了样本数据的最大集中、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征法客观地反映总体特征.如上例中众数是如上例中众数是2.25t,它告诉我们它告诉我们,月均用水量为月均用水量为2.25t的的居民数比月均用水量为其它数值的居民居民数比月均用水量为其它数值的居民数多数多,但它并没有告诉我们多多少但它并没有告诉我们多多少.2、中位数是样本数据所占频率、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量如上例中假设有某一用户月均用水量为为10t，那么它所占频率为，那么它所占频率为0.01,几乎几乎不影响中位数不影响中位数,但显然这一极端值是不但显然这一极端值是不能忽视的。能忽视的。3、由于平均数与每一个样本的、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因数、中位数都不具有的性质。也正因如此如此，与众数、中位数比较起来，平，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。可靠性降低。四、众数、中位数、平均数的简单应用四、众数、中位数、平均数的简单应用210:150,.例某校高一级的甲、乙两个班级 均为 人 的语文成绩如下 总分分 试确定这次考试中哪个班的语文成绩更好些:112 86 106 84 100 105 98 102 94 107甲班:116 95 109 86 106 88 108 99 94 98乙班.,级的平均分即可分别求出甲、乙两个班因此平中水均数衡量这组数据的集我们可用一组数据的平分析99.4,99.9,.解分别求出甲班的平均分为乙班的平均分为故这次考试乙班成绩要好于甲班例例3 某工厂人员及工资构成如下：某工厂人员及工资构成如下：人员人员经理经理管理人员管理人员高级技工高级技工工人工人学徒学徒合计合计周工资周工资2200250220200100人数人数16510123合计合计22001500110020001006900（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？的工资水平吗？为什么？解解：众数为众数为200，中位数为，中位数为220，平均数为，平均数为300。因平均数为因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。方差方差 标准差标准差数字特征之二：数字特征之二：思考：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶思考：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，次，每次命中的环数如下：每次命中的环数如下：甲：甲：乙：乙：如果你是教练如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价你应当如何对这次射击作出评价?如果看两人本次射击的平均成绩如果看两人本次射击的平均成绩,由于由于77 乙乙甲甲x，x 两人射击两人射击 的平均成绩是一样的的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什那么两个人的水平就没有什么差异吗么差异吗?结论：平均数向我们提供了样本数据的重要信息结论：平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均有但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的因此，只一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态有平均数还难以概括样本数据的实际状态 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差用用s表示表示一组数据中，各数据与它们一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平的平均数的差的平方的平均数。方的平均数。方差公方差公式：式：2222121nSxxxxxxn 一般步骤：一般步骤：.)()()(122221xxxxxxnsn样本标准差样本标准差五、样本方差、标准差五、样本方差、标准差一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示:考虑一个容量为考虑一个容量为2的样本的样本:.2,2,121221xxaxxxx记其样本的标准差为221xx 1x2xa 显然显然,标准差越大标准差越大,则则a越大越大,数据的离散程度越大数据的离散程度越大;标准差标准差越小越小,数据的离散程度越小数据的离散程度越小.思考问题答：算出甲思考问题答：算出甲,乙两人的的成绩的标准差乙两人的的成绩的标准差乙甲ss由由 可以知道可以知道,甲的成绩离散程度大甲的成绩离散程度大,乙的成绩离乙的成绩离散程度小散程度小.由此可以估计由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定乙比甲的射击成绩稳定.09512乙甲，ss例例4:为了考察甲、乙两种小麦的长势为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别分别从中抽出从中抽出10株苗，测得苗高如下株苗，测得苗高如下(单位单位:cm):甲甲:12 13 14 15 10 16 13 11 15 11乙乙:11 16 17 14 13 19 6 8 10 16问哪种小麦长得比较整齐问哪种小麦长得比较整齐?(1 1)甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且射击成绩的平均数也相同，如果甲的相同，且射击成绩的平均数也相同，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是:S S2 2甲甲_S S2 2乙乙。课堂练习：课堂练习：做一做：做一做：(2)小明和小聪最近小明和小聪最近5次数学测验成绩如下次数学测验成绩如下：小明小明7684808773小聪小聪7882798081哪位同学的数学成绩比较稳定？哪位同学的数学成绩比较稳定？乙乙小结：小结：1.1.众数、中位数、平均数的概念众数、中位数、平均数的概念2.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系图的关系3.3.三种数字特征的优缺点三种数字特征的优缺点4 4、样本的方差和标准差、样本的方差和标准差课后作业：课后作业：课本页课本页 A A组组 组组
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