随机解释变量PPT课件

4.4 4.4 随机解释变量问题随机解释变量问题基本假设基本假设:解释变量解释变量X X1 1,X,X2 2,X,Xk k是是确定性变量确定性变量。如果存在一个或多个。如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机解释变量问题随机解释变量问题。一、随机解释变量问题的含义一、随机解释变量问题的含义 对于模型对于模型 ikikiiiXXYY22110 在解释变量为确定性变量的假定下，解释变量与随机误差项独立，从在解释变量为确定性变量的假定下，解释变量与随机误差项独立，从而意味着：而意味着：cov(,)0(1,2,.,;1,2,.,)jttxjk tn 当解释变量为随机变量时，解释变量有可能会与随机误差项产生相关。当解释变量为随机变量时，解释变量有可能会与随机误差项产生相关。具体而言，可能有三种情况：（不妨设具体而言，可能有三种情况：（不妨设X X2 2为随机变量）为随机变量）1.1.随机解释变量与随机误差项独立随机解释变量与随机误差项独立(Independence)(Independence)2.2.随机解释变量与随机误差项同期无关随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneously(contemporaneously uncorrelated)uncorrelated)，但异期相关。，但异期相关。22cov(,)()0ttttXE x 22cov(,)()0 s0tt stt sXE x 2222cov(,)()()()0ttttttXE XXE x (1,2,.,)tn(1,2,.,)tn 3.3.随机解释变量与随机误差项同期相关随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneously(contemporaneously correlated)correlated)。22cov(,)()0ttttXE x (1,2,.,)tn 二、实际经济问题中的随机解释变量问题二、实际经济问题中的随机解释变量问题 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。但是在单方程计量经济学模型中，一般都将解释变量认为是确定性但是在单方程计量经济学模型中，一般都将解释变量认为是确定性的，而不去考虑其随机性。的，而不去考虑其随机性。于是于是随机解释变量问题随机解释变量问题主要发生于主要发生于用滞后被解释变量作为模型的解用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。释变量的情况。这是缘于经济活动的连续性，被解释变量的现期值往往会受到若干这是缘于经济活动的连续性，被解释变量的现期值往往会受到若干前期值的影响。因此模型需要包含被解释变量的滞后期变量。前期值的影响。因此模型需要包含被解释变量的滞后期变量。例例1 1：耐用品存量调整模型：耐用品存量调整模型 耐用品的存量耐用品的存量QQt t由前一个时期的存量由前一个时期的存量QQt-1t-1和当期收入和当期收入I It t共同决定：共同决定：Q Qt t=0 0+1 1I It t+2 2QQt-1t-1+t t t t=1,=1,T T 这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量QQt-1t-1只与只与 t-1t-1相关，与相关，与 t t不相关不相关 属于上述的第属于上述的第2 2种情况：种情况：同期无关而异期相关同期无关而异期相关。例例2 2：合理预期的消费函数模型：合理预期的消费函数模型 合理预期理论合理预期理论认为消费认为消费C Ct t是由对收入的预期是由对收入的预期Y Yt te e所决定的：所决定的：tettYC10 预期收入预期收入Y Yt te e与实际收入与实际收入Y Y间存如下关系的假设间存如下关系的假设 ettetYYY1)1(容易推出容易推出tetttYYC1110)1(ttttCY)()1(101101110)1()1(ttttCY 其中：其中：C Ct-1t-1是一随机解释变量，且与是一随机解释变量，且与 (t t-t-1t-1)高度相关。高度相关。属于上述第属于上述第3 3种情况：种情况：同期相关同期相关。在对在对OLSOLS估计量的小样本性质（无偏性和有效性）的证明过程中使估计量的小样本性质（无偏性和有效性）的证明过程中使用了解释变量为非随机变量，从而用了解释变量为非随机变量，从而X X与与 不相关的假定。不相关的假定。计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用，如果仍采用OLSOLS法估计模型参数，将影响到参数的所具有的优良法估计模型参数，将影响到参数的所具有的优良性质。性质。为便于理解随机解释变量对参数性质的影响，先介绍估计量在大样为便于理解随机解释变量对参数性质的影响，先介绍估计量在大样本下的渐进统计性质本下的渐进统计性质 主要包括：渐进无偏性和一致性主要包括：渐进无偏性和一致性三、随机解释变量的后果三、随机解释变量的后果1 1、渐进无偏性、渐进无偏性记记n 为样本容量为为样本容量为n n时参数时参数 的估计量，如果满足：的估计量，如果满足：lim()nnE 则称则称n 为为的的渐进无偏估计量渐进无偏估计量2 2、一致性、一致性对上述对上述n 如果满足：如果满足：limnnp （plimplim表示概率极限）表示概率极限）则称则称n 为为的的一致估计量一致估计量可以证明：可以证明：nlim()limvar()0nnnnEAND 是是 的的一一致致估估量量即：一致估计量一定是渐进无偏的，并且在真实值附近离散的程度随样即：一致估计量一定是渐进无偏的，并且在真实值附近离散的程度随样本容量的增加而逐渐趋于本容量的增加而逐渐趋于0 0注意注意：上述渐进统计性质仅在大样本条件下才有意义，而在小样本下不起上述渐进统计性质仅在大样本条件下才有意义，而在小样本下不起作用。作用。01YX 01YX#随机解释变量的后果直观理解随机解释变量的后果直观理解（a a）正相关）正相关 （b b）负相关）负相关 拟合的样本回归线可能低估截拟合的样本回归线可能低估截距项，而高估斜率项。距项，而高估斜率项。拟合的样本回归线可能高估拟合的样本回归线可能高估截距项，而低估斜率项。截距项，而低估斜率项。以对一元线性回归模型为例分析不同情况下，随机解释变量问题对参数以对一元线性回归模型为例分析不同情况下，随机解释变量问题对参数性质的影响。性质的影响。tttXY10参数参数 1 1的的OLSOLS估计量为：估计量为：1 1、如果、如果X X与与 相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。#随机解释变量的后果理论分析随机解释变量的后果理论分析11122()()ttttttXXxXXx 11112()()()tttttxEEEkx 2 2、如果、如果X X与与 同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。一致的。k kt t的分母中包含不同期的的分母中包含不同期的X X；由异期相关性知：；由异期相关性知：k kt t与与 t t相关，因此相关，因此11)(E 但是但是11112()()()tttttxEEEkx 1121211l i ml i m()1l i m()1l i m()c o v(,)()ttnntttntntttxPPxPxnPxnXV a rX 3 3、如果、如果X X与与 同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。同期相关，得到的参数估计量有偏、且非一致。注意：注意：由上述分析可见，当随机解释变量与随机误差项相关时（异期相关或由上述分析可见，当随机解释变量与随机误差项相关时（异期相关或同期相关），同期相关），OLSOLS估计量将存在偏误，造成模型全面的失准。估计量将存在偏误，造成模型全面的失准。特别地，对于存在滞后被解释变量作为解释变量的模型，滞后被解释特别地，对于存在滞后被解释变量作为解释变量的模型，滞后被解释变量最低限度都会与误差项异期相关，因此对于此类模型必须要解决变量最低限度都会与误差项异期相关，因此对于此类模型必须要解决随机解释变量问题。随机解释变量问题。如果异期相关，增加样本容量是解决问题的一个良好办法，但是对于如果异期相关，增加样本容量是解决问题的一个良好办法，但是对于同期相关，增加样本容量也无济于事。同期相关，增加样本容量也无济于事。从（从（2 2）的证明中可以看出。）的证明中可以看出。四、工具变量法四、工具变量法 所谓的所谓的工具变量法工具变量法（instrumental variable methodinstrumental variable method）是指：）是指：当随机解释变量当随机解释变量X X与随机误差项与随机误差项 相关时，寻找另一个相关时，寻找另一个与随机解释变量与随机解释变量 X X高度相关高度相关，但，但与随机误差项与随机误差项 不相关的不相关的变量变量Z Z，并在模型的，并在模型的估计过程估计过程 中用中用Z“Z“代替代替”X X去完成参数估计的一种方法。去完成参数估计的一种方法。其中变量其中变量Z Z称为称为工具变量工具变量（Instrument Variables,IVInstrument Variables,IV）。）。1 1、工具变量法的含义、工具变量法的含义2 2、工具变量的选取、工具变量的选取 工具变量是在模型估计过程中作为工具使用，以替代与随机误差项工具变量是在模型估计过程中作为工具使用，以替代与随机误差项相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下条件：相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下条件：(1)(1)与所替代的随机解释变量高度相关与所替代的随机解释变量高度相关(2)(2)与随机误差项不相关与随机误差项不相关(3)(3)与模型中的其它解释变量不相关（为什么？）与模型中的其它解释变量不相关（为什么？）(4)(4)如果同时使用多个工具变量，则工具变量间不相关如果同时使用多个工具变量，则工具变量间不相关此外，通常要求工具变量最好是具有明确经济含义的外生变量，而非此外，通常要求工具变量最好是具有明确经济含义的外生变量，而非另外的随机变量。另外的随机变量。3 3、工具变量的应用、工具变量的应用 考虑一元线性回归模型如下：考虑一元线性回归模型如下：用用OLSOLS估计模型，需要构造一个估计模型，需要构造一个正规方程组正规方程组。01iiiYX 工具变量的应用要点在于：在模型的工具变量的应用要点在于：在模型的估计过程估计过程中中代替代替X X进行参数估计。进行参数估计。#以一元线性回归模型为例说明这一含义以一元线性回归模型为例说明这一含义。01201 (*)iiiiiiYnXX YXX 这一正规方程组相当于用这一正规方程组相当于用1 1与与X Xi i去乘模型两边、对去乘模型两边、对i i求和、再略去求和、再略去i i与与 X Xi i i i项后得到的。项后得到的。在基本假定下，由于：在基本假定下，由于：cov(,)0iiX 这意味着在大样本下，有：这意味着在大样本下，有：11()0iiiiiiXXxnn 从而，略掉从而，略掉 X Xi i i i项是合适的。项是合适的。但当但当X X随机，且与随机，且与 相关相关时，上式并不成立，所构造的正规方程组是时，上式并不成立，所构造的正规方程组是无效无效的。的。如果选择如果选择Z Z为为X X的的工具变量工具变量，在上述估计过程用对，在上述估计过程用对(*)式改用式改用Z Zi i乘以模型乘以模型两边并求和，则有：两边并求和，则有：由于由于Cov(ZCov(Zi i,i i)=E(z)=E(zi i i i)=0)=0，即在大样本下，有：，即在大样本下，有：01 iiiiiiiZ YZZ XZ 11()0iiiiiiZZznn 此时可以略去此时可以略去 Z Zi i i i而得到一个有效的正规方程组：而得到一个有效的正规方程组：0101 (#)iiiiiiiYnXZYXZ X 这种求模型参数估计量的方法即为这种求模型参数估计量的方法即为工具变量法工具变量法(instrumental(instrumental variable method)variable method)，相应的上述，相应的上述估计量称为估计量称为工具变量法估计量工具变量法估计量（instrumental variable(IV)estimatorinstrumental variable(IV)estimator）。）。101()(),()()iiiiZZ YYYXZZXX 解此正规方程组可得到：解此正规方程组可得到：由于由于Z Z与与 的无关性，保证了在大样本下正规方程组（的无关性，保证了在大样本下正规方程组（#）的有效性，从）的有效性，从而所获得上述参数估计大样本下满足相应的性质要求，具体而言，而所获得上述参数估计大样本下满足相应的性质要求，具体而言，具有具有一致性一致性。特别地，对于多元线性回归模型（特别地，对于多元线性回归模型（矩阵形式矩阵形式）：Y=X+假设假设X X2 2与随机项相关，其工具变量为与随机项相关，其工具变量为Z Z，则采用工具变量法（用工具变量，则采用工具变量法（用工具变量Z Z替代替代X X）得到的）得到的正规方程组正规方程组为：为：XZYZ参数估计量为：参数估计量为：YZXZ1)(knkknnXXXZZZXXX212111211111Z其中其中:称为称为工具变量矩阵工具变量矩阵4 4、工具变量法估计量是一致估计量、工具变量法估计量是一致估计量一元回归中，工具变量法估计量为一元回归中，工具变量法估计量为基于工具变量基于工具变量Z Z选取要求，有：选取要求，有：两边取两边取概率极限概率极限得：得：iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiiiiXZxznP则有：则有：11)lim(P0111()=iiiiiiiiiiiiiiiiiz yzYzXzz xz xz xz x 即在即在大样本下大样本下IVIV参数估计量具有一致性参数估计量具有一致性 5 5、对工具变量法的说明、对工具变量法的说明（1 1）在模型估计方面，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模）在模型估计方面，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模 型的型的参数估计过程参数估计过程中用工具变量中用工具变量“代替代替”模型中的随机解释变量模型中的随机解释变量 实际上，工具变量法估计过程等价于一种两步实际上，工具变量法估计过程等价于一种两步OLSOLS回归：回归：1)1)用用X X关于工具变量关于工具变量Z Z进行回归，得到进行回归，得到XX 2)2)用用Y Y关于关于XX进行回归。进行回归。所以工具变量法仍是用所以工具变量法仍是用Y Y对对X X的回归，而非的回归，而非Y Y对对Z Z的回归。的回归。（2 2）在参数性质方面）在参数性质方面:大样本大样本下，工具变量法估计量具有下，工具变量法估计量具有一致性一致性，小样本小样本下，工具变量法估计量仍是下，工具变量法估计量仍是有偏有偏的的。0)()1()1(iiiiiiiizExzEzxzE（3 3）在实际应用过程中，一方面，寻求到一个既与）在实际应用过程中，一方面，寻求到一个既与X X高度相关，又与高度相关，又与 无关的工具变量并非易事。一般可以用无关的工具变量并非易事。一般可以用X Xt-1t-1作为原随机解释变量作为原随机解释变量X Xt t的工具变量。的工具变量。另一方面，也有可能对同一个另一方面，也有可能对同一个X X找到多个符合要求的工具变量。找到多个符合要求的工具变量。此时选择的工具变量不同，参数估计值不一定一致，具有随意性。此时选择的工具变量不同，参数估计值不一定一致，具有随意性。选择哪一个工具变量是一个技巧。解决的策略之一是广义矩估计选择哪一个工具变量是一个技巧。解决的策略之一是广义矩估计（GMMGMM）。）。特别地，由于使用工具变量，有可能产生较高的标准差，从而不能保特别地，由于使用工具变量，有可能产生较高的标准差，从而不能保证参数估计值的渐进方差一定能够最小，即证参数估计值的渐进方差一定能够最小，即不能保证参数的渐进有效不能保证参数的渐进有效性性。（4 4）如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须分别为他们找到相应的工具变量进行替代。须分别为他们找到相应的工具变量进行替代。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序将不影但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序将不影响估计结果响估计结果(WhyWhy？)。（5 5）OLSOLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。可以看作工具变量法的一种特殊情况。五、案例五、案例（中国居民人均消费函数）（中国居民人均消费函数）例例 在例的在例的中国居民人均消费函数中国居民人均消费函数的估计中，采用的估计中，采用OLSOLS估计了下面的估计了下面的模型：模型：GDPPCONSP10 由于：居民人均消费支出（由于：居民人均消费支出（CONSPCONSP）与人均国内生产总值）与人均国内生产总值（GDPPGDPP）相互影响，因此，容易判断）相互影响，因此，容易判断GDPPGDPP与与 同期相关（往往同期相关（往往是正相关）是正相关）因此：因此：OLSOLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项斜率项 ）。）。OLS OLS估计结果：估计结果：(13.51)(53.47)R2 如果用如果用GDPPGDPPt-1t-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：(14.84)(56.04)R2 工具变量法估计量，对工具变量法估计量，对OLSOLS估计量对截矩项的低估和斜率项的高估作估计量对截矩项的低估和斜率项的高估作出了修正，而且各项检验指标也都有进一步的修正。出了修正，而且各项检验指标也都有进一步的修正。