材料力学：第3章 扭转-f

1231 概述概述 32 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转33 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件36 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能37 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形38 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力和变形开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力和变形第三章第三章 扭扭 转转 331 概概 述述 扭转变形：扭转变形：a）工程中有一类等直杆，所受外力是作用在垂）工程中有一类等直杆，所受外力是作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶，这时发生的变形为扭转变形。直于杆轴线的平面内的力偶，这时发生的变形为扭转变形。B）单纯发生扭转的杆件不多，但以扭转为主要变形的很）单纯发生扭转的杆件不多，但以扭转为主要变形的很多。多。C）若杆件的变形以扭转为主，而其它变形可忽略，）若杆件的变形以扭转为主，而其它变形可忽略，则可按扭转变形进行强度和刚度计算。则可按扭转变形进行强度和刚度计算。特征：特征：1 1）外力的合力为一力偶，2）力偶的作用面与直杆的轴线垂直。ABOmmOBA4工工 程程 实实 例例例如：例如：机器中的传机器中的传动轴、动轴、水轮发动机水轮发动机主轴、主轴、石油钻机中石油钻机中的钻杆等的钻杆等。5 由于使直杆发生扭转的外力，是作用面垂直于杆件轴线由于使直杆发生扭转的外力，是作用面垂直于杆件轴线的外力偶系，在这种外力偶作用下，杆件表面的纵向线的外力偶系，在这种外力偶作用下，杆件表面的纵向线将变成螺旋线将变成螺旋线（即发生扭转变形）（即发生扭转变形）。简单计算简图如图。简单计算简图如图所示所示 当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可以用材料力学的方法求解。几何形状的极对称性，就可以用材料力学的方法求解。对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，不能用材料力学的方法和横截面上的应力都比较复杂，不能用材料力学的方法求解。求解。6 相比而言，等直圆杆扭转时的应力和变形比较复杂，等直薄壁圆筒扭转时的应力和变形则简单得多。在求解等直圆杆扭转时的应力和变形前，有必要先研究薄壁圆筒的扭转，介绍有关切应力、切应变及其关系等基本概念（扭（扭转变形中的胡克定律）转变形中的胡克定律）。薄壁圆筒扭转时的应力和变形分析薄壁圆筒扭转时的应力和变形分析是是求解求解等直圆杆扭转时的应力和变形的基础等直圆杆扭转时的应力和变形的基础。32 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 7 设一薄壁圆筒的壁厚设一薄壁圆筒的壁厚 远小于其远小于其平均半径平均半径r0（r0/10），其两），其两端面承受产生扭转变形的端面承受产生扭转变形的外力外力偶矩偶矩Me。由截面法，圆筒任一横截面由截面法，圆筒任一横截面n-n上的内力将是作用在该截面上上的内力将是作用在该截面上的力偶的力偶（b），该，该内力偶矩内力偶矩称为称为扭矩，用扭矩，用T表示。表示。横截面上的应力与微面积横截面上的应力与微面积dA的的乘积的合成等于截面上的扭矩，乘积的合成等于截面上的扭矩，横截面上的应力只能是切应力横截面上的应力只能是切应力（？因杆无伸长或压缩？因杆无伸长或压缩）。）。32 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 8 为得到沿横截面圆周上各点处切应为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，可在圆筒表面画上力的变化规律，可在圆筒表面画上等间距的圆周线和纵向线，形成一等间距的圆周线和纵向线，形成一系列方格子。系列方格子。在圆筒两端施加外力偶矩在圆筒两端施加外力偶矩Me后，可后，可发现圆周线保持不变，而纵向线发发现圆周线保持不变，而纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持为直线生倾斜，在小变形时仍保持为直线（大变形时为螺旋线）。（大变形时为螺旋线）。因此可设想薄壁圆筒扭转变形后，因此可设想薄壁圆筒扭转变形后，横截面仍保持为大小、形状都无改横截面仍保持为大小、形状都无改变的平面，变的平面，相邻的两个横截面只是相邻的两个横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动绕圆筒轴线发生相对转动，因此，因此横横截面上截面上（不仅是圆周！）（不仅是圆周！）各点处的各点处的切应力切应力 的方向必与圆周相切的方向必与圆周相切。9mm OBA扭转角（扭转角（）：）：圆筒两端横截面之间绕轴线相对圆筒两端横截面之间绕轴线相对 转动而发生的角位移。转动而发生的角位移。切应变（切应变（）：）：圆筒表面上每个格子的直角都改圆筒表面上每个格子的直角都改 变了相同角度，变了相同角度，该直角的改变量该直角的改变量 称为称为切应变切应变。10 单位长度的扭转角 与杆的长度无关。但与材料性质，扭矩、截面几何性质有关。切应变 与横截面上沿圆周切线方向的切应力 相对应。由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，且根据材料连续性假设，可推知沿圆周各点处的切应力不仅方向与圆周相切，而且数值必相等。32 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 切应力沿壁厚方向的变化规律：切应力沿壁厚方向的变化规律：由于壁厚由于壁厚 远小于远小于圆筒平均半径，可近似认为沿壁厚方向圆筒平均半径，可近似认为沿壁厚方向（即径向）（即径向）各点处的切应力数值无变化。各点处的切应力数值无变化。11TrdAAdA：薄壁圆筒横截面上各点处的微面积。r：薄壁圆筒横截面上各点处的半径。由于薄壁圆筒扭转时横截面上任一点处的切应力 都相等，其方向与圆周相切。于是，根据内力与应力间的静力关系，即力的平衡法则，得到内力扭矩扭矩T与切应力与切应力 的关系为：的关系为：内力平衡法则1202ATA0=r02，平均半径所作圆的面积。1.对于薄壁圆筒，横截面上各点处的半径相差极小，故r可用其平均半径r0表示（r=r0）。2.积分3.薄壁圆筒上各点处的切应力为等值的常量。TrdAAT=(2r0)r0=2r02 =T/(2r02)0121221222)(rrrrrrrAdAA0r r2r113根据做图所示的几何关根据做图所示的几何关系，且扭转变形量很小系，且扭转变形量很小（即（即 与与 很小），所，所以，以，与与 的关系为：的关系为：r：为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径 L=r=r/L 或或 与与 的关系的关系 Lr14剪切胡克定律剪切胡克定律通过薄壁圆筒通过薄壁圆筒的扭转实验发的扭转实验发现：现：当外力偶当外力偶矩矩Me在某一范在某一范围之内时，相围之内时，相对扭转角对扭转角 与外与外力偶矩力偶矩Me之间之间成正比（左图）成正比（左图）Me MeMe0101r15 根据力的平衡法则，内力偶矩（扭矩扭矩）T=Me)/()2(0rLAT剪切虎克定律：剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极当切应力不超过材料的剪切比例极限时限时（p)，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。外力偶矩在某一范围内外力偶矩在某一范围内Tr：薄壁圆筒外半径薄壁圆筒外半径A0、L、r均为常量均为常量16G式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量切变模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同。不同材料的G值必须通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。注意：注意：剪切胡克定律方程式只有在切应力不超过材料的剪切胡克定律方程式只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。某一极限值时才是适用的。该极限值称为材料的剪切比该极限值称为材料的剪切比例极限例极限 p p。引入比例常数引入比例常数G，得到：，得到：1733 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 工程中常用的传动轴，往工程中常用的传动轴，往往只知道它传递的功率和往只知道它传递的功率和转速，需要根据功率和转转速，需要根据功率和转速，求出使轴发生扭转的速，求出使轴发生扭转的外力偶矩。外力偶矩。设一传动轴转速为设一传动轴转速为n，轴，轴传递的功率传递的功率p（单位为（单位为kW）由主动轮输入，然后通由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去（左上过从动轮分配出去（左上图）。图）。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 181.先假设轴处于稳先假设轴处于稳定转动状态。定转动状态。2.因此，外力偶因此，外力偶Me在在t秒内所做的功秒内所做的功等于其矩等于其矩Me与轮与轮在在t秒钟内的转角秒钟内的转角 的乘积的乘积。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 P P为轮传递的功率，在工程实际中的常用单位为为轮传递的功率，在工程实际中的常用单位为kWkWn n为轴的转速为轴的转速,单位单位r/minr/min602 nt rad=radian弧度 r=round 转 19 传动轴的外力偶矩与传递功率、转速的关系：其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）mNnPMrkWe.1055.9min/3对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，而，而从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 20扭矩：扭矩：是构件受扭时横截面上的内力偶矩，记作“T”。作用于传动轴上的外力作用于传动轴上的外力偶往往有多个，各个轴段偶往往有多个，各个轴段上的扭矩也各不相同，上的扭矩也各不相同，可可用截面法，根据力的平衡用截面法，根据力的平衡法则，来计算各轴段横截法则，来计算各轴段横截面上的扭矩。面上的扭矩。MTMTMx00MeMeMeTx扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图213 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向离开截面离开截面时，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定扭矩符号规定：mITImIITmITImIITTT224 扭矩扭矩图图：表示表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。目目 的的给出各轴段扭矩的值；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT扭矩扭矩图图绘制方法：绘制方法：与轴力图的绘制方法相仿。与轴力图的绘制方法相仿。数值数值2324例例1 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm，mB10kNm,mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。AmBmCm1122轮轮轴轴轴承轴承6KNm4KNm25例例2已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C DM2 M3 M1 M4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555.911nPMm)(kN 78.43001509.5555.9232nPMMm)(kN 37.63002009.5555.944nPM26nA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78.4 0 ,02121MTMTMCmkN56.9)78.478.4(,0 322322MMTMMTmkN37.6 ,0 4243MTMT27绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max.TBC段为危险截面段为危险截面xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.372834 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面 静力学方面静力学方面 1.横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行纵向线变形后仍为平行 只是倾斜了一个角度只是倾斜了一个角度。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：29变形几何方面变形几何方面 根据实验观测结果，根据实验观测结果，可假设横截可假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即为等直圆杆的即为等直圆杆的平面假设。平面假设。实验发现实验发现在杆扭转变形后只有等在杆扭转变形后只有等直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆轴直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆轴的平面内，的平面内，所以平面假设只适用于所以平面假设只适用于等直圆杆等直圆杆。为确定横截面上任一点处的切应为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律，可假想变随点的位置的变化规律，可假想地截取长为地截取长为dx的杆段进行分析。的杆段进行分析。30变形几何方面变形几何方面由平面假设可知，杆段变形后的情况如由平面假设可知，杆段变形后的情况如左图所示。左图所示。截面截面b-b相对于截面相对于截面a-a绕杆轴转动了一绕杆轴转动了一个角度个角度d，因此其上的任意半径，因此其上的任意半径O2D也转也转动了同一角度动了同一角度d。杆表面纵向线的倾斜。杆表面纵向线的倾斜角角 就是就是a-a横截面周边上任一点横截面周边上任一点A处的切处的切应变，同理，经过半径应变，同理，经过半径O2D上任意点上任意点G的的纵向线纵向线EG在杆变形后也倾斜了一个角度在杆变形后也倾斜了一个角度 ，即为，即为a-a横截面半径上横截面半径上距圆心为距圆心为 的的任意点任意点E处的切应变。处的切应变。注意：注意：上述切应变上述切应变（、）均在垂均在垂直于半径的平面内；显然，直于半径的平面内；显然，。31设设G点至横截面圆心的距离为点至横截面圆心的距离为 ，因假，因假设变形极其微小，由左图所示的几何关设变形极其微小，由左图所示的几何关系可得系可得：xGGddEGtanxdd 上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置（即上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置（即：与圆心的距离：与圆心的距离）的变化规律。）的变化规律。为相对为相对扭转角沿杆长度方向变化率，对于给定扭转角沿杆长度方向变化率，对于给定的横截面是一个常量。的横截面是一个常量。xdd32变形几何方面变形几何方面xdd 可见：可见：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 均相均相同，同，与到圆心的距与到圆心的距离离 成正比。成正比。xdd对给定横截面为常量对给定横截面为常量因因33物理关系方面物理关系方面薄壁圆筒剪切胡克定律：G GxGdd G：切变模量：切变模量注意：注意：只有是在弹性范围内，切应力与切应变成正比才成立。只有是在弹性范围内，切应力与切应变成正比才成立。xdd同样，在等直圆杆距圆心为 处：（等直圆杆横截面上的切应力变化规律的公式）34由该公式，推论：由该公式，推论：相同半径 的圆周上各点处不仅切应变均相同，且切应力也均相同，都与半径成正比。因 为垂直于半经平面内为垂直于半经平面内的切应变，切应力的切应变，切应力 的方向的方向也应垂直于半径。也应垂直于半径。等直圆杆横截面内等直圆杆横截面内切应力切应力沿任一半径的变化趋势如沿任一半径的变化趋势如左左图图所示。所示。xGdd 35静力学关系静力学关系OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT横截面的极惯性矩横截面的极惯性矩由横截面上内力与应力静力关系，由横截面上内力与应力静力关系，得：扭矩得：扭矩T36pIT横截面上距圆心为处任一点切应力的计算公式。公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，且为小变形时的等圆截仅适用于各向同性、线弹性材料，且为小变形时的等圆截面直杆。面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。37单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是极惯性矩只是极惯性矩Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO38对于空心圆截面：)1(10)1(32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOdd：空心圆截面内径空心圆截面内径D：空心圆截面外径空心圆截面外径:空心圆截面内、外空心圆截面内、外直径之比直径之比39 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上常采用空心截面构件：提高强度，节约材料；重量轻，结构轻便，应用广泛。40 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max ,2Dr)2(22 maxDIWWTDITIDTppppp令pWTmaxWp 扭转截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332.016DDrIWpp对于空心圆截面：)-(12.016)1(4343DDrIWpp即：即：对于空心圆截面，对于空心圆截面，Wp不仅与外直径有关，且与内、外直径之比有关！不仅与外直径有关，且与内、外直径之比有关！41例例1 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。d2dT1G2GO(A)(B)(C)(D)42解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）d2dT1G2GOG1=2G243因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd 设平均半径 R0=(d+)/2 202 RT Td22 Tdd22223PamNmm63232331080105210100101002 mm7.3 空心圆轴设计 PWTmax4416dDDWP 2 dD 4416dDDT01081.010516108064346PamDmNDPa mmD7.1072dD 21007.107mmmmmm85.3当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒，故可判断为薄壁圆筒 例例2 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚，是薄壁还是空心圆筒？44切应力互等定理切应力互等定理 v 在圆杆的表面处用横截面、径向截面以在圆杆的表面处用横截面、径向截面以及与表面平行的面截取一微小的正六面及与表面平行的面截取一微小的正六面体，称为体，称为单元体单元体。v 在单元体左右两侧面（即杆的横截面）在单元体左右两侧面（即杆的横截面）上只有切应力；其方向与上只有切应力；其方向与y轴平行，在轴平行，在其前后平面其前后平面（即与杆表面平行的面）（即与杆表面平行的面）上上无任何应力无任何应力（？杆无伸缩）（？杆无伸缩）。v 由于单元体处于平衡状态由于单元体处于平衡状态()()，左右两侧面上的内力元素左右两侧面上的内力元素 dydz应是大应是大小相等、指向相反的内力偶对小相等、指向相反的内力偶对,其力矩其力矩为为(dydz)dx。v 为满足平衡条件为满足平衡条件 ,在单元体的上在单元体的上下两平面也将有大小相等且指向相反的下两平面也将有大小相等且指向相反的一对内力偶一对内力偶 dxdz,其矩为其矩为(dxdz)dy。0yM0 xM单元体单元体45切应力互等定理切应力互等定理 上式称为上式称为切应力互等定理切应力互等定理。该定理表明：该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。其方向则共同指向或共同背离该交线。yMxM要保持单元体平衡，显然要保持单元体平衡，显然:(dydz)dx=-(dxdz)dy即即:46v 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。成立的。v 单元体在其相对互相垂直的平面上只有切应力而无正应单元体在其相对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的这种状态，称为力的这种状态，称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。等直圆杆和薄壁等直圆杆和薄壁圆筒在发生单纯的扭转时圆筒在发生单纯的扭转时,其中的单元体均处于纯剪切其中的单元体均处于纯剪切应力状态。应力状态。v 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与与材料的性能无关材料的性能无关，所以不论材料是否处于弹性范围，切，所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的应力互等定理总是成立的。47例例1试根据切应力互等定理，判断图中所示的各试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。单元体上的切应力是否正确。kN10kN20kN10kN20kN30kN50kN50kN30kN3030kN48三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 对于剪切强度低于拉伸强度的材料（典型：低碳钢试件）：沿横截面断开（似剪断）。对于拉伸强度低于剪切强度的材料（典型：铸铁试件）：沿与轴线约45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。在圆杆的扭转实验中发现：低碳钢铸铁491.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(b)：(d)x单元体前后无应力单元体前后无应力，可改为平面表示，可改为平面表示正应力正应力50(d)xnt转角转角 的的规定：规定：轴正向转至斜截面外向法线n逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ;0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ;0AAAFt解得：2cos ;2sin 斜截面外向法线斜截面面积dA512cos ;2sin 分析：当=0时，max00 ,0当当 =45时，时，0 ,45min45当当 =45时，时，0 ,45max45当=90时，max9090 ,0 45可见：可见：圆轴扭转时，在横截面（圆轴扭转时，在横截面（=0）和纵截面（和纵截面（=90）上的切应上的切应力为最大值；力为最大值；在在 =45 的斜截面的斜截面上作用有最大拉应力和最大压应力。上作用有最大拉应力和最大压应力。根据这一结论，就可解释前述的破根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。坏现象。52四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxpWT(称为许用切应力。)注意强度计算三要素注意强度计算三要素：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：maxmaxpWTmaxTWpmaxpWT）（空：实：433116 16 DDWpWp 扭转截面系数pWTmaxmax因：因：)(Dd53 例例22功率P为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力=30M Pa,试校核其强度。nPMTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.TM解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCMMxMPa231607.01055.133maxpWT因危险截面处于最细的一段，因此必须取该段校核其强度！54例例3：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,许用切应力许用切应力40MPa,40MPa,空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 =0.5=0.5。:实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外径和空心轴的外径D D2 2。nPTMe31055.9mN 2.7161maxpWT 36110402.71616 d2maxpWT 643210405.012.71616D1005.71055.933116dT MPa40mm45432116 DTMPa40mm45555635 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l的的一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 (d d0TGITlxGITplp57 pGITl可见：可见：相对扭转角相对扭转角 与与GIp成反比。成反比。定义：定义：GIp为等直圆杆的为等直圆杆的截面扭截面扭转刚度转刚度，反映了截面抵抗扭转变形的能力。注意：注意：由于杆在扭转时各截面上的扭距可能并不相同，由于杆在扭转时各截面上的扭距可能并不相同，且杆的长度也各不相同，且杆的长度也各不相同，因此，在工程中对于扭转杆的因此，在工程中对于扭转杆的刚度通常还是用相对扭转角沿杆长度的变化率刚度通常还是用相对扭转角沿杆长度的变化率d/dx来来度量度量。以以 来表示这个量，称为来表示这个量，称为单位长度扭转角单位长度扭转角。58二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角 ：(rad/m)dd pGITx/m)(180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件(rad/m)maxpGIT /m)(180 maxpGIT 或 称为称为许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角。注意：注意：此式仅适用于线弹性范围的等直圆杆此式仅适用于线弹性范围的等直圆杆59由此式可得刚度计算的三方面：由此式可得刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：max max GT Ip max pGIT 有时还可依据此条件进行选材。32 4 GTDIp或：32)-(D 4 4GTdIp实心空心60 例例11长为 L=2m 的圆杆受均匀分布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWp 116D 43）（pW314max 116）（TD61314max 116）（TDx代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT62180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）(0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP63 例例22 某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500 马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m1马力马力=735.5w6416 31TdWp mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)实心65 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 ,mm8421 dd综上：全轴选同一直径时 mm841 dd66 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最小直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81467例3如图所示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm，M22.3KNm，M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0m1M2M3M1d2dABC32411dIP 41.25 cm32422dIP 4236cm111PABGILT rad0318.0222PBCGILT rad0079.0BCABAC radrad0079.00318.0rad0239.068 例4图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19KNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角 24。G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN5005001M2M3M4M50043116 DWP maxTWP max43116TD 34max3116 TDmm7.76mmD78mmd39PGILT2121 rad00734.0PGILT1313 rad00917.0PGILT3434 rad00275.034132124 rad00458.069 例5已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求求A A、B B两截面相对扭转角两截面相对扭转角。MAlBAB)(xTxTnPT31055.9Nm390单位长度阻力矩LTM mNm40390mNm75.9PWTmax 16605016010390433 MPa7.17 lPABGIdxxT0 MxxTxLTdxGIlxTlPAB0 2lGITP21050601080403903212449 rad148.0自习自习70 例6一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。dD 1 2eM21因两杆扭转变形时无相对转动21 222111PPIGLTIGLT221121PPIGIGTT22112122PPIdTIDT dDITITPP1221221GG1自习自习7136 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能一、一、应变能与应变能密度应变能与应变能密度当圆杆扭转时，杆内将积蓄应变当圆杆扭转时，杆内将积蓄应变能。能。由于杆件上各横截面上的扭矩可由于杆件上各横截面上的扭矩可能变化，同时，横截面上各点处的能变化，同时，横截面上各点处的切应力也随该点到圆心的距离而改切应力也随该点到圆心的距离而改变，因此，对于杆内应变能的计算，变，因此，对于杆内应变能的计算，应先求出纯剪切应力状态下的应变应先求出纯剪切应力状态下的应变能密度，再计算全杆内所积蓄的应能密度，再计算全杆内所积蓄的应变能变能。7236 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能左图所示单元体处于纯剪切应力左图所示单元体处于纯剪切应力状态，假设其左侧面固定，则单元状态，假设其左侧面固定，则单元体在变形后右侧面将向下移动体在变形后右侧面将向下移动 dx。由于切应变由于切应变 很小，因此，在变形很小，因此，在变形过程中，上、下两面上的外力将不过程中，上、下两面上的外力将不做功，只有右侧面上的外力对相应做功，只有右侧面上的外力对相应的位移的位移 dx做功。做功。xyzdxdzdy732-5 等直拉（压）杆的应等直拉（压）杆的应变能变能 为推导拉杆应变能的计算式，先求外力所作的功为推导拉杆应变能的计算式，先求外力所作的功W。在静荷。在静荷载载F的作用下，杆伸长了的作用下，杆伸长了L。力。力F对此位移所作的功可以从对此位移所作的功可以从F与与L的关系图线下的面积来计算。由于在弹性变形范围内的关系图线下的面积来计算。由于在弹性变形范围内F与与L成线性关系，如图所示，于是，可求得成线性关系，如图所示，于是，可求得F力所作的功力所作的功W为为 LFW21回忆回忆74当材料在线弹性范围内时，单元当材料在线弹性范围内时，单元体上外力所做的功为：体上外力所做的功为：由于单元体内所积蓄的应变能由于单元体内所积蓄的应变能dV 数值上等于数值上等于dW，故单位体积内的，故单位体积内的应变能密度应变能密度v 为：为：应变能与应变能密度应变能与应变能密度由剪切胡克定律由剪切胡克定律或者或者75求得纯剪切应力状态下的应变能密度求得纯剪切应力状态下的应变能密度v 后，扭转时杆中积蓄的后，扭转时杆中积蓄的应变应变能能V 可由积分计算：可由积分计算：pIT由于 pGITl因为应变能应变能V 改写成以相对扭转角表达的形式：改写成以相对扭转角表达的形式：7637 等直非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形等直非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形在等直圆杆的扭转问题中，分析杆截面上的应力的主要依据为平面假设。等直非圆杆：等直非圆杆：各截面在杆扭转变形后发生翘曲不保持平面，不符合平面假设。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。矩形截面杆的横截面周矩形截面杆的横截面周线在杆扭转后变成曲线线在杆扭转后变成曲线77一一、自由扭转、自由扭转：等直非圆杆因扭转发生横截面翘曲，两端在外力偶作用下，端面可以自由翘曲。此时相邻两截面的翘曲程度完此时相邻两截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有切应力而无正应力。全相同，横截面上仍只有切应力而无正应力。二二、约束扭转：、约束扭转：等直非圆杆在扭转时，两端受约束而不能自由翘曲。此时相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上产生附此时相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上产生附加正应力。加正应力。三三、矩形（、矩形（长方形）长方形）杆横截面上的杆横截面上的切应力切应力:hbh 1T max 注意！b1.切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）782.矩形截面等直杆最大切应力及单位长度扭转角的计算公式max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT3 btW对于矩形截面：4 bIt ,tGITWt扭转截面系数；It截面相当极惯性矩。矩形截面杆因素v、和随h/b值而变化，可从表中查出79查表求v、和 时一定要注意与实际的m值相对应80 上式为狭长矩形截面的It和Wt与截面尺寸的关系。为了与一般矩形想区别，式中将狭长的短边尺寸b改改写为写为。得到：根据81 例例1 1 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100 mm，b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用，钢的G=80GPa，=100M Pa，=1/m，试校核 此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度0.493 ;0.457 ;250100bh m106610504930 3633.btW82校核刚度 MPa65106614000 6maxmax.WTt4844m102840504570.bIt/m1rad/m0174501028610804000 o89.GITt综上,此杆满足强度和刚度要求。83 例2一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。圆杆:PWTmax 316dT 33401040016 MPa9.31矩形杆:3bh267.0 hbT2max 6020267.01040023MPa4.622212604mmdA 21200mmbhA 矩形面积与圆形面积相近.但最大应力却增大了一倍,且 h/b之值越大，切应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。8485一、一、开口薄壁截面杆：开口薄壁截面杆：薄壁截面的薄壁截面的壁厚中线是一条不封闭的折线或壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线曲线二、开口薄壁截面杆在自由扭转二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（时的切应力分布如图（a），），厚度中点处，应力为零。厚度中点处，应力为零。38 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力自习课本例题自习课本例题3-93-986 闭口薄壁截面杆：闭口薄壁截面杆：薄壁截面的壁厚薄壁截面的壁厚中线是一条闭合中线是一条闭合的折线或曲线。的折线或曲线。三、闭口薄壁截面杆三、闭口薄壁截面杆 因此：因此：闭口薄壁截面闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切杆在自由扭转时的切应力分布如图，同一应力分布如图，同一厚度处，应力均匀分厚度处，应力均匀分布。布。87四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在图上取四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在图上取 单元体如图（单元体如图（c）。）。2211 d d ;0 xxFx2211 （c）讨论：讨论：由于截面为任意选取由于截面为任意选取,故上式表明横截面沿其周故上式表明横截面沿其周边任一点处的切应力与该点壁厚之乘积为一常数。边任一点处的切应力与该点壁厚之乘积为一常数。切应力互切应力互等原理等原理880minmax2AT02)(ArdsrdsTs积。为厚度中线所包围的面 210srdsA02 AT min为薄壁截面的最小壁厚为薄壁截面的最小壁厚89 例例88下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm，b=75mm，厚度=5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000Nm，试求此杆的最大剪切应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：baMPa42107550525000 2290minmaxabTAT90911、薄壁圆筒扭转角、薄壁圆筒扭转角 及切应变及切应变 的的定义及相互关系定义及相互关系2、外力偶矩、扭矩及切应力的基、外力偶矩、扭矩及切应力的基本概念及相互关系本概念及相互关系92