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复习复习limnnxa0,N nN.nxa 恒恒有有当当 时时,数列极限数列极限:精确精确定义、几何定义、几何意义意义有界有界性、唯一性性、唯一性、保号性、子、保号性、子数列的收敛性数列的收敛性.收敛数列的性质收敛数列的性质:如何如何判断极限不存在判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于 的的子数列子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.二二、函数极限的、函数极限的性质性质 一一、函数极限、函数极限的定义的定义 第第三三节节函数的函数的极限极限在数列的极限中：在数列的极限中：数列数列的极限的极限 自变量自变量取正整数的函数的极限取正整数的函数的极限.对于数列对于数列 由于由于 可视为函数可视为函数,nxnx().nxf n 因此，因此，本节我们要讨论一般的函数本节我们要讨论一般的函数 的的极限问题极限问题.()yf x 对于对于(),nxf n 自变量自变量 n 的变化过程只有的变化过程只有;n 对于对于(),yf x 自变量自变量 x 的变化过程可以有以下六种：的变化过程可以有以下六种：,x ,x ;x 0,xx0,xx 0.xx 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:当当x 无限增大时，无限增大时，无限接近于无限接近于 0.sin()xf xx 称称 0 为函数为函数 当当 时的极限时的极限.()f xx 问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”？一般地一般地,定义定义:(定性的描述定性的描述)当当 时，时，无限接近于某一确定的无限接近于某一确定的x 数值数值 A，则称则称 A 为函数为函数 当当 时的极限时的极限.()f xx ()f x0,0,XxX 当当 时，有时，有()f xA.大于大于某一正数时有定义某一正数时有定义,设函数设函数 当当()f x|x定义：定义：记作记作若若0,0,X当当 时，有时，有|xX(),f xA 则称则称常数常数A 为函数为函数 当当 时的极限，时的极限，()f xx lim()xf xA ()()f xAx 或或X 定义：定义：lim()xf xA0,0,X当当 时，有时，有|xX().f xA N 定义：定义：limnnxA0,0,N当当 时，有时，有nN.nxA()yf x A A X XxOA几何解释几何解释:直线直线 y=A 为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线.()yf x 当当 或或 时，函数时，函数 的图形完全的图形完全落在以落在以 y=A 为中心线，高度为为中心线，高度为 的带形区域内。的带形区域内。xX xX()yf x 2 2.函数的极限函数的极限x lim()xf xA0,0,X当当 时，有时，有xX(),f xA 3.函数的极限函数的极限x lim()xf xA0,0,X当当 时，有时，有xX (),f xA 定理定理:lim()xf xA lim()lim().xxf xAf xA且且直线直线 y=A 为仍然为曲线为仍然为曲线的水平渐近线的水平渐近线.()yf x 证证例例1lim()xf xA0,0,X当当 有有|,xX()f xA sinlim0.xxx sinsin0 xxxx由由于于1|x 0,sin0,xx 若若要要1,|x 只只要要1,x 即即1,X 取取则当则当 时有时有|xX sin0,xx sinlim0.xxx 故故sin xyx 当当 时时,无限接近无限接近于某一确定的于某一确定的数值数值 A,则则称称 A 为函数为函数 当当 时的时的极限极限.0 xx()f x()f x0 xx4.时函数的极限时函数的极限定义定义(定性的描述定性的描述)问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.0 xx0,0,当当 时，时，00 xx()f xA.0 x的去心的去心 -邻域，邻域，体现体现 x 接近接近 的程度的程度.0 x0 x0 x 0 x x或或记作记作设函数设函数在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,()f x0 x若若0,0,当当 时，时，00 xx()f xA.定义定义:则称常数则称常数 A 为为函数函数 当当 时的极限，时的极限，()f x0 xx0lim()xxf xA 0()()f xA xx注注：1.函数极限与函数极限与 函数在点函数在点 是否有定义无关是否有定义无关;0 x2.的存在性，不唯一的存在性，不唯一 3.与任意给定的正数与任意给定的正数 有关有关.函数局部有界函数局部有界极限存在极限存在0lim()xxf xA 0,0,当当 时，时，0(,)xU x 有有()f xA 定义：定义：几何解释几何解释:A A ()yf x 0 xxOyA当当x 在在 的去心的去心 邻域时，邻域时，函数函数 的图形完全落的图形完全落()yf x 在以直线在以直线 y=A 为中心线，为中心线，高度为高度为 的带形区域内的带形区域内.2 0 x 例例2.证明证明证证:因此因此总有总有0limxxCC(C 为常数为常数).()f xA CC0 故故0,对任意的对任意的0,当当时时,00 xx 0CC 0limxxCC 例例3.证明证明证证:1lim(21)1xx()f xA(21)1x21x0,欲使欲使(),f xA 只要只要1,2x 因此因此取取,2 则当则当时时,01x 必有必有()(21)1f xAx 1lim(21)1xx01x 当当 时时,例例4 证明证明证证注意到函数注意到函数在点在点x=1处没有定义处没有定义.21231lim1.1xxxx 2231()11xxf xAx 由由于于22(1)211xxx 0,(),f xA 若若要要21,x 只只要要1,2x 即即,2 取取22311,1xxx 就就有有21231lim1.1xxxx 1x 0,例例5 设设 证明证明证证3,st 1()(1)lim3.1ts tst 322131321tttttt 21tt11,t 令令02,t即即24,t 此时此时2141,ttt于于是是41,t 只只要要1,4t 即即min1,4 取取01t 当当 时时,有有313,1tt 311lim3.1ttt 313,1tt 若若要要单单侧极限侧极限例如例如,21,0()1,0 xxf xxx 0lim().xf x考考察察极极限限ox1xy 112 xyy00 xx分分和和两种情况讨论：两种情况讨论：x 从左侧无限接近从左侧无限接近 ，记作记作0 xx 0 xx 从右侧无限接近从右侧无限接近 ，记作记作0 xx 0 x5.左极限左极限0()f x 0lim()xxf xA 0,0,当当 时，时，00(,)xxx().f xA 6.右极限右极限0()f x 0lim()xxf xA 0,0,当当 时，时，00(,)xxx().f xA 定理定理 1.0lim()xxf xA 00lim()lim()xxxxf xf xA解解:利用定理利用定理 1.因为因为0lim()xf x 0lim(1)xx 1;0lim()xf x 0lim(1)xx 1 显然显然(0)(0),ff 所以所以不存在不存在.0lim()xf xxy1yx1yx1 1O例例6.给定函数给定函数讨论讨论 时，时，1,0()0,01,0 xxf xxxx 0 x 的极限是否存在的极限是否存在.()f x1.唯一性唯一性二二.函数极限函数极限的性质的性质注注:本段结论对本段结论对6种极限过程都成立种极限过程都成立.定理定理1 若若 存在，则该极限唯一存在，则该极限唯一.0lim()xxf x2.(局部局部)有界性有界性定理定理2 若若 ，则，则存在常数存在常数 和和0lim()xxf xA 0M 0,使得当使得当 时，有时，有00|xx|()|f xM lim():xf xA 0,X当当 时，时，|xX().f xM 有有3.保保号号性性使得当使得当 时，时，定理定理3.且且 A 0,则存在则存在(A 0)0lim(),xxf xA 若若0(,),U x 0(,)xU x ()0.f x ()0)f x 推论推论.若在若在的某去心邻域内的某去心邻域内,且且 则则0 x()0f x ()0)f x 0lim(),xxf xA 0.A (0)A 不能不能!思考思考:若定理若定理 2 中的条件改为中的条件改为是否必有是否必有()0,f x 0?A 如如 20lim0 xx 3()22AAf x定理定理3:分析分析:若若则存在则存在0lim()0,xxf xA0(,),U x 使得当使得当 时，有时，有0(,)xU x ().2Af x()Af xA,2A 取取则在对应的邻域则在对应的邻域上上 0(,)U x 0:A 0:A 3()22AAf x 时时,有有0(,)xU x ().2Af x(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)4.子子列收敛性列收敛性定义定义:设在过程设在过程 (a 可以是可以是 或或 )中有数列中有数列 ，使得当使得当 时，时，则称数列则称数列 ，即：即：为函数为函数 当当 时的子列时的子列.xa00,xx 0 x()nxa n ()nf x12(),(),(),nf xf xf xxa()f x.nxa定理定理4 若若 数列数列 是是 当当0lim(),xxf xA()nf x()f x0 xxlim().nnf xA 时的任一子列，则有时的任一子列，则有当当 时，有时，有 要证要证lim()nnf xA0,N().nf xA nN 证证0lim()xxf xA 0,0,(),nf xA 从而有从而有lim().nnf xA 故故00lim,nnnxxxx又又且且0,对上述对上述当当 时，时，nN 00.nxx 恒恒有有().f xA 恒有恒有,N 00 xx 时，时，使得当使得当例如例如,1sinlim0 xxx nnn1sinlim 221sin1limnnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系:函数函数极限存在则它的极限存在则它的任何子列的极限都存在任何子列的极限都存在,且相等且相等.若有一子列极限不若有一子列极限不存在存在,或两子列极限不相等或两子列极限不相等,则函数极限不存在则函数极限不存在.注注:1.可利用函数的极限可利用函数的极限,求数列的极限求数列的极限;,1,1.12.由子列极限不存在或不相等由子列极限不存在或不相等 函数极限不存在函数极限不存在1sinlim1nnn1lim sinnnnxy1sin 证证例例7 证明证明二者不相等二者不相等,01limsin.xx不不存存在在 1,nxn 取取lim0,nnx 0;nx 且且 1,412nxn 取取lim0,nnx 0;nx 且且1limsinlimsinnnnnx 141limsinlimsin2nnnnx 而而lim1n 1,0,01limsin.xx故故不不存存在在内容小结内容小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 函数极限的性质函数极限的性质唯一性，局部有界性，唯一性，局部有界性，保号性，保号性，子列的收敛性子列的收敛性定理定理 1.0lim()xxf xA 00lim()lim()xxxxf xf xA在在x=0处的左、右极限是否存在？当处的左、右极限是否存在？当 时，时，思考题思考题21sin,010,0()5,0 xxxxf xxx 0 x()f x试问函数试问函数的极限是否存在？的极限是否存在？左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,思考题解答思考题解答0lim()xf x 20lim(5)5,xx 0lim()xf x 01limsin0,xxx 0lim()xf x 0lim()xf x 不存在不存在.0lim()xf x作作 业业 P38：4,5(3,4),6作业提交时间：作业提交时间：2013年年10月月14日日上午上午8:00备用题备用题.证明证明:当当证证:时时()f xA 0 xx00 xxxx 001xxx0,欲使欲使(),f xA 只要只要00,xxx 而而可用可用保证保证.0 x 00 xxx则当则当时时,00 xx 因此因此00lim.xxxx 00min,xx 故取故取00 x 00lim.xxxx 0.x 且且0,xx 必有必有一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x 一一.函数极限的定义函数极限的定义1.函数的极限函数的极限x sinxx观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势.x
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