函数项级数的一致收敛

1.函数项级数的一致收敛一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 设 是定义在实数集 上的函数，我们称是函数项级数函数项级数，并称是 这一级数的 次部分和次部分和。如果对 中的一点 ，数项级数),3,2,1)(nxunX 121)()()()(nnnxuxuxuXu)()(1xuxsnkknnx0 x1002010)()()()(nnnxuxuxuxu收敛，我们就说函数项级数在 点收敛，否则就说它在 点发散。如果对 中任何一点 ，级数 收敛，就说函数项级数 在 上收敛（即在每一点都收敛）。这时，对每一点 级数 有和，记此和为 ，即可见，是 上的函数。例如级数在 内收敛，其和为 。这就表明，函数项级数在某点 的收敛问题实质上是数项函数的收敛问题。因此，我们就可以应用已学过的数项级数的有关知识来考察函数项级数的收敛问题。0 x0 xXx1)(nnxu1)(nnxuXXx1)(nnxu)(xS)()(1xSxunn)(xSX021nnxxx)1,1(Xx11x二、一致收敛的定义二、一致收敛的定义 例例1 它的每一项都在 上连续，其 次部分和为 。很明显有级数的和 在 不连续，因此，它不是 上的连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的 每一项都在 上可导，但它的和函数 在 不可导。)()()(2321xxxxxxunn10 xnnnxxS)()(xS1x1,01,0)(xS1x时，时1110,0)()(limxxxsxsnn例例2 考察函数序列 ，其中 。对任何 故但这表明：在本例中，虽然但 这就提出了一个问题：设级数 在 上收敛于又设级数的每一项 在 上连续。对于求导和求积，也有类似的问题，要回答这些问题，必须引进非常重要的概念：一致收敛一致收敛 xSn2222)(xnnxenxSx0)()(limxsxsnn 100)(dxxS)(11)(102nedxxSnn1010)()(limdxxSdxxSnnn)()(limxsxsnn1)(nnxuX)(xS)(xunX定义定义1 设有函数列 （或函数项级数 的部分和序列）。若对任给的 ，存在只依赖于 的正整数 ,使 时，不等式（对函数项级数，此式也可写为 ）对 上一切 都成立，则称 在 上一致一致收敛收敛于 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：xSn1)(nnxu0 N Nn)()(xSxSn1)()(nkknxuxrXx xSn1)(nnxuX)(xS定义定义2 设如果就称 在 上一致收敛一致收敛于 。)()(supxSxSSSnXxn0limSSnn)(xSX)(xS例例3 在 一致收敛。例例4 讨论 在 的一致收敛性。221)(xnxxSn,X221)(xnxxSn1,0X例例5 以例1 的函数列 ,为例,因为故 亦即 ,因此 在 上不一致收敛.还可看到 在 也不是一致收敛的，到它在任意一个区间 (是小于1的任一正数)却是一致收敛的,这是因为同理可知 在任一区间 (为小于1的任一正数)一致收敛,但在 非一致收敛.这说明了一致收敛与所讨论的区间有关,当 在某一区间一致收敛时,它当然在含这区间内的任一区间一致收敛,nnxxS)(1,0X 1,010,)()(xxxxSxSnn1)()(supxSxSnX1SSn nx1,0nnxxS)(1,0c,0c时当ncxxSxSnncxncx00sup)()(sup221)(xnxxSn1,cc1,0)(xSn但在含这个区间的较大的区间上却不一定一致收敛.另一方面,这两个例子也说明了虽然在 内的任一闭区间上 一致收敛,但 在区间 却不一定一致收敛.当 在 内任一 闭区间上一致收敛时,称 在区间 内闭一致收敛内闭一致收敛.因此在 一致收敛一定内闭一致收敛,但反之不然.但从 在 内闭收敛,却可得到它在区间 也收敛,这是因为对上每一点,恒可取 内的一个闭区间包含这个点,于是 在这闭区间上的收敛性就得到它在这个点收敛.这正是由于一致收敛是整体性质而收敛是局部性质的缘故.ba,)(xSn)(xSnba,)(xSnba,)(xSnba,ba,)(xSnba,ba,ba,ba,)(xSn例例6 在 非一致收敛.定理定理 函数列 在 上一致收敛的充要条件为,对任给的 ,可得正整数 ,使 时,不等式对任意的正整数 和 上任意的 都成立.2222)(xnnxenxS1,0 xSnX0 NN Nn)(xSSnpnpXx三、一致收敛级数的性质三、一致收敛级数的性质 定理定理1 若在 上,函数列 的每一项 都连续,且 一致收敛于 ,则其极限函数也在 上连续.证明证明 由于 在 上一致收敛与 ,故对 可得 (是一个仅与 有关的确定的项数,它与 上的 无关),使对 上任一点 ,显然也有再由 在点 连续性,可得 ,使 时 ba,)(xSn)(xSn)(xSn)(xS)(xSba,)(xSnba,)(xS0NNba,x)(31)()(bxaxSxSNba,0 x31)()(xSxSN)(xSN0 x0ax31)()(xSxSN于是当 时这样便证明了定理.定理定理2 设 在 上一致收敛于 ,每一 都在 上连续,那么亦即极限号与积分号可以互换.又函数列 也在 上一致收敛于 证明证明 由定理对任给的 ,可得 ,使 时ax)()()()()()()()(0000 xSxSxSxSxSxSxSxSNNNN)(xSnba,)(xS)(xSnba,dxxSdxxSdxxSbannbabannlimlim dttSxaxba,dttSxax0 NNn bxaxSSn)(现由于 及 连续,故它们在 上的积分存在,并且当 时又若将积分上限 换为 ,则当 时上式仍旧成立.这样便证明了定理2.定理定理3 若在 上函数列 的每一项都有连续导数,收敛于 ,一致收敛于 ,则亦即 也就是极限号与求导数号可以交换.又此时 在上也是一致收敛的.)(xSn)(xSba,Nn abdxxSxSdxxSdxxSbanbabanbxbxaba,xSn xSn)(xS xSn x xxS xSdxdxSdxdnnnn limlim)(xSnba,证明证明 由于 一致收敛于 ,故 连续,由定理2由于左边的导数存在,故 存在且 ,又从及定理2即得 的一致收敛性.xSn x x dttSdttxannxalim aSxSaSxSnnnlim xS xSx dttSaSxSxannn)(xSn定理定理4 若在 上级数 的每项 都连续,且 一致收敛于 也在 上连续.定理定理5 设 在 上一致收敛于 ,并且每一都在 上连续,则亦即和号可以与积号交换.又在 上,函数项级数 也一致收敛于 ba,1nnu xun1nnu xSba,1nnuba,xS xunba,dxxudxxSdxxubannbanban 11ba,dttunxan1 dttSxa定理定理6 若在 上,的每一项都具有连续导数 ,且 一致收敛于 ,又 收敛于,则 ,亦即且 一致收敛于 .ba,xunn1 xun xunn1 x xunn1 xS xxS xudxdxudxdnnnn11 xunn1 xS四、一致收敛级数的判别方法四、一致收敛级数的判别方法 定例定例7 若对充分大的 ，恒有实数 ，使得 对 上任意的 都成立，并且数项级数 收敛，则 在 上一致收敛。证明证明 由 的收敛性，对任给的 ，可得 使 时对 上一切的 我们有由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论。nna nnaxuXxna xunXna0 N Nn,2,121paaapnnnXx xuxuxuxupnnpnn11pnnaa1例例7 若 绝对收敛，则 和 在 内都是绝对收敛和一致收敛的级数。例例8 若 收敛，则 在 上一致收敛。例例9 若 单调地趋于零，则 在 上一致收敛，这里 是小于 的任一正数。nanxansinnxancos,nannxa1,0nanxannsin12,定理定理8 若在 上 一致收敛，又对 中每一固定的 ，数列 单调。而对任意的 和 中每个有 那么 在 上一致收敛。由 的一致收敛性，对任意给定的 ，得，使 时恒有固定 由上式 的单调性，利用阿贝尔引理得到 再从一致收敛的柯西充要条件即得。X xbnXx xannXx，和年的定数不依赖于xLxan xbxannX xbn0 N Nn ,2,11pxbxbpnnx xan xaxaxbxaxbxapnnpnpnnn2111,2,1;3pNnL定理定理9 设 的部分和 在 上一致有界，又对 内每一 ，数列 单调，并且函数列 在 上一致收敛于零，则在 上一致收敛。证明证明 设 ，那么对 上任意 和任意的正整数 恒有因此，利用阿贝尔引理再由 一致收敛于零即得。xbnn1 xbxBnik1XXx xan xanX xbxannX 的定数和不依赖于xnLxbii1Xxp Lxbxbxbiipniipnnii2111 xaxaLxbxapnnpnniii2211 xan