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D),(yxfz V曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积iiniif ),(10lim 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质xzyO),(ii ),(iif i 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 Dyxf d),(i ii i iiii )2(21iiiii 2)(iii 两相邻弧半径平均值两相邻弧半径平均值.i 内取圆周内取圆周上一点上一点其直角坐标其直角坐标,ii),(ii iii 2)(21ii 221则则设为设为二重积分的计算法二重积分的计算法二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分OADi ii i ),(ii i 得得 iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),(Dyxyxfdd),(也即也即 dd极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素,cosiii iiii Df dd)sin,cos(Df dd)sin,cos(nif1(,cosii iii )sinii 0lim 二重积分的计算法二重积分的计算法iiisin )(1 )(2 Df dd)sin,cos(1)积分区域积分区域D:,)()(21 AO)(1 )(2 D d)(1 d)sin,cos(f)(2 二重积分的计算法二重积分的计算法OADD )(0d)sin,cos(d f(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):,)(0 Df dd)sin,cos(AOAO 二重积分的计算法二重积分的计算法D)()(Df dd)sin,cos()(020d)sin,cos(d f极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积 D dd(3)积分区域积分区域D:,20 )(0 DoA)(注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:积分积分再对再对先对先对 二重积分的计算法二重积分的计算法二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质例计算2222(ax+by),:DD xyR1994年研究生考题年研究生考题,填空填空,3分分yxbyaxRyxDDdd,2222222 则则为圆域为圆域设设)(yxbyaxDdd2222 解解 dsincosd20222220 Rba 2241141baR 极坐标极坐标二重积分的计算法二重积分的计算法解解yxeDyxdd22 ae020dd2 )1(2ae a例例 计算计算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下:D,20 a 0二重积分的计算法二重积分的计算法xOyR2解解0,0,|),(2221 yxRyxyxD0,0,2|),(2222 yxRyxyxD0,0|),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常积分求反常积分.d02xex 例例显然有显然有21DSD 二重积分的计算法二重积分的计算法 122ddDyxyxeR1DS2DyxO Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re yxeDyxdd22 )1(2ae 222:ayxD 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 二重积分的计算法二重积分的计算法0,0,|),(2221 yxRyxyxD0,0,2|),(2222 yxRyxyxD对称性对称性质质0,0|),(RyRxyxS ,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 概率积分概率积分夹逼定理夹逼定理,时时当当 R,时时故当故当 R即即4)d(202 Rxxe所求反常积分所求反常积分2d02 xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI二重积分的计算法二重积分的计算法将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分:22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解 2120d)sin,cos(df原式原式=2 r21 r1二重积分的计算法二重积分的计算法计算二重积分计算二重积分,dd)sin(22)(22 DyxyxyxeI 二重积分的计算法二重积分的计算法2003年研究生考题年研究生考题(数学三、四数学三、四)计算计算,8分分其中积分区域其中积分区域.),(22 yxyxD答案答案).1(2 eI 解解)(2)(222222yxayx 222ayx 双纽线双纽线求曲线求曲线)0()(2)(222222 ayxayx222ayx 和和所围成的图形的面积所围成的图形的面积.例例根据对称性有根据对称性有14DD 在极坐标系下在极坐标系下1Da 2cos2a 二重积分的计算法二重积分的计算法xyO由由 aa 2cos2得交点得交点)6,(aA yxdd)33(2 a Dyxdd 2cos20dd46aa41D面积面积A03 yx解解32 61 4sinr 2sinr yxyxDdd)(22 dd2rr r)32(15 03 xy计算计算,dd)(22yxyxD 为由圆为由圆其中其中D所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例yyxyyx4,22222 及直线及直线,03 yx03 xy sin4 sin26 3 xOyyyx222 yyx422 三叶玫瑰线三叶玫瑰线求曲线求曲线)0()3()(23222axyxayx所围成的图形的面积所围成的图形的面积.思考题思考题二重积分的计算法二重积分的计算法 计算计算截下一块（圆柱面部分）截下一块（圆柱面部分），求，求 （体积）（体积）二重积分的计算法二重积分的计算法22224(0)xyzRz被被222xyRxV 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定再确定交换积分次交换积分次1.交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式,并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2.如被积函数为如被积函数为圆环域或者它们的部分时圆环域或者它们的部分时,或积分域为或积分域为),(22yxf),(22yxf),(xyf)(arctanxyf圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;二重积分的计算法二重积分的计算法 3.注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时,应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域,使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号,以消除被积函以消除被积函二重积分的计算法二重积分的计算法例例 计算计算,d)1(2322 DyxyI10,10:yxD 分析分析 从被积函数看从被积函数看,用极坐标系要简单些用极坐标系要简单些,但从积分域但从积分域D的形状看的形状看为宜为宜.用却又以直角坐标系用却又以直角坐标系在两者不可兼得的情况下在两者不可兼得的情况下,应以应以D的形状的形状来决定用什么坐标系来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系此题用直角坐标系.xyo)1,0()0,1(D二重积分的计算法二重积分的计算法 101021 d)1(2322 DyxyIxyxd11101022 xxxd)1121(2102 3122ln 二重积分的计算法二重积分的计算法xyo)1,0()0,1(xd232222)1()1(dyxyx 三、三、二重积分的换元法二重积分的换元法设被积函数设被积函数),(yxf在区域在区域D上连续上连续,若变换若变换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件:(1)的点的点平面上的区域平面上的区域将将 DuOv一对一地变为一对一地变为D上的点上的点;(2),(),(vuyvux上上在在 D有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式 ),(),(vuyxJvyuyvxux Dyxf d),(0 f D),(vux),(vuy|Jvudd二重积分的计算法二重积分的计算法,1的形状的形状于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决D基本要求基本要求.2 注意注意变换后定限简便变换后定限简便,的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数),(yxf的性质的性质J ),(),(vuyxJ),(),(1yxvu 求积容易求积容易二重积分的计算法二重积分的计算法例例解解,dd12222yxbyaxD 计计算算 20,0,0,0 ba其其中中 sincosbyax在这变换下在这变换下所围成的闭区域所围成的闭区域.12222 byaxD20,10),(rD D二重积分的计算法二重积分的计算法xyO其中其中D为椭圆为椭圆作作广义极坐标广义极坐标变换变换 ),(),(yxJ,0处处为为零零内内仅仅当当在在 rDJ yxbyaxDdd12222ab 32 ab sincosbyax yyxx故换元公式仍成立故换元公式仍成立,DDvuJvuyvuxfyxyxfdd),(),(dd),(21 ab dd D 10220d1d ab极坐标极坐标二重积分的计算法二重积分的计算法 DxyO例例解解轴和轴和轴、轴、由由其中其中计算计算yxDyxeDxyxy,dd ,2uvx Dxyo2 yx Duvo0 y2 yx.2所围成的闭区域所围成的闭区域直线直线 yx,xyu 令令xyv 则则2uvy 即即0 xvu vu vu 2 vvu 2 vDD二重积分的计算法二重积分的计算法),(),(vuyxJ ,21 Dxyxyyxedd vvvuuevdd2120 201d)(21vvee1 ee2,2uvyuvx 21212121 vyuyvxux uvovu vu 2 v D Dvue故故vudd21 二重积分的计算法二重积分的计算法,)(为连续函数为连续函数设设tf证明证明 Daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2|,2|aayaxD常数常数为矩形域：为矩形域：其中其中xoy证证2ax 2a2a2a 法一法一 Dyxyxfdd)(2222d)(daaaayyxfxtyx 22daaxtydd 2ax 2a ttfd)(交换积分次序交换积分次序xot2a 2a2a2a xttfdd)(xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a累次积分累次积分D二重积分的计算法二重积分的计算法 xttfdd)(xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a 0d)(atattf atattf0d)(aattatfd|)|)(Daattatfyxyxfd|)|)(dd)(:证明证明 0d)|)(atattf atattf0d)|)(二重积分的计算法二重积分的计算法aa a a,)(为连续函数为连续函数设设tf证明证明 Daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2|,2|aayaxD常数常数为矩形域：为矩形域：其中其中法二法二xoy2a2a2a 2a D令令,yxu yxv 则则 DD:D,avua auva ),(),(vuyxJ D21),(),(1 yxvuuov二重积分的计算法二重积分的计算法故故 Dyxyxfdd)(Dvuufdd21)(21 J,yxu .yxv aa a auov对称性对称性 00dd)(21auavuuf Davu avu auavuuf00dd)(21 2 0d)()(auufua auufua0d)()(0d)(|)|(auufua auufua0d)(|)|(aattatfd|)|)(二重积分的计算法二重积分的计算法 DDvuJvuyvuxfyxyxfdd),(),(dd),(二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算公式二重积分在极坐标系下的计算公式(注意使用对称性注意使用对称性)二重积分的计算法二重积分的计算法四、小结四、小结(注意正确选择积分次序注意正确选择积分次序,掌握交换积分次序掌握交换积分次序的方法的方法)恰当选择坐标系计算二重积分恰当选择坐标系计算二重积分(注意选择的原则注意选择的原则)思考题思考题11995年考研数学年考研数学(一一)5分分 10,d)(,1,0)(Axxfxf并设并设上连续上连续在在设设.d)()(d110yyfxfxx 求求解解 xyyfxxf010d)(d)(令令yyfxfxIxd)()(d110 不能直接积出不能直接积出,1d)(xyyf改变积分次序改变积分次序.yxyfxfy010d)()(dxy )1,1(xoy交换交换与与yx yxxfyyf010d)(d)(法一法一二重积分的计算法二重积分的计算法 I xyyfxxf010d)(d)(10d)(xxf.22AI xyyfxxfI010d)(d)(yyfxfxIxd)()(d110 故故 I2 110d)(d)(xyyfxxfd)()(10yyfxx 10,d)(,1,0)(Axxfxf并设并设上连续上连续在在设设.)()(110dyyfxfdxx 求求 110d)(d)(xyyfxxf2A二重积分的计算法二重积分的计算法 1010yyfxxfd)(d)(
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