中考数学模拟卷九含解析

中考数学模拟卷九含解析 2020 年四川省成都市中考数学模拟卷（九）A 卷（共 100 分）第卷（共 30 分）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（2019广东中考模拟）5 的相反数是（）A15 B5 C5 D15【答案】C【解析】解：5 的相反数是 5故选 C 2（2019河南中考模拟）下列计算正确的是（）Aa3+a3a6 B（x3）2x29 Ca3 a3a6 D235【答案】C【解析】A、a3a32a3，故此选项错误；B、（x 3）2x2 6x9，故此选项错误；C、a3 a3a6，正确；D、23无法计算，故此选项错误 故选 C【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3（2019山东中考模拟）2018 年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二，82.7 万亿用科学记数法表示为（）A0.8271014 B82.71012 C8.271013 D8.271014【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 中考数学模拟卷九含解析 详解：82.7 万亿=82700000000000=8.271013，故选 C 点睛：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4（2019山东中考模拟）下列几何体中，俯视图为三角形的是（）A B C D【答案】C【解析】【解答】A、圆锥俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；B、长方体的俯视图均为矩形，故本选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确；D、四棱锥的俯视图是四边形，故本选项错误；故选 C.【点评】本题应用了几何体三视图的知识，从上面向下看，想象出平面投影是解答重点；5（2019辽宁中考模拟）如图，在ABC中，CD是ACB的外角平分线，且CDAB，若ACB100，则B的度数为（）A35 B40o C45o D50o【答案】B【解析】解：ACB=100，ECB=80，CD 是ACB 的外角平分线，DCB=40，CDAB，B=DCB=40，故选：B 中考数学模拟卷九含解析【点睛】此题考查三角形外角的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答 6（2019广西中考模拟）已知点 M（12m，m1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（）AB CD【答案】A【解析】由题意得，点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为：（12m，1m），又M（12m，m1）关于 x 轴的对称点在第一象限，解得：，在数轴上表示为：故选 A 7（2019四川中考模拟）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少 12 步)，问阔及长各几步如果设矩形田地的长为 x 步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ()Ax(x+12)=864 Bx(x-12)=864 Cx2+12x=864 Dx2+12x-864=0【答案】B【解析】设矩形田地的长为 x 步，那么宽就应该是（x-12）步 根据矩形面积=长宽，得：x（x-12）=864故本题选 B 8（2019辽宁中考模拟）某校举行“汉字听写比赛”，5 个班级代表队的正确答题数如图这 5 个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）中考数学模拟卷九含解析 A10，15 B13，15 C13，20 D15，15【答案】D【解析】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是 15，众数是 15，故选 D.【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.9（2019重庆中考模拟）如图，O 中，CD 是切线，切点是 D，直线 CO 交O 于 B，A，A20，则C 的度数是（）A25 B65 C50 D75【答案】C【解析】连接 OD，CD 是O 的切线，ODC=90，COD=2A=40，C=90-40=50，故选 C【点睛】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 10（2019江西中考模拟）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为(1，3)，与 x 轴的交点 A 在点(3，0)和(2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()若点 P(3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则 mn；ca+3；a+b+c0；中考数学模拟卷九含解析 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】由抛物线与 x 轴有两个交点，可知 b2-4ac0，所以错误；由抛物线的顶点为 D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线 x=-1，然后由抛物线与 x 轴的一个交点 A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当 x=1 时，y0，即 a+b+c0，所以正确；由抛物线的顶点为 D（-1，2），可知 a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线 x=2ba=-1，可得 b=2a，因此 a-2a+c=2，即 c-a=2，所以正确；由于当 x=-1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=-1 时，ax2+bx+c=2，因此方程 ax2+bx+c-2=0 有两个相等的实数根，所以正确 故选 C 考点：二次函数的图像与性质 第卷（共 70 分）二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）11（2019山东中考模拟）因式分解：2abba_；【答案】（a-b）（a-b+1）【解析】解：原式=(a-b)2+(a-b)=(a-b)(a-b+1)，故答案为：(a-b)(a-b+1)【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键 12（2019山东中考模拟）如图，在ABC 中，C90，B30，AD 是BAC 的角平分线，中考数学模拟卷九含解析 DEAB，垂足为 E，DE1，则 BC_ 【答案】60【解析】已知C=90，B=30，根据直角三角形的两个锐角互余可得BAC=60，由角平分线的定义可得EAD=30，在 RtADE 中，根据直角三角形的两个锐角互余可得ADE=9030=60 考点：直角三角形的两个锐角互余；角平分线的定义 13（2019上海中考模拟）一次函数ykx+b(k0)的图象如图所示，如果y0，那么x的取值范围_ 【答案】x3【解析】根据图象和数据可知，当y0 即图象在x轴下侧，x3 故答案为x3【点睛】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力 14（2019扬州市江都区国际学校中考模拟）如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 为 BC 的中点,将ABE 沿 AE 折叠,使点 B 落在矩形内点 F 处,连接 CF,则 CF 的长度为_ 【答案】185【解析】中考数学模拟卷九含解析 如图,连接 BF.AEF 是由ABE 沿 AE 折叠得到的,BFAE,BE=EF.BC=6,点 E 为 BC 的中点,BE=EC=EF=3 根据勾股定理有 AE2=AB2+BE2 代入数据求得 AE=5 根据三角形的面积公式1122ABBEAEBH 得 BH=125 即可得 BF=245 由 FE=BE=EC,可得BFC=90 再由勾股定理有 BC2-BF2=CF2 代入数据求得 CF=185 故答案为185【点睛】此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质 三、解答题（本大题共 6 小题，共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（1）（2019北京中考模拟）计算：02cos301223 【答案】【解析】原式 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数、二次根式化简，零指数幂和绝对值化简，熟练掌握这些运算法则是解中考数学模拟卷九含解析 题关键.（2）（2019上海中考模拟）解方程：212124xxx.【答案】x=-3.【解析】解方程：212124xxx.整理得 2224xxx x2+x-6=0(x+3)(x-2)=0 x1=-3,x2=2,经检验，x=2 为增根，舍去，原方程的解为 x=-3.【点睛】此题主要考查分式方程的求解,解题的关键是把原方程化为一元二次方程进行求解.16（2019山东中考模拟）先化简：22144(1)1mmmmm，再从1m2 中选取合适的整数代入求值【答案】2mm，原式13.【解析】原式21-212m mmmm 2mm，根据分式有意义的条件可知：m1，原式13【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 17（2019内蒙古中考模拟）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为 A，B，C，D 四个等级请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为 C 等级的学生数，并补全条形图；中考数学模拟卷九含解析（3）若该中学八年级共有 700 名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为 D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为 A 等级的 2 名男生 2 名女生中随机的抽取 2 名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率 【答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析【解析】（1）1020%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50 名学生.（2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为 C 等级的学生有 16 名.图形统计图补充完整如下图所示：（3）700450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为 D 等级的学生有 56 名.（4）画树状图法：设体能为 A 等级的两名男生分别为12,A A，体能为 A 等级的两名女生分别为1B,2B,画树状图如下：中考数学模拟卷九含解析 由树状图可知，共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同，而抽取的两人都是男生的结果有两种：（12,A A），（2A,1A）,P（抽取的两人是男生）=21126.18（2019陕西中考模拟）城墙作为古城西安的地标性建筑，自然是吸引了不少人慕名而来，每逢春节，城墙上都会支起万盏花灯，小画和小明去城墙观赏花灯，看见宏伟的城墙后，他们想要测量城墙的高，小明在城墙下看见城墙上有一根灯杆AB(点 A 为灯泡的位置)，于是小明提议用灯下的影长来测量城墙的高，首先小明站在 E 处，测得其影长EF1m，小画站在 H 处，测得其影长HM1.6m，小画和小明之间的距离HE4m，已知小明的身高 DE 为1.5m，小画的身高 GH 为1.6m，灯杆 AB 的高为1.8m，点 B 在直线 AC 上，ACCM，DECM，GHCM.请你根据以上信息，求出城墙的高 BC 【答案】城墙的高 BC 为 12m【解析】【分析】由DEFACF，GHMACM，可得ACCFDEEF，ACCMGHHM，由此构建方程组即可解决问题；【详解】DE/AC，GH/AC，DEFACF，GHMACM，ACCFDEEF，ACCMGHHM，ACCE11.51，ACCE4 1.61.61.6，AC13.8m，BCACAB12m，城墙的高 BC 为 12m【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题 19（2019山东中考模拟）如图，A（4，3）是反比例函数 y=kx在第一象限图象上一点，连接 OA，中考数学模拟卷九含解析 过 A 作 ABx 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y=kx的图象于点 P（1）求反比例函数 y=kx的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积 【答案】（1）反比例函数解析式为 y=12x；（2）点 B 的坐标为（9，3）；（3）OAP 的面积=5【解析】（1）将点 A（4，3）代入 y=kx，得：k=12，则反比例函数解析式为y=12x；（2）如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C，则 OC=4、AC=3，OA=2243=5，ABx 轴，且 AB=OA=5，点 B 的坐标为（9，3）；（3）点 B 坐标为（9，3），OB 所在直线解析式为y=13x，中考数学模拟卷九含解析 由1312yxyx可得点 P 坐标为（6，2），（负值舍去），过点 P 作 PDx 轴，延长 DP 交 AB 于点 E，则点 E 坐标为（6，3），AE=2、PE=1、PD=2，则OAP的面积=12（2+6）312621221=5【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.20（2019山东中考模拟）如图，O 的直径 AB 的长为 2，点 C 在圆周上，CAB=30，点 D 是圆上一动点，DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连接 CD，交 AB 于点 F （）如图 1，当ACD=45时，请你判断 DE 与O 的位置关系并加以证明；（）如图 2，当点 F 是 CD 的中点时，求CDE 的面积【答案】（）DE 与O 相切（2）3 32 【解析】（1）如图 1 中，连接 OD C=45，AOD=2C=90，EDAB，AOD+EDO=180，EDO=90，EDOD，ED 是O 切线（2）如图 2 中，连接 BC，CF=DF，中考数学模拟卷九含解析 AFCD，AC=AD，ACD=ADC，ABED，EDDC，EDC=90，在 RTACB 中，ACB=90，CAB=30，AB=2，BC=1，AC=，CF=AC=，CD=2CF=，在 RTECD 中，EDC=90，CD=，E=CAB=30，EC=2CD=2，ED=3，SECD=ED CD=考点：切线的判定 B 卷（共 50 分）一、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）21（2019辽宁中考模拟）若关于 x 的分式方程2122xax的解为非负数，则 a 的取值范围是_【答案】1a且2a 【解析】分式方程去分母得：2（2x-a）=x-2，去括号移项合并得：3x=2a-2，解得：223ax，中考数学模拟卷九含解析 分式方程的解为非负数，2203a且 22203a，解得：a1 且a4 22（2019怀化市第三中学中考模拟）如果 a、b、c 为互不相等的实数，且满足关系式 b2+c22a2+16a+14 与 bca24a5，那么 a 的取值范围是_【答案】a1 且 a56且 a1214且 a78【解析】222221614,45bcaabcaa，22222()216142(45)4844(1)bcaaaaaaa，即有2(1).bca 又245bcaa，所以b,c可作为一元二次方程222(1)450 xaxaa的两个不相等实数根，故224(1)4(45)24240aaaa，解得a 1.若当a=b时，那么a也是方程的解，222(1)450aaaaa，即24250aa或650a，解得,1214a 或5.6a 当a=b=c时，16140450aa，解得75,84aa (舍去)，所以a的取值范围为1a 且56a 且1214a且7.8a 故答案为1a 且56a 且1214a且7.8a 23（2019山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），直线l与x轴，y轴分别交于点B（3，0），C（0，3），当x轴上的动点P到直线l的距离PE与到点A的距离PA之中考数学模拟卷九含解析 和最小时，则点E的坐标是_ 【答案】1 5,2 2【解析】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，过 A作 ADl 于 E，与 x 轴交于点 P，则 AD 即为所求最小值；A 的坐标为（3，1），A（3，1），B（3，0），C（0，3），直线 BC 所在的直线解析式 yx+3，AE 所在直线解析式 yx+2，32yxyx ，1252xy，E（12，52），故答案为（12，52）；【点睛】本题考查了直线垂直的性质，点到直线的最短距离，难度较大，利用对称性质找到 A 的对称点 A（3，1），将求交点问题转换成解方程问题是解题关键.中考数学模拟卷九含解析 24（2019普宁市燎原中学中考模拟）已知正方形ABCD的边长为 1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推若A1C12，且点A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形A2C2C3D3的边长是_，正方形AnnCn+1Dn+1的边长是_ 【答案】3，1232nn.【解析】延长D4A和C1B交于O ABA2C1，AOBD2OC2，222OBABOCD C AB=BC1=1，D2C2=C1C2=2，222OBAB1OCD C2，OC2=2OB，OB=BC2=3，OC2=6 设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：D2OC2D3OC3，1126x6x，解得：x1=3，正方形A2C2C3D3的边长为 3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：D3OC3D4OC4，2239x9x，解得x292，正方形A3C3C4D4的边长为92；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：D4OC4D5OC5，339272227xx2，解得x274，正方形A4C4C5D5的边长为274；以此类推 正方形AnCnCn+1Dn+1的边长为n 1n 232 故答案为 3，n 1n 232；中考数学模拟卷九含解析 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键 25（2019河北中考模拟）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 C 在 x 轴的负半轴上，点 A在 y 轴正半轴上，矩形 OABC 的面积为8 2 把矩形 OABC 沿 DE 翻折，使点 B 与点 O 重合，点 C 落在第三象限的 G 点处，作 EHx 轴于 H，过 E 点的反比例函数kyx图象恰好过 DE 的中点 F则 k_，线段 EH 的长为：_ 【答案】-22 22 【解析】解：连接 BO 与 ED 交于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴，垂足为 N，如图所示，矩形 OABC 沿 DE 翻折，点 B 与点 O 重合，BQOQ，BEEO 四边形 OABC 是矩形，ABCO，BCOOAB90 EBQDOQ 中考数学模拟卷九含解析 在BEQ 和ODQ 中，EBQDOQBQOQBQEOQD BEQODQ（ASA）EQDQ 点 Q 是 ED 的中点 QNOBCO90，QNBC ONQOCB 22124ONQOCBSOQOQSOBOQ SONQ14 SOCB S矩形 OABC82，SOCBSOAB42 SONQ2 点 F 是 ED 的中点，点 F 与点 Q 重合 SONF2 点 F 在反比例函数 ykx上，kx2 k0，k22 SOAE2k2 SOAB42，AB4AE BE3AE 中考数学模拟卷九含解析 由轴对称的性质可得：OEBE OE3AEOA22OEAE22AE SOAE12AO AE1222AEAE2 AE1 OA22122 EHOHOAOAE90，四边形 OAEH 是矩形 EHOA22 故答案分别为：22、22【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性 二、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）26（2019四川中考模拟）如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h20t5t2（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于 15m？【答案】（1）小球飞行时间是 2s时，小球最高为 20m；(2)1t3.【解析】（1）h5t2+20t5（t2）2+20，当t2 时，h取得最大值 20 米；答：小球飞行时间是 2s时，小球最高为 20m；（2）如图，中考数学模拟卷九含解析 由题意得：1520t5t2，解得：t11，t23，由图象得：当 1t3 时，h15，则小球飞行时间 1t3 时，飞行高度不低于 15m【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 27（2019北京中考模拟）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出ACC的面积最大值 【答案】（1）45；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（3）21【解析】（1）由对称得：CDCD，CDECDE，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，中考数学模拟卷九含解析 ADCD，F是AC的中点，DFAC，ADFCDF，FDPFDC+EDC12ADC45；（2）结论：BP+DP2AP，理由是：如图，作APAP交PD的延长线于P，PAP90，在正方形ABCD中，DABA，BAD90，DAPBAP，由（1）可知：FDP45 DFP90 APD45，P45，APAP，在BAP和DAP中，BADABAPDAPAPAP，BAPDAP（SAS），BPDP，DP+BPPP2AP；（3）如图，过C作CGAC于G，则SACC12ACCG，中考数学模拟卷九含解析 RtABC中，ABBC2，AC22(2)(2)2，即AC为定值，当CG最大值，ACC的面积最大，连接BD，交AC于O，当C在BD上时，CG最大，此时G与O重合，CDCD2，OD12AC1，CG21，SACC112(21)2122ACC G【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 28（2019江苏中考模拟）如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 C（0，3），与 x 轴分别交于点 A，点 B（3，0）点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点（1）求二次函数 y=ax2+2x+c 的表达式；（2）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形 POPC 为菱形，请求出此时点 P 的坐标；（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ACPB 的最大面积 中考数学模拟卷九含解析【答案】（1）y=x2+2x+3（2）（2+102，32）（3）当点 P 的坐标为（32，154）时，四边形ACPB的最大面积值为758 【解析】（1）将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得 9603,acc 解得13,ab 二次函数的解析式为 y=x2+2x+3；（2）若四边形 POPC 为菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上，如图 1，连接 PP，则 PECO，垂足为 E，C（0，3），30,2E，点 P 的纵坐标32，当32y 时，即23232xx，解得12210210.22xx，（不合题意，舍），点 P 的坐标为210 3,22；（3）如图 2，中考数学模拟卷九含解析 P 在抛物线上，设 P（m，m2+2m+3），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得 3303,kb 解得13.kb 直线 BC 的解析为 y=x+3，设点 Q 的坐标为（m，m+3），PQ=m2+2m+3（m+3）=m2+3m 当 y=0 时，x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，OA=1，314AB ，S四边形 ABPC=SABC+SPCQ+SPBQ 111,222AB OCPQ OFPQ FB 2114 333,22mm 23375228m，当 m=32时，四边形 ABPC 的面积最大 当 m=32时，215234mm，即 P 点的坐标为3 15,24 当点 P 的坐标为3 15,24时，四边形 ACPB 的最大面积值为758 中考数学模拟卷九含解析【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出 P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质 文末学习倡导书：学习不是三天打鱼，两天晒网。即使你拥有一个良好的学习心态和准确的学习方法，如果只是一曝十寒，没有坚持不懈的精神，那也无法达到学习的顶峰。我们要真正学到一点东西，就要虚心。譬如一个碗，如果已经装得满满的，哪怕再有好吃的东西，象海参，鱼翅之类，也装不进去，如果碗是空的，就能装很多东西。