奖学金评定方案

摘要本文根据学生本年度各门课程成绩的具体情况，综合考虑各门课程的不同性质对最终结 果的影响程度，利用隶属函数、加权平均值、嫡权法的有关知识，确定了三种奖学金的评定 模型。首先利用模糊数学的方法，对考查课的等级进行百分制的转化。设四个等级（A，B， C，D）的隶属度依次对应为4, 3, 2, 1。采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属 函数：1 + a（x p）-2-i,1 x 3、a ln x + b,3 x 4从而简化模型的建立，制定综合评定的统一标准。模型一通过比较不同课程的学分和性质差异，进行加权平均综合评定;f(x) = d模型公式:（符号说明见【四、变量说明】，下同）评分84.7282.7782.4881.6381.4781.4581.1881.0380.9080.81序号7030865660758051502bj j=1评定结果（第一到第十名的模型评分和学生序号依次为）（下同）:模型二提出了标准分数的概念，描述了学生成绩的正态分布规律，准确反映了学生平均学分成绩在学生总体中的百分等级分布位置;(M * B )模型公式：X = j=i1一- *10 + 50 B评分57.7156.4655.6454.4754.0854.0653.8453.7853.7053.55序号988075781025199208814j=1评定结果:模型三中引入了课程难度因子和基于考试成绩情况而进行嫡权重分配的课程学分因子;模型公式：(C *A ) (a *B )j jijijj评分83.5581.0880.6079.3679.2778.8578.3578.2078.1978.19序号70848630513310647213X= TCT+ jj j=1评定结果：综合比较三种模型，模型一和模型二相对简单，侧重于课程性质因素，数据处理简单;数据三比较客观、全面，综合考虑了成绩的具体情况和课程性质，但数据处理相对复杂。关键字：隶属函数 标准分数 熵权法 加权平均目录一、问题重述3二、问题分析3三、模型假设3四、变量说明3五、模型建立4（模型一）：平均学分绩模型5（模型二）：标准分数平均学分评定模型5（模型三）：加入课程难易程度系数的学分权重评定法6六、模型求解8（一）（模型一）8（二）（模型二）9（三）（模型三）9七、模型评价与推广9八、参考文献10九、附录10一、问题重述奖学金评定问题几乎学校的每个院系每年都会评定学生奖学金。设立奖学金的目的是鼓励学生学习期间 德智体全面发展。其中，年度的学习成绩是奖学金评定的主要依据之一，因此，如何根据学 生本年度的各门课成绩来合理衡量学生很有必要。附件1是该学院某年级105名学生全年 的学习情况。请根据附件信息，综合考虑各门课程，至少用3到4种方法将成绩最优秀的 10%的同学评选出来，作为进一步奖学金评定的候选人，并比较这些方法的优劣。二、问题分析考虑到要减小将等级转化为百分制分数取值的随意性，故采用偏大型柯西分布和对数函 数构造一个隶属函数，将考查课的等级转化为百分制分数与考试课的成绩统一起来，避免由 主观因素引起的误差。然后根据Excel附件中的相关数据，选择几种合理的方法，计算出学 生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。然后对比几种模型的优劣， 找到一种科学合理的评定方法。三、模型假设 奖学金的评定只考虑成绩方面的因素； 考试课成绩每科均以百分制计算，考查课等级转化成百分制计算; 每个影响奖学金评定因素的数据处理都是相互独立的； 有不及格科目的学生仍然有资格参加奖学金的评选；四、变量说明对以下三种模型中所用到的变量进行说明:i学生个量j课程个量A司第i位学生的第j门课程的实际得分Bj第j门课程的课程学分Mij第i位同学的第j门课程的标准分数Yj第j门课程的百分制平均分Sj第j门课程的百分制等级分数标准差m学生人数n课程数目C难度系数向量力 j课程权重因子X i第i位学生的综合评定得分五、模型建立前提模型使用隶属函数1对考试成绩等级进行百分制转换：如果我们将考查课中的不同等级分别对应到某一个自己规定的分数，那么这样得到的结 果随意性很大，完全受我们主观因素的影响，也没有依据，不具科学性。隶属函数是对模糊 概念的定量描述，它的确定过程本质上说应该是客观的。所以在我们将考查课的等级制转化 为百分制的过程中运用隶属函数具有一定科学性。利用模糊数学的方法，设四个等级(A，B，C，D)依次对应为4, 3, 2，1。采用偏 大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数f1 + a(x - p)-2-i,1 x 3 f(x)=、a ln x + b,3 x 4其中a、p、a、b为待定参数。当等级为“A-优秀”时，则隶属度为1,即f(4) = 1 ；当等级为“B-良好”时，则隶属度为0.8,即f=0.8 ；当等级为“D-不及格”时，则隶属度为0.01，即f=0.01。用MATLAB编程解得：(程序见附录)待定参数如下:abaB0.96520.03621.10860.8942所以得到的隶属函数如下：f(x)二1 + 1. 1086(x - 0. 8942)-2-i,1 x 3Q 9652 lnx + 0. 0362,3 x 4用MATLAB绘出的f(x)图像如图所示：1数学建模高校奖学金评定论文.doc由此，我们将考查课的等级制转化为百分制，如下表:等级ABCD对应分数100. 0080.0052.451.00（模型一）：平均学分绩模型计算平均学分绩方法2在大多数学校被采用，用它来计算学生的智育得分,考察学生的全 年的学习情况，并进一步得到学生的全年综合测评得分。当总分相同时，学分少的课程分数高, 而学分高的课程分数低的学生，综合得分就没有学分少的课程分数低，学分高的课程分数高 的学生高。这种方法能够充分体现学分高的课程的重要性。模型公式：小手课程原始成绩*课程学分综合成绩=课程学分 勺 * Bj)X = j1J j=1此处X,即为求得的综合成绩。（模型二）：标准分数平均学分评定模型标准分数平均学分3就是指所有的课程标准分数乘以相应课程学分后求和所得的总分 数，再除以所有课程的总学分所得的分数，是学生的学分成绩百分等级分数平均数，能准确 反映学生平均学分成绩在学生总体中的百分等级分布位置。由于计算出标准分数存在多位小 数和负值的缺陷，不符合人们表示成绩分数的习惯，为避免此缺陷，故将标准分数转换到一 个新的量质上来表示分数，转换公式4为：X =10*Z+50其中Z为求得的标准分数平均学分：2高校综合奖学金评定的优化模型一周锋J3大学生学习成绩排序的统计方法评析一刘宗泉J4大学生学习成绩排序的统计方法评析一刘宗泉J(M * B )Z= &j j=1j-* 10F 50（M * B ）i j所以最终的模型公式:X = jbjj=1在这里，要求标准分数平均学分，我们需先求得课程标准分数，即课程的原始百分制分 数得分，与该门课程总体原始百分制分数得分的平均数之差，再除以标准差所得的分数。它 是学生某课程的原始得分在学生总体中的百分等级分数。M = ALij Sj其中S.=艺(A - Y)2ij i4=1m此处：Xj即为求得的综合评定标准分数平均学分。（模型三）：加入课程难易程度系数的学分权重评定法:（1）课程难度系数向量及难度系数因子的确定5：有的课程由于难度系数较大，因此课程的整体分数普遍偏低。为了刻画课程的不同难易 程度，提高课程分数之间的可比性，引入课程难度系数。假设n门课程的考试平均分分别为Y，Y，Y，令Y = Y + Y +. + Y。根据一般常识，考试的平均成绩越低，说明该 12n12n课程的难度越高，由此设置课程难度系数向量为： 一 厂 Y 其中，课程难度系数因子C = j YjY Y） FY Y JV 12n 7（2）利用嫡权法6根据学生考试成绩的不同情况确定不同学分的课程在评价模型中的权重: 嫡权法是一种客观赋权方法，根据各指标的变异程度,利用信息嫡计算出各学分的嫡权， 再通过嫡权对各课程的权重进行修正，从而得出较为客观的课程权重。设有m个待评方案，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵X = G.），对于某项指 标，指标值X的距离越大，则该指标在综合评价中所起的作用。在信息论中信息嫡 e =-km P.In优.表示系统的有序程度，一个系统的有序程度越高，则信息嫡越大，反之， 一个系统的无序程度越高，则信息嫡约需奥。所以，可以根据各项指标的指标值的差异程度， 利用信息嫡的这个工具计算出各指标的权重。1. 数据处理Xln指标 X IL X 125高校奖学金评定的数学建模方法.% 2 LX奕6熵值法和层次分析法在权重确定中的:应用：对该矩阵进行归一化处理：X =(X -min(X )/(X -min(X ) ij ijij ijij得到一个新的矩阵。2. 计算第i个因素下第j个评价值的比重PijP =-j可y xijj=13. 计算第j项的嫡值eje = -k P In p ,j=1若取k二上,则0 e 1Inn j4. 计算第j项的差异系数gj对于给定的e越大，因素评价值的差异性越小，则因素在综合评价中所起的作用越小。 定义差异系数gj = 1 -ej，则当因素gj越大时，因素越重要。5. 定义权数w =g，则“就是嫡权法确确定的权重。 j g jjj=1因此，m个待评学生的课程成绩，所有课程的课程学分，构成原始数据矩阵，按照上 述步骤计算出各课程学分所占有的权重人J Ljrij课程12j34567权重0.00330.00270.00290.00060.00270.00510.0039课程891011121314权重0.00080.00150.00180.00220.00150.00210.0025课程15161718192021权重0.00370.11220.16980.20950.17540.12530.1706综上：使用课程学分权重因子和课程难度系数权重因子改进加权算术平均公式，建立综 合成绩计算模型： C * 人 *AX =Vjj ij 乙C *人 j j由上表可知：最后六门任选课和人文课的比重远大于前面基础课、专业课和必选课的比 重，这是不符合奖学金评定原则的。对于课程性质来说，基础课、专业课和必选课的比重应 该大于任选课和人文课的比重。出现这种情况的主要原因是有的学生没有学习任选课和人文 课，在这种模型中，没有学习的课仍然占有权重，但是考试成绩是按照零分计算的，导致学 习了任选课和人文课的学生在评定过程中具有更大的优势，这不符合奖学金评定的一般规律 和评定的公平的原则，因此我们对第三种模型进行了改进。优化过程：对前15门必选课仍然采用加入课程难度因子和课程学分权重因子的加权模型，然后按 照嫡权法计算权重的步骤重新计算这15门课程所占有的比重，结果如下：课程12345678权重0.08930.07260.07840.01530.07160.13650.10530.0201课程9101112131415权重0.03950.04860.05810.04160.05590.06840.0987这个结果更合理地根据学生成绩的具体情况确定了前15门不同学分的课程在评定过程 中的比重。对于后面的六门非必选课程，采用平均学分成绩的评定模型进行评定：不同课程的学分是“原则上按一个学期（以16周计）内每周上课几学时即记几学分” 进行计算的，所以学分的多少，反映了学生在不同课程上的学习数量（我们视一个学分所代 表的学习数量是等同的）。平均学分成绩就是指学生在一定时间内所修课程学分总数中，每 个学分的百分制分数平均成绩。根据隶属函数把等级进行百分制转化的结果，给出下列计算平均学分评估成绩的方法:八、/+建考试分数*学分 平均学分评估成绩=考试科目数然后把后6门课程的平均学分成绩以附加值的形式加在前15门课程的评定结果后，得 到模型三的综合评定标准：（C * A ） （A * B ）j j ijij jS 飞（C * x） + % Yjj（其中，j=1是六门任选课中每位学生实际学习的课程数目。）六、模型求解（一）（模型一）：运用MATLAB软件进行编程计算出获奖名单及其综合成绩，如下表所示：（程序见附录）在所给名单中的学生序号综合成绩获奖排位7084.717013082.766028682.470035681.633946081.471257581.452868081.181075181.033085080.89829280.806410（二）（模型二）：运用MATLAB软件进行编程计算出获奖名单及其综合成绩，如下表所示：（程序见附录）在所给名单中的学生序号标准分数平均学分获奖排位9857.707018056.457727555.636337854.4677410254.082755154.056069953.835572053.783388853.699991453.549810（三）（模型三）：运用MATLAB软件进行编程计算出获奖名单及其综合评定分数，如下表所示：（程序见附录）在所给名单中的学生序号综合评定分数获奖排位7083.554418481.080328680.600233079.358745179.270553378.862061078.353776478.199387278.189191378.075510七、模型评价与推广在将考查课的等级转化为百分制和将获奖情况的等级转化为百分制的过程中，我们使用 了隶属函数。隶属函数在一定程度上减小了主观因素的影响，更具科学性。（模型一）：通过计算平均学分绩的方法来评定奖学金，计算方法虽然比较简单，相较于 算术平均分数方法而言，平均学分绩的方法考虑了不同课程学分不同的因素，因而更加能提 现学校和学院的培养方向，有利于选出适应该培养理念的学生，因此该模型更加适用于大学 中奖学金的评定问题。（模型二）：求标准分数平均学分是统计大学生学习成绩的科学方法之一。首先，学生成 绩是呈正态分布的，而正态分布曲线概率统计是基于标准分数测定而来，所以大学生学习成 绩的标准分数，就是其成绩在总体成绩中概率分布的线性变换形式。对于学习数量相当（或 周学时一样）的不同课程标准分数的单位是等价的，课程标准分数是课程总体中的百分等级 分数，若课程学习数量相当，则其标准分数的单位是等价的，可以直接进行加减乘除运算， 这就很好地体现并解决了在学习数量相当的情况下，不同课程学习质量不同的问题，但它不 能反映和解决不同课程学习数量有差异的问题，所以，求课程标准分数只是统计学习数量相 当的不同课程成绩的科学方法。但接下来求标准分数平均学分的方法就很好地解决了这个问 题。因此，这是一种很科学合理的奖学金评定方法。（模型三）:评价方案综合考虑了考试课程的难易程度和考试成绩的总体情况确定的不同 课程的权重。对于难度系数较大的课程，课程的整体分数普遍偏低。为了刻画课程的不同难 易程度，提高课程分数之间的可比性，引入课程难度系数。根据一般常识，考试的平均成绩 越低，说明该课程的难度越高，从而确定了课程难度系数因子对评定结果的影响。其次，模型三中使用了熵权法。嫡权法是一种客观赋权方法，根据各门课程考试成绩的具体 情况，计算出各不同学分课程的嫡权，再通过嫡权对各课程的权重进行修正，确定了利用嫡 权法根据学生考试成绩的不同情况确定不同学分的课程在评价模型中的权重，从而得出较为 客观的课程权重。本文通过对高等学校综合奖学金评定方法的探索，在对各指标权重确定的过程中，得到 了较为科学的方法，适用于很多其它行业的借鉴。如图书馆服务质量的评比在对各指标的权 重的考虑时、房屋安全系数中对各指标权重系数的确立等。八、参考文献【1】黄敏儿，朱成，李晨光高校奖学金评定的数学建模方法D.苏北数模联赛.2011【2】周锋，刘自山，刘知发.高校综合奖学金评定的优化模型J.四川理工学院学 报.2011,24（6）【3】陆添超，康凯.嫡值法和层次分析法在权重确定中的应用.J电脑编程技巧与维 护.2009, 22【4】数学建模高校奖学金评定论文.doc【5】大学生学习成绩排序的统计方法评析_刘宗泉J.教育与职业.2011, 26.九、附录部分MATLAB模型求解代码:（一）隶属函数求解代码 syms a b;a, b = solve(a*log(4)+b=1, a*log(3)+b=0.8, a, b);a = double(a)b = double(b)x = 3:0.01:4;y = a * log(x) + b;plot(x, y);hold on;syms a b;a, b = solve(1+a*(3-b)A(-2)A(-i)=0.8, (1+a*(1-b)A(-2)A(-1)=0.01, a, b); a = double(a)b = double(b)x = 1:0.01:3;y = (ones(size(x) + a(1) .* (x - b(1) .* ones(size(x) . (-2) .(-】)； (ones(size(x) + a(1) .* (2 - b(1) .* ones(size(x) . (-2) . (-1) plot(x, y);hold on;xlabel(x);ylabel(Points);(二)模型一求解代码isWeight = 1;score = 1 52.45 80 100;if exist(C1,var) | isempty(C1)C1 = xlsread(校赛A素材.xls, B2:P106);endif exist(C2, var) | isempty(C2)C2 = xlsread(校赛A素材.xls , Q2:V106);for i = 1 : size(C2, 1)for j = 1 : size(C2, 2)if C2(i, j)=0C2(i, j) = score(C2(i, j);endendendC = C1 C2;error = ;for i = 1 : size(C, 1)for j = 1 : size(C, 2)if C(i, j)=0 & C(i, j) 60 error = error i;break;endendendendif isWeight = 1SumScore = zeros(size(C2, 1), 1);temp = sum(C(:, 1:21) .* repmat(P(1, 1:21), size(C, 1), 1), 2);for i = 1 : size(C, 1)for j = 1 : size(C(1:21), 2)SumScore(i) = SumScore(i) + P(j) * Step(C(i, j);endSumScore(i) = temp(i) / SumScore(i);endtemp = sortrows(1:1:105 SumScore, -2);disp(学分加权成绩排名)；disp(temp(1:10, :);end(三)模型二求解代码clc;A=xlsread(校赛 A 素材 1.xls,C2:W106);X=zeros(1,105);B=xlsread(校赛 A 素材 1.xls ,2,B4:V4);Y=xlsread(校赛 A 素材 1.xls,C107:W107);S=zeros(1,21);m=105;n=21;p=58;M=zeros(m,n);for j=1:1:nsum1=0;q1=0;for i=1:1:mif( A(i-1)*n+j)=0)sum1=sum1+0;q1=q1 + 1;elsesum1=sum1+(A(i-1)*n+j)-Y(j)A2;endendS(j)=sqrt(sum1/(m-q1);endfor j=1:1:nfor i=1:1:mif(A(i-1)*n+j)=0)M(i-1)*n+j)=0;elseM(i-1)*n+j) = (A(i-1)*n+j)-Y(j)/S(j);endendendfor i=1:1:msum2=0;for j=1:1:nsum2=sum2+M(i-1)*n+j)*B(j);endX(i) = (sum2/p)*10+50;endtemp=sortrows(1:105 X,-2);disp(标准分数学分排名)；disp(temp(1:10,:);(四) 模型三求解代码if exist(C1,var) | isempty(C1)C1 = xlsread(校赛A素材.xls, B2:P106);endif exist(C2, var) | isempty(C2)C2 = xlsread(校赛A素材.xls, Q2:V106);for i = 1 : size(C2, 1)for j = 1 : size(C2, 2)if C2(i, j) = 0C2(i, j) = score(C2(i, j);endendendC = C1 C2;No = 1:105;endif exist(P, var) | isempty(P)P = xlsread(校赛A素材.xls, 2, B4:V4);endY = zeros(size(C, 2), 1);temp = zeros(size(C, 2), 1);for i = 1 : size(C, 2)n = 0;for j = 1 : size(C, 1)temp(i) = temp(i) + C(j, i);n = n + Step(C(j, i);endY(i) = temp(i) / n;endY_C = sum(Y) * ones(size(C, 2), 1) ./ Y;Max_X = max(max(C) - 1;temp_C = (C / Max_X);Y_P = zeros(size(temp_C);Y_P = zeros(size(C(:, 1:1:15);X = (C(:, 1:15) - ones(size(C(:, 1:15) / Max_X;X = X;tempX = sum(X, 2);for i = 1 : size(X, 1)for j = 1 : size(X, 2)Y_P(i, j) = X(i, j) / tempX(i);endendY_e = zeros(size(X, 2), 1);Y_e = -(1/log(size(X, 2) * sum(Y_P .* log(Y_P), 2);Y_e = abs(Y_e);Y_g = ones(size(Y_e) - Y_e;Y_w = Y_g / sum(Y_g);Y_w;Y_C;temp = sum(Y_w .* Y_C(1:15);XI = zeros(size(C, 1), 1);X2 = zeros(size(C, 1), 1);for i = 1 : size(C, 1)X1(i) = sum(Y_w .* Y_C(1:15) .* C1(i, :), 2) / temp;n = 0;for j = 1 : size(C2, 2)if C2(i, j)=0n = n + 1;endendX2(i) = sum(C2(i, :) .* P(16:21) / n / sum(Y(16 : 21); endX = X1 + X2;temp = sortrows(No X, -2);disp(temp(1:10, :);