§5行列式的性质

5 行列式的性质行列式的性质一、定义一、定义二、行列式的性质二、行列式的性质三、应用举例三、应用举例一、定义一、定义行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211二、行列式的性质二、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,571571 266853.825825 361567567361266853 互换行列式的两行互换行列式的两行 ,行列式变号行列式变号.（列）（列）推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD .82582532 cc361567567361,57157132 rr266853266853.,两行，记作两行，记作交换交换jijirr.,两列，记作两列，记作交换交换jijicc 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素对应行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零成比例，则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式值不变列式值不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如三、应用举例三、应用举例 计算行列式常用方法计算行列式常用方法 利用运算利用运算 把把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值值jikrr 例例10112012120112110 D4 D例例2213132321 D例例3dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 3610363234232例例4 计算阶行列式计算阶行列式abbbbbabbbbbabbbbbabbbbbaD bababababbbbbarrii 0000000000000000415,4,3,2.)(4(4baba 解解abbbbababbbabbabbabbbababbbbbaccc44444521 D例例5 5nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji.0111112nnnnnqqqqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111 故故.21DD 计算行列式常用方法计算行列式常用方法三、小结三、小结(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值而算得行列式的值