线性代数第六章 线性空间与线性变换

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题问题 若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作R V V 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合，为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作V ,V VRRV ,;,设设;0,0)3(都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV;)1(;)2(如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间）VR;1)5(;)6(.)8(;)7(;0 ,)4(使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何VV2 向量空间中的向量不一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为称为线性运算线性运算（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 线性空间的判定方法线性空间的判定方法.,0101量空间量空间向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过RaaaaxaxapxPxPnnnnnn 例2例2通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn)(01axaxann )()()(01axaxann xPn.对运算封闭对运算封闭xPn.0,0101间间空空和乘数运算不构成向量和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法且且次多项式的全体次多项式的全体 aRaaaaxaxapxQnnnnnn例3例3p0000 xxnxQn.对运算不封闭对运算不封闭xQn例例 正弦函数的集合正弦函数的集合 .,sinRBABxAsxS 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间 221121sinsinBxABxAss xbxaxbxasincossincos2211 xbbxaasincos2121 BxA sin.xS 11111sinsinBxABxAs xS 是一个线性空间是一个线性空间.xS例例 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间,ba一般地一般地例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 R .,RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证明;,RabbaRba.,RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素,1)3(RaR;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa;111 aaaa;1)5(1aaa ;)6(aaaaa ;)7(aaaaaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R.baba 0,0),(1 nTxx 不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体n RxxxxxxxSnnTn ,),(2121.对运算封闭对运算封闭Sn,1ox 但但.不满足第五条运算规律不满足第五条运算规律.,线性空间线性空间不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是Sn1 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，210,0.0,021 由于由于,0,021V 所以所以.000,000121212 则对任何则对任何 ，V 有有.000000212211 2 2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ，那么那么.0,0 则有则有0 0.向量向量 的负元素记为的负元素记为.00;1;00.3 证明证明 ,101010 .00 ,0011111 .1 10 0 .0 4如果如果 ，则则 或或 .0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么 011 .0 .11 又又.0 同理可证：若同理可证：若 则有则有0 .0 定义定义2 2设设 是一个线性空间，是一个线性空间，是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理线性空间定理线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VLVL解解(1)不构成子空间不构成子空间.因为对因为对1000001WBA?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW.,0000)2(2 RcbacbacbaW例例8 8有有,0000021WBA 即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有,0111 cba,0222 cba于是于是 212121000ccbbaaBA满足满足 ,0212121 ccbbaa,2WBA 即即有有对任意对任意Rk 111000kckbkakA且且,0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RW线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间线性空间 是一个集合是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.n?,为什么为什么上的一个线性空间上的一个线性空间是否构成是否构成数量乘法数量乘法对于通常的向量加法和对于通常的向量加法和的所有解向量的所有解向量元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组上的上的实数域实数域RBAXnR.上的一个线性空间上的一个线性空间不能构成不能构成R答答BXABXABAXnXX 2121 ,则则的解向量的解向量元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组都是都是设设事实上事实上BBBBXAXAXXA 2 )(2121但但.,21不封闭不封闭向量的集合对加法运算向量的集合对加法运算也就是说所有解也就是说所有解的解向量的解向量不是不是即即BAXXX .空间空间因此不能构成一个线性因此不能构成一个线性已知已知：在中，线性无关的向量组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的Rnn1 n问题问题：线性空间的一个重要特征：线性空间的一个重要特征在线性空在线性空间间 中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？V;,)1(21线线性性无无关关n .,21维数维数的的称为线性空间称为线性空间基基的一个的一个就称为线性空间就称为线性空间那末那末VnVn ,2)(21表表示示线线性性总总可可由由中中任任一一元元素素nV 定义定义 在线性空间在线性空间 中，如果存在中，如果存在 个元素个元素nn ,21满足：满足：V.,nVnn记记作作维维线线性性空空间间的的线线性性空空间间称称为为维维数数为为可表示为可表示为则则的一个基的一个基为为若若nnnVV,21 RxxxxxxVnnnn ,212211 当一个线性空间当一个线性空间 中存在任意多个线性无关中存在任意多个线性无关的向量时，就称的向量时，就称 是无限维的是无限维的VV,2211nnxxx .,212121nTnnxxxxxx 并记作并记作基下的坐标基下的坐标这个这个在在称为元素称为元素有序数组有序数组使使数数总总有有且且仅仅有有一一组组有有序序于于任任一一元元素素对对的的一一个个基基是是线线性性空空间间设设,2121nnnnxxxVV 定义定义.,1,453423214就是它的一个基就是它的一个基中中在线性空间在线性空间xpxpxpxppxP 例1例1axaxaxaxap01223344 4 次的多项式次的多项式任一不超过任一不超过papapapapap5443322110 可表示为可表示为),(43210aaaaapT在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此注意注意则则若取另一基若取另一基,2,1,1 45342321xqxqxqxqq qaqaqaqaqaap5443322111021)(),21,(432110aaaaaapT 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此线性空间线性空间 的任一元素在不同的基下所对的的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的唯一的V 1000,0100,0010,000122211211EEEE,4321224213122111 kkkkEkEkEkEk有有例例所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性上的一个线性空间对于空间对于 中的矩阵中的矩阵VVR,0000 224213122111 OEkEkEkEk因此因此,22211211VaaaaA 对于任意二阶实矩阵对于任意二阶实矩阵,0 3321 kkkk.,22211211线性无关线性无关即即EEEE.,22211211的一组基的一组基为为因此因此VEEEEEaEaEaEaA2222212112121111 有有.),(22211211aaaaAT在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是而矩阵而矩阵.)!1()(,!2)(),(),(,)()1(T321 nafafafafxfnn下的坐标是下的坐标是在基在基因此因此 则由泰勒公式知则由泰勒公式知)(,)(),(,1 ,1n2321axaxaxxRnn 取一组基取一组基中中在线性空间在线性空间例3例3)()!1()()(!2)()()()(1)1(2axnafaxafaxafafxfnn .,.,21的一个映射的一个映射到到的坐标之间的对应就是的坐标之间的对应就是因此向量与它因此向量与它中的元素中的元素而向量的坐标可以看作而向量的坐标可以看作确定的坐标确定的坐标中的每个向量都有唯一中的每个向量都有唯一这组基下这组基下在在的一组基的一组基维线性空间维线性空间是是设设RVRVVnnnnnnn .11.,算的关系上算的关系上在它与运在它与运这个对应的重要性表现这个对应的重要性表现对应的映射对应的映射的一个的一个与与我们称这样的映射是我们称这样的映射是中的不同元素中的不同元素因而对应因而对应同同中不同的向量的坐标不中不同的向量的坐标不同时同时应应中的向量与之对中的向量与之对中的每个元素都有中的每个元素都有由于由于 RVRVVRnnnnnn的坐标分别为的坐标分别为与与于是于是 k nnbbbaaann 21212121 设设则则和和下的坐标分别为下的坐标分别为在基在基即向量即向量,),(),(,212121bbbaaaVnTnTn nnnbababa)()()(222111 nnakakakk 2211),(),(),(21212211bbbaaabababanTnTnnT ),(),(2121aaakakakaknTnT.,:点点下面更确切地说明这一下面更确切地说明这一的讨论的讨论归结为归结为的讨论就的讨论就因而线性空间因而线性空间就归结为坐标的运算就归结为坐标的运算它们的运算它们的运算在向量用坐标表示后在向量用坐标表示后上式表明上式表明RVnn定义定义设设 是两个线性空间，如果它们的元素是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间组合的对应，那末就称线性空间 与与 同构同构.UVVU、例如例如维维线线性性空空间间n RxxxxxxVnnnn ,212211 与与 维数组向量空间维数组向量空间 同构同构.nnR因为因为),()1(21nTnnxxxRV中的元素中的元素与与中的元素中的元素 形成一一对应关系；形成一一对应关系；Vnnnxxx 2211),(21nTxxxx Rn设设)2(则有则有),(),(2121nTnTyyyxxx ),(21nTxxx),(21nTyyy),(21nTxxx 同维数的线性空间必同构同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称性同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性与传递性结论结论数域数域 上任意两个上任意两个 维线性空间都同维线性空间都同构构nP同构的意义同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数维线性空间唯一本质的特征就是它的维数线性空间的线性空间的基基与与维数维数；线性空间的元素在给定基下的线性空间的元素在给定基下的坐标坐标；坐标坐标：（）把抽象的向量与具体的数组向：（）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；量联系起来；线性空间的线性空间的同构同构（）把抽象的线性运算与数组向量（）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来的线性运算联系起来 中元素中元素求由求由3xP,142)(231 xxxxf,1932)(232 xxxxf,56)(33 xxxf5752)(234 xxxxf生成的子空间的基与维数生成的子空间的基与维数.0)()()()(44332211 xfkxfkxfkxfk令令解解.0)55()7694()532()22(43214321242134321 kkkkxkkkkxkkkxkkkk则得则得.00005511769450322121 4321 kkkk因此因此则则系数矩阵为系数矩阵为设该齐次线性方程组的设该齐次线性方程组的,A 0000000012104301初等行变换初等行变换A有有且且该子空间的维数为该子空间的维数为所生成的子空间的基所生成的子空间的基是是线性无关线性无关因此因此,2,)(),(),(),(,)(),(,432121xfxfxfxfxfxf).()(4)(),(2)(3)(214213xfxfxfxfxfxf 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？标如何改变呢？问题问题：在：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的nVVn且且有有两两个个基基的的是是线线性性空空间间及及设设,2121nnnV ,22112222112212211111 nnnnnnnnnnppppppppp 称此公式为基变换公式称此公式为基变换公式 nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111由于由于 nnnnnnnnppppppppp 2121222121211121.21 nTP Pnn ,2121 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的过的过渡矩阵渡矩阵 ,2121中中在在基基变变换换公公式式Pnn n ,21n ,21P过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的是可逆的P若两个基满足关系式若两个基满足关系式 Pnn ,2121,),(,),(,121212121nTnnTnnxxxxxxV下的坐标为下的坐标为在基在基为为下的坐标下的坐标在基在基中的元素中的元素设设定理定理 则有坐标变换公式则有坐标变换公式,2121 nnxxxPxxx.21121 nnxxxPxxx或或证明证明 nnxxx2121,2121nnxxx Pnn ,2121 .,21212121 nnnnxxxPxxx .2121 nnxxxPxxx即即.,21121 nnxxxPxxxP所以所以可逆可逆由于矩阵由于矩阵.,23 ,22 ,22 ,12 ,1 ,12 ,1 ,2 234233222312342332322313求坐标变换公式求坐标变换公式及及中取两个基中取两个基在在 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxP 例1例1.,43214321表示表示用用将将解解 ,)1,(),(234321Axxx 因为因为,)1,(),(234321Bxxx ,2221112031111202,1110011112121111 BA其中其中.),(),(143214321BA 得得.432114321 xxxxABxxxx故坐标变换公式为故坐标变换公式为.1AB 用初等变换计算用初等变换计算 AB 11102221011111201212311111111202初等行变换初等行变换 11111000100001000011001011100001 11111000100001000011001011100001 ABE1 1111100000111110 .1111100000111110 43214321 xxxxxxxx所以所以.211 ,11 10 ,01 .22121的两个基的两个基为线性空间为线性空间及及设设RV 坐标变换的几何意义坐标变换的几何意义 例2例2,2121 又设又设下的坐标为下的坐标为在基在基则则 21,121 21xx下的坐标为下的坐标为在基在基由坐标变换公式可知由坐标变换公式可知 21,12112121111121yy.21 21 即即xyo 1 2 2 121 1 2 121 基变换公式基变换公式 nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111 Pnn ,2121 坐标变换公式坐标变换公式,2121 nnxxxPxxx或或.21121 nnxxxPxxx .32,1,1,23233在在这这个个基基下下的的坐坐标标并并求求多多项项式式的的一一个个基基是是证证明明 xxxPxxxxx0 )()()()1()1()(4342233214233231 kkxkkxkxkkxkxkxxkxk令令证明证明 0,0,0,04342321kkkkkkk04321 kkkk.,1,1,3233的一个基的一个基是是线性无关线性无关故故xPxxxxx ,32 )1()1()(24233231 xxxaxaxxaxa又令又令 3,2,1,0 4342321aaaaaaa则则 .2,1,0,0 4321aaaa解之可得解之可得.)2,1,0,0(322Txx在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为故故 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的间到线性空间的映射来实现的映射映射).(,)(),(,1ATTBABABA 或或记作记作或映射或映射的变换的变换到集合到集合合合这个对应规则称为从集这个对应规则称为从集那么那么和它对应和它对应中一个确定的元素中一个确定的元素总有总有按照一定规则按照一定规则元素元素中任一中任一如果对于如果对于设有两个非空集合设有两个非空集合定义定义 ,)()(ATAT 变换的概念是函数概念的推广变换的概念是函数概念的推广即即记记作作象象集集称称为为象象的的全全体体所所构构成成的的集集合合的的源源集集称称为为变变换换下下的的源源在在变变换换称称为为下下的的象象在在变变换换称称为为变变为为把把元元素素就就说说变变换换设设),(,.,)(,ATTATTTTA .)(BAT 显显然然 ;,)1(212121 TTTVn 有有任给任给 .,)2(kTkTRkVn 都都有有任任给给.,的的线线性性变变换换到到为为从从就就称称那那么么mnUVT满足满足如果变换如果变换的变换的变换到到是一个从是一个从性空间性空间维线维线维和维和分别是实数域上的分别是实数域上的设设定义定义TUVTmnUVmnmn,22 2从线性空间从线性空间 到到 的线性变换的线性变换VnUm .,2)(下下的的象象在在变变换换代代表表元元素素或或变变换换代代表表线线性性一一般般用用黑黑体体大大写写字字母母TTTBAT 说明说明.)1(组合的对应的变换组合的对应的变换线性变换就是保持线性线性变换就是保持线性.,中的线性变换中的线性变换称为线性空间称为线性空间自身的线性变换自身的线性变换到其到其是一个从线性空间是一个从线性空间那么那么如果如果VVTVUnnnm 从线性空间从线性空间 到其自身的线性变换到其自身的线性变换Vn下面主要讨论线性空间下面主要讨论线性空间 中的线性变换中的线性变换Vn,3中中在线性空间在线性空间xP例1例1.)1(是一个线性变换是一个线性变换微分运算微分运算D,3012233xPaxaxaxap ,231223axaxaDp ,3012233xPbxbxbxbq ,231223bxbxbDq )()()()(0011222333baxbaxbaxbaD )(qpD 从而从而)()(2)(31122233baxbaxba )23()23(12231223bxbxbaxaxa ;DqDp )()(012233akxakxakxakDkpD )23(1223axaxak .kDp.,)()2(0也是一个线性变换也是一个线性变换那么那么如果如果TapT);()()(00qTpTbaqpT ).()(0pkTakkpT .,1)()3(11性变换性变换但不是线但不是线是个变换是个变换那么那么如果如果TpT,1)(1 qpT,211)()(11 qTpT但但).()()(111qTpTqpT 所以所以.,cossinsincos 的几何意义的几何意义说明说明平面上的一个变换平面上的一个变换确定确定由关系式由关系式TTxOyyxyxT 例2例2解解 ,sin,cos ryrx记记于是于是 yxT cossinsincosyxyx cossinsincossinsincoscosrrrr,)sin()cos(rr.:角角转转向旋向旋把任一向量按逆时针方把任一向量按逆时针方变换变换上式表明上式表明 Txyopp1 证明证明设设 .,VxgVxf 则有则有 dttgtfxgxfTxa dttgdttfxaxa xgTxfT 例例定义在闭区间上的全体连续函数组成实数定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换，在这个空间中变换是一个线性变换是一个线性变换.dttfxfTxa V xkfT故命题得证故命题得证.证明证明则有则有 E EE V ,设设 dttkfxa tdtfkxa .xfkT .kEkkE 例例线性空间线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换是线性变换 .,VE VE所以恒等变换所以恒等变换 是线性变换是线性变换E证明证明 000000 设设,V 则有则有 .0000 kkk 所以零变换是线性变换所以零变换是线性变换例例线性空间线性空间 中的零变换中的零变换 ：是线性：是线性变换变换 00 VO证明证明 ,3321321Rbbbaaa 332211,bababaTT 0,3232211bbaaba 0,0,32213221bbbaaa .TT 证毕证毕.例例在在 中定义变换中定义变换则则 不是不是 的一个线性变换的一个线性变换 0,3221321xxxxxxT 3R3RT ;,00.1 TTT .,.3 2121亦亦线线性性相相关关则则线线性性相相关关若若mmTTT ;,.222112211mmmmTkTkTkTkkk 则则若若.,2121不不一一定定线线性性无无关关则则线线性性无无关关若若mmTTT 注注意意证明证明 ,21nVT 设设,21nV 则则有有,2211 TT使使从而从而2121 TT ,21nVTT ;21nV 因因11 kTk ,1nVTkT ,1nVk 因因由于由于 ,nnVVT 由上述证明知它对由上述证明知它对 中的线中的线nV线性运算封闭，线性运算封闭，故它是故它是 的子空间的子空间nV.),()(.4 的象空间的象空间称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间是一个线性空间是一个线性空间的象集的象集线性变换线性变换TVVTTnn证明证明,21TS 若若,0,021 TT则则 2121 TTT 0;21TS ,1RkST 若若则则 0011 kkTkT .1TSk ,对对线线性性运运算算封封闭闭因因此此TS,nTVS 又又.的的子子空空间间是是故故nTVS .,0,0.5 的的核核称称为为线线性性变变换换的的子子空空间间是是的的全全体体的的使使TSVTVSTTnnT 阶矩阵阶矩阵设有设有n 例7例7),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中的变换中的变换定义定义其中其中)(,21xTyRaaanniiii ),(,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T,Rban 设设则则)(baT)(baA AbAa );()(bTaT )(kaT)(kaA kAa).(akT 量空间量空间所生成的向所生成的向的象空间就是由的象空间就是由又又 nT,21,)(212211RxxxxxxyRTnnnn .0 间间的解空的解空就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组的核的核 AxSTT要证一个变换要证一个变换 是线性变换，必须证是线性变换，必须证 保持保持加法和数量乘法，即加法和数量乘法，即 ,TTT .kTkT TT若证一个变换若证一个变换 不是线性变换，只须证不是线性变换，只须证 不保不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可TT.,)(,332132133213并分析其几何意义并分析其几何意义的一个线性变换的一个线性变换是是试证明试证明定义定义对任意对任意的一个变换的一个变换是是设设RaaaaaaRaaaR (略)(略)证明证明:几何意义几何意义.)(,面镜子反射所成的象面镜子反射所成的象对于这对于这就是就是平面作为一面镜子平面作为一面镜子将将 xOy.反射变换反射变换镜面变换镜面变换或者或者这个变换也称为这个变换也称为阶矩阵阶矩阵设设n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中的变换中的变换定义定义其中其中)(,21xTyRaaanniiii ),(,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T那么那么为单位坐标向量为单位坐标向量设设,21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,),2,1()(nieTeAiii 即即.)(,)(,为列向量为列向量应以应以那么矩阵那么矩阵有关系式有关系式如果一个线性变换如果一个线性变换因此因此eTAAxxTTi 那么那么使使如果一个线性变换如果一个线性变换反之反之),2,1()(,nieTTii )(xT),(21xeeeTn)(2211exexexTnn )()()(2211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 其中其中表示表示都可用关系式都可用关系式中任何线性变换中任何线性变换,)()(,RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn,212222111211 aaaaaaaaannnnnn.,21为单位坐标向量为单位坐标向量eeen可知可知综上所述综上所述,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 定义设定义设 是线性空间是线性空间 中的线性变换，在中的线性变换，在 中取定一个基中取定一个基 ，如果这个基在变换，如果这个基在变换下的象为下的象为nVnVn ,21TT其中其中,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式上式 ,2121nnTTTT 记记可表示为可表示为那末，那末，就称为线性变换就称为线性变换 在基在基 下的下的矩阵矩阵n,21AT.)(,),(,1唯一确定唯一确定由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然 nTTA?,),(),(,21212121需要满足什么条件呢需要满足什么条件呢变换变换那么那么下的象为下的象为在变换在变换也就是说基也就是说基的矩阵的矩阵下下在基在基是线性变换是线性变换假设假设现在现在TATTTAnnnn 有有设设,1 iniinxV )(T)(1 iniixT niiiTx1)(xxxTTTnn2121)(,),(),(,),(2121 xxxAnn .),(),(21212121 xxxAxxxTnnnn 即即.,为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换是以是以变换变换并且所确定的并且所确定的变换变换上式唯一地确定了一个上式唯一地确定了一个ATT.由上式唯一确定由上式唯一确定为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换以以TA.,TAATVn个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下结论结论:),(),(21212121可知可知从关系式从关系式 xxxAxxxTnnnn ,21下下在基在基 n;21 xxxn 的坐标为的坐标为.)()(21 xxxATTn 的坐标为的坐标为有有因此按坐标表示因此按坐标表示,.)(AT.,1,4322313的矩阵的矩阵求微分运算求微分运算取基取基中中在在DpxpxpxpxP 例1例1解解 ,00000,10001,02002,00303432144321343212432121pppppDpppppDppppxpDppppxpD在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为所以所以D.0100002000030000 A.,)(,上的一个线性空间上的一个线性空间构成构成数与多项式的乘法数与多项式的乘法它对于多项式的加法和它对于多项式的加法和组成的集合记作组成的集合记作式式包括零多项包括零多项的所有一元多项式的所有一元多项式中次数小于中次数小于记作记作合合上所有一元多项式的集上所有一元多项式的集实数域实数域RxRnxRxRRn例2例2.,:)(),()(,微分变换微分变换这个变换也称为这个变换也称为变换变换上的一个线性上的一个线性是是则由导数性质可以证明则由导数性质可以证明定义变换定义变换中中在线性空间在线性空间xRxRxfxfdxdxfxRnnn 则有则有的基为的基为现取现取,112xxxxRnn,0)1(,1)(x,2)(2xx ,下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此xxxn 12,1,0000100002000010nAxnxnn21)1()(即即变换变换平面的线性平面的线性表示将向量投影到表示将向量投影到中中在在,3xOyTR例3例3,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,)1(的矩阵的矩阵求求取基为取基为的矩阵的矩阵求求取基为取基为TkjijiTkji 解解 ,0,)1(kTjjTiiT.000010001),(),(kjikjiT即即 ,)2(jiTjTiT.000110101),(),(T即即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵有不同的矩阵同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？那么这些矩阵之间有什么关系呢？上面的例子表明上面的例子表明,;,2121nn 定理定理设线性空间设线性空间 中取定两个基中取定两个基nV由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ，中的线性变换中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB于是于是 nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 证明证明 Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 APn ,21 APPn121,因为因为 线性无关，线性无关，n,21所以所以.APPB1 证毕证毕.定理表明：定理表明：与与 相似，且两个基之间的过渡相似，且两个基之间的过渡矩阵矩阵 就是相似变换矩阵就是相似变换矩阵BAP例例.,1222211211212下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为在基在基中的线性变换中的线性变换设设 TaaaaATV ,0110),(),(2112 解解,0110 P即即,0110 1 P求得求得下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是),(12 T 0110011022211211aaaaB.11122122 aaaa 011012112221aaaa).(,ARTTA的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)(的秩的秩性变换性变换称为线称为线的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换定义2定义2TVTTn.,987654321 ,3 132321下的矩阵下的矩阵在基在基求求下的矩阵为下的矩阵为在基在基的线性变换的线性变换维线性空间维线性空间已知已知 AV例5例5解解由条件知由条件知 987654321),(),(321321 321332123211963)(852)(74 )(即即下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此 132,74)(396)(285)(132113231322从而有从而有.174396285 B给定了线性空间给定了线性空间 的一组基以后，的一组基以后，中的线中的线性变换与性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在中的矩阵形成一一对应因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵变换来研究矩阵nRnRnnR 同一变换在不同基下的矩阵是相似的同一变换在不同基下的矩阵是相似的的两个线性变换的两个线性变换已知已知22 R 22,RXMXXSXNXT 1111,0201NM.,22211211下的矩阵下的矩阵在基在基试求试求EEEEST )(11EST 解解)()(1111ESET EMNE1111 0001020111110001 0212,22211211EEE 同理可得同理可得,22001 )(2211121212EEEMNEEST ,1100 )(2221212121EEEMNEEST ,1100 )(2221222222EEEMNEEST 组基下的矩阵为组基下的矩阵为在这在这所以所以ST .1120110200010012 :),;,(;,;,.,RVVVRVVRV 设设运算规律运算规律两种运算满足以下八条两种运算满足以下八条并且这并且这记作记作的积的积与与称为称为与之对应与之对应总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素与任一元素与任一元素数数又对于任一又对于任一记作记作的和的和与与称为称为之对应之对应与与总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素意两个元素意两个元素如果对于任如果对于任为实数域为实数域是一个非空集合是一个非空集合设设;0 ,)4(;0 ,;0)3();()(2(;)1(使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VVVV,)()8(;)(7(;)()()6(;1)5(那么，那么，就称为（实数域就称为（实数域 上的）上的）向量空间向量空间（或或线性空间线性空间），），中的元素不论其本来的性质如中的元素不论其本来的性质如何，统称为（何，统称为（实实）向量向量简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为就称为线性运算线性运算；凡定义了线性运算的集合，就；凡定义了线性运算的集合，就称为称为向量空间向量空间VRV.00,0)4(;00;)1(;00)3(;,)2(;)1(或或则则如果如果作作的负元素记的负元素记一的一的任一元素的负元素是唯任一元素的负元素是唯零元素是唯一的零元素是唯一的定义定义设设 是一个线性空间，是一个线性空间，是是 的一个非空子的一个非空子集，如果集，如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称也构成一个线性空间，则称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理定理线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VLVL.,)2(;,)1(:,21212121的维数的维数称为线性空间称为线性空间个基个基的一的一就称为线性空间就称为线性空间那么那么性表示性表示线线总可由总可由中任一元素中任一元素线性无关线性无关满足满足个元素个元素如果存在如果存在中中在线性空间在线性空间VnVVnVnnnn 定义定义.,Vnnn记作记作维线性空间维线性空间的线性空间称为的线性空间称为维数为维数为定义定义.),(,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV 并记作并记作这个基下的坐标这个基下的坐标在在这组有序数就称为元素这组有序数就称为元素使使总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数任一元素任一元素对于对于的一个基的一个基是线性空间是线性空间设设一般地，设一般地，设 与与 是两个线性空间，如果在是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与与 同构同构VUVU线性空间的结构完全被它的维数所决定线性空间的结构完全被它的维数所决定任何任何 维线性空间都与维线性空间都与 同构，即同构，即维数相等维数相等的线性空间都同构的线性空间都同构Rnn式可表示为式可表示为量和矩阵的形式量和矩阵的形式利用向利用向个有序元素记作个有序元素记作这这把把个基个基中的两中的两是线性空间是线性空间及及设设)1(,),(,)1(,112211222211221221111111 nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV .,.,)2()1()2(.),(),(2121212121212121222121211121故过渡矩阵可逆故过渡矩阵可逆线性无关线性无关由于由于的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基称为由基称为由基矩阵矩阵称为基变换公式称为基变换公式或或或或 nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp 则有坐标变换公式则有坐标变换公式若两个基满足关系式若两个基满足关系式下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基中的元素中的元素设设PxxxxxxVnnnTnnTnn),(),(,),(,),(,212121212121 .,211212121 xxxPxxxxxxPxxxnnnn或或.),(),(,2121Pnn 式式则两个基满足基变换公则两个基满足基变换公换公式换公式满足上述坐标变满足上述坐标变若任一元素的两种坐标若任一元素的两种坐标反之反之).(,)(),(,ATTBABABA 或或记作记作或映射或映射的变换的变换到集合到集合合合这个对应规则称为从集这个对应规则称为从集那么那么和它对应和它对应中一个确定的元素中一个确定的元素总有总有按照一定规则按照一定规则元素元素中的任一中的任一如果对于如果对于设有两个非空集合设有两个非空集合 .)(,)()(),(,.,)(,BATATATATTATTTTA 显显然然即即记记作作象象集集称称为为象象的的全全体体所所构构成成的的集集合合的的源源集集称称为为变变换换下下的的源源在在变变换换称称为为下下的的象象在在变变换换称称为为变变为为把把元元素素就就说说变变换换设设 变换的概念是函数概念的推广变换的概念是函数概念的推广.,.,),()(),(,)2();()()(),(,)1(,21212121的对应的变换的对应的变换变换就是保持线性组合变换就是保持线性组合线性线性简言之简言之的线性变换的线性变换到到就称为从就称为从那么那么有有从而从而任给任给有有从而从而任给任给满足满足如果变换如果变换的变换的变换到到是一个从是一个从间间维线性空维线性空维和维和分别是实数域上的分别是实数域上的设设UVTkTkTVkRkVTTTVVTUVTmnUVmnnnnnmnmn .,线性变换线性变换中的中的称为线性空间称为线性空间到其自身的线性变换到其自身的线性变换间间是一个从线性空是一个从线性空那么那么如果如果特别地特别地VVTVUnnnm.,3 ;)(,2 ;)(,001 212122112211反之不然反之不然亦线性相关亦线性相关则则线性相关线性相关若若则则若若 mmmmmmTTTTkTkTkTkkkTTT .,0,05 .),()(4 的核的核称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间也是也是的全体的全体的的使使的象空间的象空间称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间是一个线性空间是一个线性空间的象集的象集线性变换线性变换TSVTVSTTVVTTTnnTnn .,)(,),(),(,)()(,2121222211121121为单位坐标向量为单位坐标向量其中其中表示表示都可用关系式都可用关系式中任何线性变换中任何线性变换eeeaaaaaaaaaeTeTeTARxAxxTTRnnnnnnnnnn ,)(,)(,)()(,2211222211221221111121 nnnnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaTTVVT为为用这个基线性表示用这个基线性表示下的象下的象如果这个基在变换如果这个基在变换一个基一个基中取定中取定在在中的线性变换中的线性变换是线性空间是线性空间设设.,),(),(),(,),(),(),(2121222211121121212121的矩阵的矩阵下下在给定基在给定基就称为线性变换就称为线性变换那么那么其中其中式可表示为式可表示为上上记记 nnnnnnnnnnnTAaaaaaaaaaAATTTTT .,.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在TAATVn.,121212121APPBBATVPVnnnnnn 那么那么和和的矩阵依次为的矩阵依次为在这两个基下在这两个基下中的线性变换中的线性变换的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基与与中取定两个基中取定两个基在线性空间在线性空间 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵同基下的矩阵.,)(的秩的秩换换称为线性变称为线性变的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换TVTTn).(,ARTTA的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若一、线性空间的判定一、线性空间的判定二、子空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标三、求向量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法五、过渡矩阵的求法六、线性变换的判定六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩阵八、线性变换在给定基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵线性空间中两种运算的条运算规律缺一不线性空间中两种运算的条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证若要证明某个集合对于所定义的两种运算不若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和条运构成线性空间，只需说明在两个封闭性和条运算规律中有一条不满足即可算规律中有一条不满足即可,:.,:,aakRkRaabbaRbaRRRk 对任意对任意数量乘法数量乘法对任意对任意加法加法上定义了两种运算上定义了两种运算在在是实数集合是实数集合是全体正实数集合是全体正实数集合设设例1例1?性空间性空间上的线上的线数域数域对这两种运算是否构成对这两种运算是否构成判断判断RR 解解,1R ,0,0 aakak.R,RlkRba 任取任取,0,0,0 abbaba.Rba .封闭的封闭的数量乘法运算是数量乘法运算是对于上述定义的加法和对于上述定义的加法和即即R.Rak ;)1(abbaabba );()()()()()(2(cbabcabcacabcabcba ;1,11,1)3(中的零元素中的零元素是是RaaaR ;1)(111,1,01,0)4(aaaaaaRaaa的负元素是的负元素是零元零元即即 ;)(5(alakaaaaaalklklklk .的线性空间的线性空间上上量乘法构成量乘法构成对上述定义的加法和数对上述定义的加法和数RR);()()()()(6(alkalaaaaklklkklkl );()()()()()()7