半导体物理学第三章半导体中载流子统计分布

半导体 物理 Semiconductor physics 第三章第三章 半导体中载流子半导体中载流子 的统计分布的统计分布参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子。本征激发本征激发 电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴杂质电离杂质电离 在导电电子和空穴产生的同时，还存在与之相反的过程，即在导电电子和空穴产生的同时，还存在与之相反的过程，即电子也可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向电子也可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定的能量。晶格放出一定的能量。在一定温度下，载流子产生和复合的过程建立起动态在一定温度下，载流子产生和复合的过程建立起动态平衡，即平衡，即，称为热平衡状态。，称为热平衡状态。这时，半导体中的这时，半导体中的 导电电子浓度和空穴浓度都保持一导电电子浓度和空穴浓度都保持一个稳定的数值。处于热平衡状态下的导电电子和空穴称为个稳定的数值。处于热平衡状态下的导电电子和空穴称为热平衡载流子。热平衡载流子。实践表明，半导体的导电性与温度密切相实践表明，半导体的导电性与温度密切相关。实际上，这主要是由于半导体中的载流子关。实际上，这主要是由于半导体中的载流子浓度随温度剧烈变化所造成的。浓度随温度剧烈变化所造成的。所以，要深入了解半导体的导电性，必须所以，要深入了解半导体的导电性，必须研究半导体中载流子浓度随温度变化的规律。研究半导体中载流子浓度随温度变化的规律。因此，解决如何计算一定温度下，半导体因此，解决如何计算一定温度下，半导体中热平衡载流子浓度的问题成了本节的中心问中热平衡载流子浓度的问题成了本节的中心问题。题。本章重点o计算一定温度下本征和杂质半导体中热平计算一定温度下本征和杂质半导体中热平衡载流子浓度；衡载流子浓度；o探讨半导体中载流子浓度随温度变化的规探讨半导体中载流子浓度随温度变化的规律。律。o计算载流子浓度须掌握以下两方面的知识计算载流子浓度须掌握以下两方面的知识n允许的量子态按能量如何分布允许的量子态按能量如何分布n电子在允许的量子态中如何分布电子在允许的量子态中如何分布o热平衡态热平衡态n一定的温度下，两种相反的过程（产生和复一定的温度下，两种相反的过程（产生和复合）建立起动态平衡合）建立起动态平衡中心问题：中心问题：半导体中载流子浓度随温度变化的规律；半导体中载流子浓度随温度变化的规律；计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。主要内容：主要内容：状态密度状态密度费米能级和载流子的统计分布费米能级和载流子的统计分布本征半导体载流子浓度的计算本征半导体载流子浓度的计算杂质半导体载流子浓度的计算杂质半导体载流子浓度的计算简并半导体载流子浓度的计算简并半导体载流子浓度的计算3.1 状状 态态 密密 度度 假设在能带中能量假设在能带中能量E E与与E+dEE+dE之间的能量间之间的能量间隔隔dEdE内有内有量子态量子态dZdZ个，则定义个，则定义状态密度状态密度g g（E E）为：为：o状态密度状态密度o计算步骤计算步骤n计算单位计算单位k空间中的量子态数；空间中的量子态数；n计算计算dE能量范围所对应的能量范围所对应的k空间体积内的空间体积内的量子态数目；量子态数目；n计算计算dE能量范围内的量子态数；能量范围内的量子态数；n求得状态密度。求得状态密度。dEdZEg)(3.1.1 k空间中量子态的分布空间中量子态的分布o对于边长为对于边长为L的立方晶体的立方晶体pkx=2nx/L(nx=0,1,2,)pky=2 ny/L(ny=0,1,2,)pkz=2 nz/L(nz=0,1,2,)每个允许的能量状态在每个允许的能量状态在k空间中与由整空间中与由整数组（数组（nx，ny，nz）决定的一个代表点决定的一个代表点（kx，ky，kZ）相对应相对应k空间状态分布一个能量状态能容纳一个能量状态能容纳自旋相反的两个量子自旋相反的两个量子态。则在态。则在k空间中，电空间中，电子的允许量子态密度子的允许量子态密度是是2 V/83。此时一。此时一个量子态只能容纳一个量子态只能容纳一个电子个电子在在k空间中，每一代表点（一个能量状态）的体空间中，每一代表点（一个能量状态）的体积积=(2)3/L3=(2)3/V，则，则K空间中代表点的密空间中代表点的密度为度为V/83，即电子允许的能量状态密度为，即电子允许的能量状态密度为V/83。*222)(ncmkEkEdkkVdZ234822121*)()2(cnEEmkdEEEmVdkkVdZcn21323*223)()2(2482一、球形等能面情况 假设导带底在假设导带底在k=0处，且处，且 2*dEmkdkn21323*2)()2(2)(cncEEmVdEdZEg则则利用利用21323*2)()2(2)(EEmVdEdZEgvpv同理，可推得同理，可推得价带顶状态密度：价带顶状态密度：计算能量在计算能量在E=EC到到E=EC+100(h2/8Mn*L2)之之间单位体积中的量子态数间单位体积中的量子态数二、旋转椭球等能面情况二、旋转椭球等能面情况导带底状态密度导带底状态密度价带顶状态密度Mdp为空穴态密度有效质量为空穴态密度有效质量21323*2)()2(2)(cncEEmVdEdZEg状态密度状态密度g gC C（E E）和和g gV V（E E）与与能量能量E E有抛物线关系，还与有有抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的效质量有关，有效质量大的 能带中的状态密度大。能带中的状态密度大。费米能级和载流子的统计分布费米能级和载流子的统计分布3.2 费米能级和载流子统计分布载流子浓度的求解思路：载流子浓度的求解思路：假设已知导带（价带）中单位能量间隔含有的假设已知导带（价带）中单位能量间隔含有的状态数为状态数为gc(E)导带（价带）的状态密度。导带（价带）的状态密度。还有对于多粒子系统应考虑粒子的统计分布：还有对于多粒子系统应考虑粒子的统计分布：能量为能量为E的每个状态被电子占有的几率为的每个状态被电子占有的几率为f(E)，即要考虑电子在不同能量的量子态的统计分布。即要考虑电子在不同能量的量子态的统计分布。所以，在能量所以，在能量dE内的状态具有的电子数为：内的状态具有的电子数为：f(E)gc(E)dE。一、费米（一、费米（Fermi）分布函数与费米能级分布函数与费米能级1.费米分布函数费米分布函数 电子遵循费米电子遵循费米-狄拉克（狄拉克（Fermi-Dirac）统计分布规律。统计分布规律。能量为能量为E的一个独立的电的一个独立的电子态被一个电子占据的几率子态被一个电子占据的几率为为 K0玻尔兹曼常数，玻尔兹曼常数，T绝对温度，绝对温度，EF费米能级费米能级o费米能级的物理意义：化学势费米能级的物理意义：化学势n当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能的变化等于系统的化学势也即为系统的费米能级的变化等于系统的化学势也即为系统的费米能级n处于热平衡状态的系统有统一的化学势，则处于处于热平衡状态的系统有统一的化学势，则处于热平衡的状态的电子系统有统一的费米能级热平衡的状态的电子系统有统一的费米能级TFNFE)(2、费米能级、费米能级EF的意义的意义T=0:当当EEF时，时，fF(E)=0,T0:当当EEF时，时，1/2 fF(E)EF时，时，0fF(E)EF时时量子态基本上没有被电子占据，量子态基本上没有被电子占据，当当Ek0T时时,kTEkTEkTEEEfFFBexpexpexp费米和玻耳兹曼分布函数费米和玻耳兹曼分布函数三、空穴的分布函数三、空穴的分布函数空穴的费米分布函数和空穴的费米分布函数和波尔兹曼分布函数波尔兹曼分布函数当当 EF-Ek0T时时,kTEkTEkTEEEfFFexpexpexp1 上式给出的是能级比上式给出的是能级比EF低很多的量子态低很多的量子态,被被空穴占据的几率空穴占据的几率.在电子能级图中在电子能级图中,电子从低能级跳到高能级电子从低能级跳到高能级,相当于空穴从高能级跳到低能级相当于空穴从高能级跳到低能级,所以在越高的所以在越高的电子能级上空穴的能量越低电子能级上空穴的能量越低.空穴占据高的电子空穴占据高的电子能级，也就是空穴在能量低的能级的几率大，能级，也就是空穴在能量低的能级的几率大，因而，和因而，和Boltzman分布完全一致。分布完全一致。kTEkTEkTEEEfFFBexpexpexp kTEkTEkTEEEfFFexpexpexp1波尔兹曼分布函数波尔兹曼分布函数u常遇到的半导体的费米能级常遇到的半导体的费米能级E EF F位于禁带位于禁带中，并且离价带和导带的距离远大于中，并且离价带和导带的距离远大于k k0 0T Tu在导带中，在导带中，E-EE-EF Fkk0 0T T，则导带中的电，则导带中的电子服从波尔兹曼分布，且随着子服从波尔兹曼分布，且随着E E的增大，的增大，概率迅速减少，所以导带中绝大多数电子概率迅速减少，所以导带中绝大多数电子分布在导带底附近分布在导带底附近u在价带中，在价带中，E EF F-Ek-Ek0 0T T，则空穴服从波，则空穴服从波尔兹曼分布，且随着尔兹曼分布，且随着E E的增大，概率迅速的增大，概率迅速增加，所以价带中绝大多数空穴分布在价增加，所以价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近。带顶附近。特征：特征：服从服从Boltzmann分布的电子系统分布的电子系统 非简并系统非简并系统相应的半导体相应的半导体非简并半导体非简并半导体服从服从Fermi分布的电子系统分布的电子系统 简并系统简并系统 相应的半导体相应的半导体简并半导体简并半导体四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度本征载流子的本征载流子的产生与复合产生与复合在一定温度在一定温度T T下，产生过程与复合过程之间处于下，产生过程与复合过程之间处于动态的平衡，这种动态的平衡，这种状态状态就叫就叫热平衡状态。热平衡状态。处于处于热平衡状态热平衡状态的载流子的载流子n n0 0和和p p0 0称为称为热平衡载流热平衡载流子浓度子浓度.它们保持着一定的数值。它们保持着一定的数值。o计算步骤计算步骤n计算计算EE+dE之间的量子态数；之间的量子态数；n计算计算EE+dE之间的被电子占据的量子态数；即为之间的被电子占据的量子态数；即为EE+dE之间的电子数之间的电子数n计算整个导带中的电子数；计算整个导带中的电子数；n再求得单位体积中的电子数，即为电子浓度。再求得单位体积中的电子数，即为电子浓度。热平衡下，热平衡下，n0为单位体积中的电子数，即为单位体积中的电子数，即为电子浓度。为电子浓度。P0为单位体积中的空穴数，为单位体积中的空穴数，即为空穴浓度即为空穴浓度导带中的电子浓度导带中的电子浓度dEEgEfdNcB)()(dEEETkEEmVdNcFn210323*2)(exp()2(2VdNdn 利用利用X=(E-EC)/k0T0210230323*2)exp()()2(21dxexTkEETkmxFCndEEETkEEmCFnEECC210323*2)(exp()2(21利用利用)exp()2(202320*0TkEETkmnFCn)exp()2(202320*0TkEETkmpFVpTkEENnFCC00exp NC称为称为导带的有效状态密度导带的有效状态密度.导带电子浓度可理解为导带电子浓度可理解为:导带底状态密度为导带底状态密度为NC ,电电子占据几率为子占据几率为f(EC),导带中电子浓度导带中电子浓度n为为NC中电子占据中电子占据的量子态数目的量子态数目.整个价带的空穴浓度为整个价带的空穴浓度为TkEENpVFV00expNV称为称为价带的有效状态密度价带的有效状态密度.价带空穴浓度可理解为价带空穴浓度可理解为:所有空穴集中在价带所有空穴集中在价带顶顶EV上，其上空穴占据的状态数为上，其上空穴占据的状态数为NV个个.对于三种主要的半导体材料对于三种主要的半导体材料,在室温在室温(300(300K)情情况下况下,它们的有效状态密度的数值列于下表中它们的有效状态密度的数值列于下表中.导带和价带有效状态密度导带和价带有效状态密度(300(300K)（见课本（见课本P77P77）Si Ge GaAs NV(cm-3)NC(cm-3)19108.2191005.118101.8 19101.1 18109.317105.4可以见到：可以见到：NcT3/2和和Nv T3/2浓度随温度和费米能不同而变，温度的影响一方面浓度随温度和费米能不同而变，温度的影响一方面来自有效状态密度；最主要是来自分布函数。来自有效状态密度；最主要是来自分布函数。由上式可知：由上式可知：（2）当温度）当温度T一定，材料不同一定，材料不同时时n0p0仅仅与材料禁带宽度仅仅与材料禁带宽度有关有关（1）当材料一定时，）当材料一定时，n0p0仅仅随仅仅随T而变化而变化载流子浓度的乘积载流子浓度的乘积非简并半导体非简并半导体热平衡载流子热平衡载流子浓度的普遍表浓度的普遍表示式示式一一.电中性条件电中性条件u 所谓所谓本征半导体本征半导体，就是完全没有杂质和缺陷的半，就是完全没有杂质和缺陷的半导体。导带中的电子都是由价带激发得到的，（只有导体。导带中的电子都是由价带激发得到的，（只有导带和价带，禁带中没有杂质能级）。导带和价带，禁带中没有杂质能级）。u 当当T=0时，价带是满带，导带是空带，当时，价带是满带，导带是空带，当T0k时，时，电子从价带激发到导带，称为电子从价带激发到导带，称为本征激发本征激发。u 由于电子总数不变，则导带中的电子浓度等于价由于电子总数不变，则导带中的电子浓度等于价带中的空穴浓度，即带中的空穴浓度，即通常称通常称-en+ep=0为电中性条件或为电中性条件或电中性方程电中性方程00pn 在任何温度下在任何温度下,要求半导体保持电中性条件要求半导体保持电中性条件,同保持同保持电子总数不变的条件是一致的电子总数不变的条件是一致的.3.3 本征半导体的 载流子浓度在热平衡态下，半导体是电中性的：在热平衡态下，半导体是电中性的：n0=p0 (1)即得到即得到:CVVCFiNNkTEEEEln2121Ei表示本征半导体的费米能级表示本征半导体的费米能级.CVNN当当,VCiEEE21,Ei恰好位于禁带中央恰好位于禁带中央.(图）图）实际上实际上NC和和NV并不相等并不相等,是是1的数量级的数量级.所所以以Ei在禁带中央上下约为在禁带中央上下约为kT的范围之内的范围之内CVNNlnEcEiEv本征半导体 在室温下在室温下(300K)evTk026.00它与半导体的禁带宽度相它与半导体的禁带宽度相比还是很小的，如：比还是很小的，如：Si的的Eg1.12 eV。例例:室温时硅室温时硅(Si)的的Ei就位于禁带中央之下约为就位于禁带中央之下约为的地方的地方.也有少数半导体也有少数半导体,Ei相对于禁带中央的相对于禁带中央的偏离较明显偏离较明显.如如在室温下在室温下,本征费米能级移向导带本征费米能级移向导带InSb，将将E Ei i=E=EF F带入上式得到带入上式得到:（5）由（由（5 5）式）式 可以见到：可以见到：1 1、温度一定时，、温度一定时，EgEg大的材料，大的材料，n ni i小；小；2 2、对同种材料，、对同种材料，n ni i随温度随温度T T按指数关系上升。按指数关系上升。下表中列出室温下硅、锗、砷化镓三种半导体材下表中列出室温下硅、锗、砷化镓三种半导体材料的禁带宽度和本征载流子浓度的数值料的禁带宽度和本征载流子浓度的数值.在室温下在室温下(300K),Si、Ge、GaAs的本征载流子浓度和禁带宽度的本征载流子浓度和禁带宽度 Si Ge GaAs ni(cm-3)Eg(eV)1.12 0.67 1.43101002.17101.1 131033.2 我们把载流子浓度的乘积我们把载流子浓度的乘积npnp用本征载流子浓度用本征载流子浓度n ni i表示出来表示出来,得得200inpn 在热平衡情况下在热平衡情况下,若已知若已知n ni i和一种载流子浓度和一种载流子浓度,则可以利用上式求出另一种载流子浓度则可以利用上式求出另一种载流子浓度.u 实际中，半导体中总是含有一定量的实际中，半导体中总是含有一定量的杂质和缺陷的。欲使载流子来源于本征激发，杂质和缺陷的。欲使载流子来源于本征激发，就的控制杂质含量。就的控制杂质含量。u 一般的半导体器件，载流子主要来源一般的半导体器件，载流子主要来源于杂质电离，而将本征激发忽略。于杂质电离，而将本征激发忽略。u 在一定的温度范围内，如果杂质全部在一定的温度范围内，如果杂质全部电离，载流子浓度稳定，器件稳定工作。电离，载流子浓度稳定，器件稳定工作。u 本征材料载流子浓度随温度变化迅速，本征材料载流子浓度随温度变化迅速，用此作器件性能很不稳定。用此作器件性能很不稳定。Si Ge GaAs T/K520370720 Eg(eV)1.12 0.67 1.43Si、Ge、GaAs 制作器件的极限工作温度制作器件的极限工作温度3.4 杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴一、杂质能级上的电子和空穴杂质能级杂质能级 最多只能容纳某个自旋方向的电子。最多只能容纳某个自旋方向的电子。施主浓度施主浓度:N ND D 受主浓度受主浓度:N NA A（1 1）杂质能级上未离化的载流子浓度）杂质能级上未离化的载流子浓度n nD D和和p pA:A:（2 2）电离杂质的浓度）电离杂质的浓度特点：特点：1.当当ED-EFK0T时，可以认为施主杂时，可以认为施主杂质几乎全部电离，反之，施主杂质基质几乎全部电离，反之，施主杂质基本没电离；本没电离；2.当当ED=EF,施主杂质有施主杂质有1/3电离，还有电离，还有2/3没电离；没电离；3.同理可得出受主杂质电离情况。同理可得出受主杂质电离情况。1exp10TkEEgNfNnNndFddddddD1exp0TkEEgNfNpNpFaaaaaaaA深能级杂深能级杂质？质？二、二、n型半导体的载流子浓度型半导体的载流子浓度 假设只含一种假设只含一种n n型杂质。在热平衡条件下，半导型杂质。在热平衡条件下，半导体是电中性的：体是电中性的：n n0 0=p=p0 0+n+nD D+（7 7）当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化n型型Si中电子浓度中电子浓度n与温度与温度T的关系：的关系：杂质离杂质离化区化区过渡区过渡区本征激本征激发区发区1、杂质离化区、杂质离化区特征特征：本征激发可以忽略，本征激发可以忽略，p0 0 导带电子主要由电离杂质提供。导带电子主要由电离杂质提供。电中性条件电中性条件 n0=p0+nD+可近似为可近似为 n0=nD+（9）（1）低温弱电离区：）低温弱电离区：特征：特征：nD+ND 弱电离弱电离 费米能在费米能在何处？何处？n no o与温度的关系与温度的关系(2)(2)中间弱电离区：本征激发仍略去，随着温度中间弱电离区：本征激发仍略去，随着温度T T的的增加，增加，n nD D+已足够大，故直接求解方程已足够大，故直接求解方程(8)(8)（3）强电离区：）强电离区：特征：杂质基本全电离特征：杂质基本全电离 n nD D+NND D电中性条件简化为电中性条件简化为 n n0 0=N=ND D饱和饱和区？区？这时这时注：强电离与弱电离的区分：注：强电离与弱电离的区分：决定杂质全电离（决定杂质全电离（n nD D+90%N90%ND D）的因素：的因素：1 1、杂质电离能；、杂质电离能；2 2、杂质浓度。、杂质浓度。在室温时，在室温时，n nD D+NND D当当杂质浓度杂质浓度1010n ni i时，才保持以杂质电离为主时，才保持以杂质电离为主 。)exp()2(0TkENDNDCD施主杂质全部电离施主杂质全部电离的杂志浓度上限的杂志浓度上限2 2、过渡区：、过渡区：特征：（特征：（1 1）杂质全电离）杂质全电离 n nD D+=N=ND D （2 2）本征激发不能忽略本征激发不能忽略电中性条件：电中性条件：n n0 0=N=ND D+p+p0 0TkEEnnFii00expTkEEnpFii00exp利用利用)2(0iDiFnNTarcshkEE计算载流子浓度计算载流子浓度02020iDnnNn讨论：显然：显然：n0p0，这时的过渡区接这时的过渡区接近于强电离区。近于强电离区。多数载流子（多数载流子（多子多子）n0 少数载流子（少数载流子（少子少子）p03 3、高温本征激发区、高温本征激发区3.5 一般情况下（即杂质补偿情况）的一般情况下（即杂质补偿情况）的载流子统计分布（自学）载流子统计分布（自学）)ln(0CDCFNNTkEE)ln(0CADCFNNNTkEEN型半导体在饱和区时型半导体在饱和区时 3.6 简并（重掺杂）半导体简并（重掺杂）半导体CDNNCADNNN当当费米能及进入导带，说明掺杂很高，导带费米能及进入导带，说明掺杂很高，导带底附近基本被电子占据，同理可以知道底附近基本被电子占据，同理可以知道p型半导体重掺杂的情况。型半导体重掺杂的情况。重掺杂情况下，载流子服从费米分布，重掺杂情况下，载流子服从费米分布，称为简并半导体。称为简并半导体。)(2210FNnC)(2210FNpV1、简并化条件：、简并化条件：(1)Ec-EF2k0T 非简并 服从波尔兹曼分布(2)0 Ec-EF2k0T 弱简并弱简并(3)Ec-EF0 简简 并并 服从费米分布服从费米分布2、低温载流子冻析现象、低温载流子冻析现象3、禁带变窄效应、禁带变窄效应,负阻效应的隧道二极管就是利用重掺负阻效应的隧道二极管就是利用重掺杂的半导体做的杂的半导体做的pn结结1.试分别定性定量说明：在一定的温度下，试分别定性定量说明：在一定的温度下，对本征材料而言，材料的禁带宽度越窄，对本征材料而言，材料的禁带宽度越窄，载流子浓度越高；对一定的材料，当掺杂载流子浓度越高；对一定的材料，当掺杂浓度一定时，温度越高，载流子浓度越高。浓度一定时，温度越高，载流子浓度越高。例题讲解：例题讲解：2.若两块若两块Si样品中的电子浓度分别为样品中的电子浓度分别为2.251010cm-3和和6.81016cm-3，试分别求出其中的空穴的浓度和费米能，试分别求出其中的空穴的浓度和费米能级的相对位置，并判断样品的导电类型。假如再在其级的相对位置，并判断样品的导电类型。假如再在其中都掺入浓度为中都掺入浓度为2.251016cm-3的受主杂质，这两块样的受主杂质，这两块样品的导电类型又将怎样？品的导电类型又将怎样？3.含受主浓度为含受主浓度为8.0106cm-3和施主浓度为和施主浓度为7.251017cm-3的的Si材料，试求温度分别为材料，试求温度分别为300K和和400K时此材料的载流子浓度和费米能级的相对位置。时此材料的载流子浓度和费米能级的相对位置。作业作业