第25讲平面向量的概念与运算

1.了解向量的实际背景，理解平面了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，并掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算，理解其几何意义，掌握向量数乘的运算，理解两个向量共线的含义，了解向量线理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义性运算的性质及其几何意义.3.了解平面向量的基本定理及其意义，了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的理解用坐标表示的平面向量共线的条件条件.4.理解平面向量数量积的含义及其物理理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系个平面向量垂直关系.1.下列说法正确的是下列说法正确的是()CA.平行向量就是与向量所在直线平平行向量就是与向量所在直线平行的向量行的向量B.长度相等的向量叫相等向量长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为零向量的长度为0D.共线向量是在一条直线上的向量共线向量是在一条直线上的向量 平行向量指方向相同或相反的非零平行向量指方向相同或相反的非零向量，其所在直线可以平行也可以重合，向量，其所在直线可以平行也可以重合，故故A错；长度相等的向量不一定是相等错；长度相等的向量不一定是相等向量，故向量，故B错；共线向量即平行向量，错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故不一定在同一条直线上，故D错；错；C是正是正确的确的.2.若向量若向量a=(x,1),b=(4,x)，则当，则当x=时，时，a与与b共线且方向相同共线且方向相同.2 因为因为a=(x,1),b=(4,x),若若ab,则则xx-14=0,即即x2=4,所以所以x=2，当当x=-2时，时，a与与b方向相反，方向相反，当当x=2时，时，a与与b方向相同方向相同.3.已知向量已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若若ka-2b与与a垂垂直，则实数直，则实数k等于等于 .-1 ka-2b=(k-4,k+6),a=(1,1),由已知得由已知得(ka-2b)a=k-4+k+6=0，解得解得k=-1.4.已知已知a、b均为单位向量，它们的夹角为均为单位向量，它们的夹角为60,那么那么|a+3b|=()CA.B.C.D.471013 a+b遵循平行四边形法则遵循平行四边形法则.|a+3b|=.故选故选C.22|3|2|3|cos60bab a1319 12 3 12 5.已知已知a=(2,3),b=(-4,7),则则a在在b上的投影为上的投影为()AA.B.C.D.6551351365|a|cos=|a|=.故选故选A.|a bab|a bb222(4)3 747 13656551.向量的有关概念向量的有关概念既有既有 又有又有 的量叫做向量的量叫做向量.的向量叫做零向量，记作的向量叫做零向量，记作0，规，规定零向量的方向是任意的定零向量的方向是任意的.的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量.方向方向 的的 向量叫做平向量叫做平行向量行向量(或共线向量或共线向量).且且 的向量叫做相等的向量叫做相等向量向量.且且 的向量叫做相反的向量叫做相反向量向量.大小大小方向方向长度为长度为0长度为长度为1相同或相反相同或相反非零非零长度相等长度相等方向相同方向相同长度相等长度相等方向相反方向相反2.向量的表示方法向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示用坐标表示.3.向量的运算向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则则、三角形法则.实数与向量的积：实数实数与向量的积：实数与向量与向量a的积的积是一个向量，记作是一个向量，记作a，它的长度和方向规，它的长度和方向规定如下：定如下：(1)|a|=;(2)当当0时时,a的方向与的方向与a的方向的方向 ；当当0得得t1或或t-1,令令f(t)0得得-1t1，且，且t0.所以函数所以函数k=f(t)的单调递增区间为的单调递增区间为(1,+)和和(-,-1)，单调递减区间为，单调递减区间为(-1,0)和和(0,1).1414 该例为向量与函数及导数的综合问该例为向量与函数及导数的综合问题，求解时要灵活变换，及时调整思维角题，求解时要灵活变换，及时调整思维角度度,并注意解题的严谨性并注意解题的严谨性,如如t0容易忽略容易忽略.已知两点已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P使使 ，成公差小成公差小于零的等差数列于零的等差数列.(1)点点P的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？(2)若点若点P的坐标为的坐标为(x0,y0)，记，记为为 与与 的夹角，求的夹角，求tan.MPMN PM PNNM NP PM PN (1)设设P(x,y)，由，由M(-1,0),N(1,0)，得，得 =-=(-1-x,-y),=-=(1-x,-y),=-=(2,0).所以所以 =2(1+x),=x2+y2-1,=2(1-x).于是，于是，是公差小是公差小于零的等差数列，于零的等差数列，等价于等价于 x2+y2-1=2(1+x)+2(1-x)2(1-x)-2(1+x)0.所以，点所以，点P的轨迹是以原点为圆心的轨迹是以原点为圆心,3为半径为半径的右半圆的右半圆(不包括与不包括与y轴的交点轴的交点).(2)点点P的坐标为的坐标为(x0,y0),=x02+y02-1=2,|=.所以所以cos=.PM PNPM PN22220000(1)(1)xyxy00(42)(42)xx202 4x|PM PNPMPN 2014x因为因为0 x0 ,所以所以 cos1,0 ,sin=,所以所以tan=|y0|.312321 cos20114xsincos202011414xx23cos (1)本题是关于平面向量的一道综合创新本题是关于平面向量的一道综合创新题，它考查了平面向量的基本概念及其运算，题，它考查了平面向量的基本概念及其运算，是一个向量与平面解析几何、三角函数及不等是一个向量与平面解析几何、三角函数及不等式的综合题，是在知识网络的交汇点处设计的式的综合题，是在知识网络的交汇点处设计的一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却是向量中最基本也是最重要的知识是向量中最基本也是最重要的知识.(2)平面向量的数量积将角度和长度有机地平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起，因此联系在一起，因此,涉及角度与距离有关的问涉及角度与距离有关的问题题,可优先考虑用向量的数量积进行处理可优先考虑用向量的数量积进行处理.1.向量的坐标表示主要依据平面向量的向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理基本定理,平面向量平面向量 实数对实数对(x,y),任任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系一一对应的关系.即向量即向量(x,y)OA 点点A(x,y).向量的坐标等于表示此向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.一一对应 一一对应 一一对应2.向量的坐标表示，实际上是向量的向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法题提供了一种有效方法.3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标去始点坐标.本讲易忽略点有二本讲易忽略点有二:一是易将向量一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.4.本讲是平面向量这一章的重要内容，要本讲是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律数乘法的运算律，数量积不满足结合律(ab)ca(bc)、消去律、消去律(ab=ac/b=c;ab=0/a=0)，但满足交换律和分配律，但满足交换律和分配律.5.公式公式 ab=|a|b|cos；ab=x1x2+y1y2；|a|2=a2=x2+y2的关系非常密切，必须能够灵活的关系非常密切，必须能够灵活综合运用综合运用.6.通过向量的数量积，可以计算向量的长通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直判断相应的两直线是否垂直.7.ab x1y2-x2y1=0与与ab x1x2+y1y2=0要区分清楚要区分清楚.8.由于向量有多种表达形式，又向量的各由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法识解决有关问题时往往有多种方法.其中坐标其中坐标法是最常用，最重要的一种方法法是最常用，最重要的一种方法.学例1 (2009湖南卷湖南卷)如图，两块斜如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起边长相等的直角三角板拼在一起.若若 =x +y ,则则x=,y=.ADAB AC31232 以以AB所在直线为所在直线为x轴，以轴，以A为原点建为原点建立平面直角坐标系，如图立平面直角坐标系，如图.令令AB=2，则，则 =(2,0)，=(0,2).过过D作作DFAB交交AB的延长线于的延长线于F.AB AC由已知得由已知得DF=BF=，则，则 =(2+,).因为因为 =x +y ，所以，所以(2+,)=(2x,2y).2+=2x x=1+3=2y，y=.另解：另解：=+=（1+）+，所以所以x=1+，y=.3ADAC33ADAB 333即有即有解得解得3232ADAF FD 32AB 32AC3232学例2 (2009宁夏宁夏/海南卷海南卷)已知点已知点O,N,P在在ABC所在的平面内，所在的平面内，且且|=|=|,=0，=，则点，则点O、N、P依次是依次是ABC的的(注：三角形的三条高线交注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心于一点，此点称为三角形的垂心)（）OA OB OCNA NB NCPA PB PB PC PC PA CA.重心、外心、垂心重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心重心、外心、内心C.外心、重心、垂心外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心外心、重心、内心 由由|=|=|知，知，O为为ABC的外的外心；心；由由 +=0知知,N为为ABC的重心；的重心；因为因为 =,所以所以(-)=0，所以所以 =0，所以，所以 .同理，同理，,所以所以P为为ABC的垂心的垂心.故选故选C.OA OB NA NB NCPA PB PB PC PC PA OCPB CA PB CA PB AP BC 本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来