数字信号处理DSP第二章2z反变换

2023-3-29二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法 长除法()()x nIZT X zz反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)()()()nnX zZT x nx n z2023-3-291、围线积分法（留数法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR （）()nnxxnX zC zRzR11()2nncCX z zdzjRe zIm jz0 xRxRC0,1,2,n 2023-3-29 若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11()()(,)2nxxcx nX z zdzcRRj1()()nF zX z z()Re ()kz zkx ns F z()Re ()mz zmx ns F z 利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：2023-3-29留数的计算公式单阶极点的留数：Re ()()()rrz zrz zs F zzz F z2023-3-292()1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4211()(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz解：211()(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11()4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14()Re ()zx ns F z1141()4(4)(1/4)nzzzzz415n2023-3-2911()(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点4()Re ()zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而围线 外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244()(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/42023-3-292()4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4解：收敛域是圆的外部 lim()1X(z)z=zX z 又，即在处收敛()()00 x nx nn是一个因果序列，即，()x n是右边序列10()c(4)(1/4)0()0nznF zzzx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得2023-3-290n 当时1()(4)(1/4)nzF zzz144cz 在围线 内有一阶极点，Re zIm jz0C41/441/4()Re ()Re ()zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21()(44)()15nnx nu n思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何()0 x n 2023-3-29211()1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反变换21111()2(1)(1)ncax nzdzjazaz解：221111(1)()(1)(1)()()cX(z)nnaazF zzazaza zaza其中：为收敛域内闭合围线1(),X zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111)2)3)zazaaza2023-3-29Re zIm jz0C1aa11)za收敛域是圆的外部 lim()0zX z又，()()00 x nx nn是因果序列，即，0n 当时1()F zczaa在围线 内有一阶极点，1()Re ()Re ()z az ax ns F zs F z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa()()()nnx naau n2023-3-29Re zIm jz0C1aa2)za0n 当时()F zc在围线 内无极点()0 x n 故0n 当时()0F zcnz 在 内有-阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re ()Re ()z az ax ns F zs F z()nnnnaaaa ()()(1)nnx naaun 2023-3-29Re zIm jz0C1aa0n 当时()F zcza在 内有一阶极点()Re ()nz ax ns F za0n 当时()0F zczanz在 内有一阶极点和-阶极点1,cza在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re ()nz ax ns F za()()(1)nnnx na u na una 13)aza2023-3-292、部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12()()()()()()KB zX zXzXzXzA z()()x nIZT X z12()()()KIZT XzIZT XzIZT Xz对各部分分式求z反变换：2023-3-2901()()()1MiiiNiiib zB zX zA za z11011()11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z()Re1,2,kkz zX zAskMrz用留数定理求系数：2023-3-291125()2316zX zzzz例：，求z反变换Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解：1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz2023-3-29 1123X zzzz 1111231 21 3zzX zzzzz23z11()1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2()nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 2023-3-293、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数()()nnX zx n z1012(1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)2023-3-29根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z)X(z)的 x(n)展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列xzRxzR2023-3-29解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数11()(1)X zzaaz例：，求z反变换122330()1nnnX zaza za za z ()()nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z2023-3-2911()(1)X zzaaz例：，求z反变换122331()nnnX za za za za z -()(1)nx na un 解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2023-3-292()1/44(4)(1/4)zX zzz z例：，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式161()1515(4)()41/41/4X zzzzzzz2023-3-29116()151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2023-3-292123111()141544X zzzzzz 1+16244()()(1)1515nnx nu nun 201114154nnnnnnzz