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第六节第六节 微分法的几何应用微分法的几何应用1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面：)()()(tzztyytxx()t为为参参数数对应对应 曲线上的两点为曲线上的两点为tttt 00与与0000000(,),(,)M x y zM xx yy zz设曲线方程为：设曲线方程为：0MMxyz00000 M Mxxyyzzxyz则则割割线线的的方方程程为为000 xxyyzzxtytzt00(),tMM 令令得得曲曲线线000000()()()xxyyzzx ty tz t0M在在点点处处的的切切线线方方程程为为 法平面：过法平面：过M0且与曲线在且与曲线在M0处的切线垂直处的切线垂直的平面，切线的方向向量为其法向量，故的平面，切线的方向向量为其法向量，故M0处的法平面方程为处的法平面方程为：0)()()(000000 zztzyytyxxtx注：注：1.只要与只要与)(),(),(000tztytx 成比例成比例0,|Mdx dy dz等等的向量均可作为切线的方向向量的向量均可作为切线的方向向量,如如 2.若曲线方程为若曲线方程为 y=y(x)，z=z(x),则可把则可把 x 看看成参数而成参数而 得方向向量得方向向量 )(),(,100 xzxy 例例1.求两个抛物柱面求两个抛物柱面 y=6x2,z=12x2 相交成的空相交成的空间曲线在间曲线在x=1/2 处的切线与法平面方程。处的切线与法平面方程。tztyx24121 12622 tztytx)3,23,21(0M 12)21(6)21(1)21(zyx解：解：曲线参数方程为：曲线参数方程为：则：则：3122 3 1612 13 ()6()12(3)02291 :61202xyzxyzxyz切切线线方方程程为为法法平平面面方方程程为为即即4620262dydzxyzdxdxdzdyzxydxdx例例2.求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法平面方程。处的切线与法平面方程。2222223932 yxzzyx)2,1,1(0 M0572320 ,48320Mdydzdydzdxdxdxdxdydzdxdx把把代代 入入 得得解解:把把 y,z 作为作为 x 的函数，两边对的函数，两边对 x求导求导,得得01,|8,10,7 8,10,7Mdy dzdx dx 可可取取方方向向向向量量为为112:8107:8(1)10(1)7(2)0 :8107120 xyzxyzxyz切切线线方方程程为为法法平平面面方方程程为为即即定义定义1(切平面切平面)：若曲面上过点若曲面上过点 M0 的任意一条的任意一条光滑曲线在该点的切线都在同一个平面上，则光滑曲线在该点的切线都在同一个平面上，则称此平面为曲面在称此平面为曲面在M0 处的处的切平面切平面，过，过M0且与且与切平面垂直的直线称为曲面在切平面垂直的直线称为曲面在M0 的的法线法线。2.空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线：0000:(,)0,(,),0,(,)F x y zF x y zMx y z设设曲曲面面其其中中可可微微 且且三三个个偏偏导导数数不不全全为为为为上上一一点点(),(),()0F x ty tz t在在上上000 ():(),()Mxx tyy tttMzz t任任取取曲曲面面上上过过点点的的光光滑滑曲曲线线0000000|()()()()()()0ttxyzdFdtFMx tFMy tFMz t则则0 an000,MMnnM过过的的任任一一位位于于曲曲面面上上的的曲曲线线在在的的切切线线均均与与 垂垂直直 因因而而这这些些切切线线均均位位于于以以 为为法法向向量量的的平平面面内内 此此平平面面即即为为在在的的切切平平面面000000(),(),(),(),(),()xyznF MF MF Max ty tz t记记00,:(,)(,)(,)(),(),1xyzf x yF x y zf x yznf MfM特特别别 若若的的方方程程为为则则令令即即得得切切平平面面的的法法向向量量0)()()(000000 zzMFyyMFxxMFzyx0:M 处处的的法法线线方方程程为为)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx :故故切切平平面面方方程程为为 例例3.已知曲面已知曲面 上点上点P 处处 的切的切平面平行于平面平面平行于平面 求求P点坐标。点坐标。424222 zyx,0522 zyx222424;8,4,2;8428,4,2|2,2,1 221xyzFxyzFxFyFzxyzxyzt解：解：2222111,422111 424 16441 2,(,1,1)2xtytzttttttP 满满足足曲曲面面方方程程于于是是点点坐坐标标为为例例 4.设设F(u,v)可微，证明可微，证明 曲面曲面 F(cx-az,cy-bz)=0上上 任一点的法向量垂直于一常向量。任一点的法向量垂直于一常向量。:,:,0 xyzuvuvuvuvnFFFcFcFaFbFna b cacFbcFacFbcF证证明明 任任一一点点处处法法向向量量为为显显然然有有 ,a b c 任任一一点点的的法法线线总总垂垂直直于于常常向向量量。000000000000000000(,):()()()0:30 xyzy zxxx zyyx yzzy z xx z yx y z过过曲曲面面上上任任一一点点的的切切平平面面方方程程为为即即 例例 5.证明曲面证明曲面 xyz=1 在任一点的切平面与三个在任一点的切平面与三个坐标面坐标面 所围成的体积是一个常数。所围成的体积是一个常数。(,)1 ,xyzF x y zxy zFyz Fxz Fxy 证证:设设0000001333xyzy zx zx y2000000000 1333919 V|62()2y zx zx yx y z切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面围围成成的的立立体体体体积积为为3.曲线的弧长曲线的弧长定义定义2(弧长弧长)设简单曲线（连续且不相交的曲设简单曲线（连续且不相交的曲线）线）的参数方程为：的参数方程为：r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)t A=P0B=PnP1Pi-1Pi在曲线上介于端点在曲线上介于端点A,B之间沿参数之间沿参数t增加方向增加方向插入插入n-1个分点，然后个分点，然后用折线相连，折线长度用折线相连，折线长度为为 niiinPPs11|若不论分点如何选取若不论分点如何选取,当当11max|0iii ndP P 时，时，sn有确定的极限，则称曲线有确定的极限，则称曲线 为为可求长的可求长的曲线。曲线。称此极限称此极限s为为 的弧长，即的弧长，即:101lim|niidisP P 定理定理1（弧长的计算公式）（弧长的计算公式）222222,(),(),()()()()0()()()()()x ty tz tx ty tz trr ttsx ty tz tdt 设设在在上上，连连续续，且且 则则曲曲线线是是可可求求长长的的曲曲线线，且且 的的弧弧长长为为对平面曲线对平面曲线 :x=x(t),y=y(t)t,其弧长为：其弧长为：22()()sx ty tdt1.平面曲线平面曲线 在直角坐标系下的方程为在直角坐标系下的方程为 y=y(x)，(a x b)则弧长为：则弧长为：21()basy xdx2.平面曲线平面曲线 在极坐标系下的方程为在极坐标系下的方程为 ()，()则弧长为：则弧长为：22()()basd 解解:例例6.求摆线求摆线 tayttaxcos1sin的一拱的一拱 20 t的弧长。的弧长。22002 1cos2sin2tat dtadt22002sin4cos822ttadtaa2220sin1cossa ttatdtoyxa2例例 7.一根弹簧按螺线一根弹簧按螺线=a 盘绕，共有盘绕，共有10圈，圈，每圈间隔每圈间隔10mm，求弹簧全长，求弹簧全长 s。解解:2,2:4,4542210,:020AaBaaaaa20201ad20202222200sdaad 2022011ln12a225201400ln 2014002例例 8.求旋螺线求旋螺线x=acos，y=asin，z=b 的第一的第一周周0 2 的弧长。的弧长。解：解：2222202sab dab弧微分：弧微分：设设：r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)t 222(),(),()()()()0,x ty tz tx ty tz t连连续续，且且则对应则对应(t0,t)一段的弧长为：一段的弧长为：0222()()()()tts tx ty tz tdt则：则：222()()()dsx ty tz tdt222222()()()()()()()dsx ty tz tdtdxdydzs t称称为为弧弧长长的的微微分分，简简称称弧弧微微分分。曲率的概念曲率的概念 曲曲线线的的弯弯曲曲程程度度不不仅仅与与切切线线转转过过的的角角度度有有关关，而而且且与与曲曲线线弧弧的的长长度度有有关关。4.平面曲线的曲率平面曲线的曲率0,LMMM在在 上上取取定定一一点点作作为为度度量量弧弧长长的的起起点点，取取定定一一个个方方向向作作为为弧弧长长增增加加的的方方向向，为为曲曲线线上上的的点点 弧弧段段 L设设曲曲线线 是是光光滑滑的的（即即曲曲线线上上的的每每一一点点都都有有切切线线，且且切切线线随随切切点点的的移移动动而而连连续续转转动动），xyoMM0M定义定义300,M MSM MSSMM 的的长长度度为为，的的长长度度为为当当点点沿沿曲曲线线从从移移动动到到时时，切切线线转转过过的的角角度度为为称称0000:lim:lim (SSdLMdSSdLMKdSS 曲曲线线 在在点点处处的的曲曲率率曲曲线线 在在点点处处的的绝绝对对曲曲率率常常简简称称为为曲曲率率）;MMMMSSMMKS比比值值为为弧弧段段的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段的的绝绝对对平平均均曲曲率率，记记为为。0 直直线线上上任任一一点点的的切切线线与与直直线线本本身身重重合合，切切线线 转转角角，所所以以直直线线任任一一点点的的曲曲率率皆皆为为零零。1 RR半半径径为为的的圆圆上上任任一一点点的的曲曲率率皆皆为为，即即半半径径的的倒倒数数。这这就就是是说说，圆圆的的弯弯曲曲程程度度到到处处一一样样，半半径径越越小小，曲曲率率越越大大，弯弯曲曲得得越越厉厉害害。(),yf x设设曲曲线线二二阶阶可可导导曲率的计算公式曲率的计算公式2tanarctan1()yyyddxy，例例9例例102tanarctan1()yyyddxy，21(dsy dx又又弧弧微微分分公公式式），所所以以322(1)dyKdsy1(1,1)xy 求求双双曲曲线线在在点点处处的的曲曲率率。23112 yyyxxx解解：由由，得得，(1)1 (1)2yy 32212222K 从从而而例例113224 1tyKy代代入入公公式式，得得321224 21252523cos 4sin4xttyt求求椭椭圆圆在在处处的的曲曲率率34(cos)443cotsec39dty(t)dtytytx(t)x(t)解解：，例例122 yaxbxc抛抛物物线线上上 哪哪一一点点处处的的曲曲率率最最大大？2 2yaxbya解解：由由32221(2)aKa xb得得 2022baxbxaKa 显显然然，当当，即即时时，分分母母最最小小，有有最最大大值值。2bxa 而而对对应应的的点点即即是是抛抛物物线线的的顶顶点点，因因此此，抛抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率最最大大。例例13曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 1 MDDMK此此时时，作作曲曲线线在在点点处处的的法法线线并并在在曲曲线线凹凹向向一一侧侧的的法法线线上上取取一一点点，使使，DM以以 为为圆圆心心，为为半半径径作作成成的的圆圆称称为为曲曲线线在在点点处处的的曲率圆。曲率圆。DM圆圆心心称称为为曲曲线线在在点点处处的的曲率中心。曲率中心。()(,)(0)1 yf xM x yK KMK设设曲曲线线在在点点处处的的曲曲率率为为，称称曲曲率率的的倒倒数数为为曲曲线线在在点点处处的的，记记为为，即即。曲率半径曲率半径MxyoD MMM由由以以上上定定义义可可知知，曲曲率率圆圆与与曲曲线线在在点点处处有有相相同同的的切切线线和和曲曲率率，且且在在点点邻邻近近处处有有相相同同的的凸凸向向。因因此此，在在实实际际问问题题中中，常常常常用用曲曲率率圆圆在在点点邻邻近近的的一一段段圆圆弧弧来来近近似似代代替替曲曲线线弧弧，以以使使问问题题简简化化。L曲曲线线 的的渐渐屈屈线线：ML 当当点点沿沿曲曲线线 变变动动时时，相相应应的的曲曲率率中中心心所所产产生生的的轨轨迹迹曲曲线线。
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