电磁场课件：chapter2-静电场(ZHL )-part 2

静电场 内容回顾内容回顾 1.1.库仑定律库仑定律 2.2.电场强度的定义与求解电场强度的定义与求解根据定义和电位求解根据定义和电位求解 3.3.静电场的特性静电场的特性无旋性、保守场无旋性、保守场 4.4.电位的定义电位的定义 【电力线电力线】两点间电场的线积分两点间电场的线积分v电力线方程电力线方程v电力线的特点电力线的特点：0Edl始于正电荷，终于负电荷；始于正电荷，终于负电荷；线的疏密对应电场的强弱；线的疏密对应电场的强弱；垂直于等位面；垂直于等位面；互不相交。互不相交。正电荷正电荷 负电荷负电荷 方向平行 dFl0dldddxyza x a y a zxxyyzzFa Fa FaF0dzdydxFFFdlzyxzyxaaaF求出该微分方程的求出该微分方程的通解可绘出矢量线通解可绘出矢量线zyxFdzFdyFdxaaaA BxyzxyzxyzAAABBBzzyyxxzzyyxxBBBAAAaaaBaaaA矢量矢量矢量上任一点的切向矢量线元与矢量场之间的关系？点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场带电平行板带电平行板 采用球坐标系（参考点在无穷远采用球坐标系（参考点在无穷远)：图图1.2.2 1.2.2 电偶极子电偶极子r r1 1r r2 212rr 例例2-3:2-3:画出电偶极子的等位线和电力线画出电偶极子的等位线和电力线 。（。（熟悉其特性熟悉其特性）)(dr 电偶极子电偶极子：相距很近的两个等值异号电荷。：相距很近的两个等值异号电荷。(其与场点距离远大于其正负电其与场点距离远大于其正负电荷距离荷距离)电偶极子的电矩：电偶极子的电矩：p=p=qd qd(p(p的方向由的方向由-q q指向指向q q)分别针对分别针对+q+q和和-q-q写出电位函数写出电位函数211202104)11(4rrrrqrrqp302044cosrrqdpr r p代入上式，得代入上式，得等位线方程等位线方程（球坐标系）：（球坐标系）：，Crp204cos图图1.2.2 1.2.2 电偶极子电偶极子 当当r r很大，且很大，且dr,rdr,r1 1,r,r2 2和和r r近似平行。近似平行。cos12drr212rrrr r1 1r r2 212rr 例例2-3:2-3:画出电偶极子的等位线和电力线画出电偶极子的等位线和电力线 。)(dr 电偶极子电偶极子：相距很近的两个等值异号电荷。：相距很近的两个等值异号电荷。(其与场点距离远大于其正负电其与场点距离远大于其正负电荷距离荷距离)电偶极子的电矩：电偶极子的电矩：p=p=qd qd(p(p的方向由的方向由-q q指向指向q q)表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。p204cosrqdp NextNext：电力线？电力线？首先要求得电场的表达式首先要求得电场的表达式 已知电力线与电场方向平行，利用矢量平行的性质已知电力线与电场方向平行，利用矢量平行的性质电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线+)sincos2(r4qr30peeEErdEdrr电力线微分方程（球坐标系）：sinDr 解得线方程为将 和代入上式，ErE204cosrqdp 均匀场中放进了介质球的电场均匀场中放进了介质球的电场均匀场中放进了导体球的电场均匀场中放进了导体球的电场点电荷位于一块介质上方的电场点电荷位于一块介质上方的电场点电荷位于一块导平面上方的电场点电荷位于一块导平面上方的电场电力线与等位线（面）的性质：电力线与等位线（面）的性质：E线不能相交线不能相交;E线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；线与等位线（面）正交；E线起始于正电荷，终止于负电荷线起始于正电荷，终止于负电荷;思考：一种物质（金属、介质）中是否存在大量的电偶极子？如果存在大量的偶极子，在没有外加电场的情况下，距离这种物质r处的电场是？3.3.静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质 重点重点：1.1.静电场中的导体特性静电场中的导体特性 2.2.静电场中的电介质极化静电场中的电介质极化 3.3.静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质静电平衡静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变。这种导体自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变。这种导体中（包括表面）没有电荷定向移动的状态称为静电平衡。中（包括表面）没有电荷定向移动的状态称为静电平衡。3.1 3.1 静电感应与静电平衡：静电感应与静电平衡：放入电场中的导体，其内部的自由电子在电场力的作用下向电场放入电场中的导体，其内部的自由电子在电场力的作用下向电场的反方向作定向移动，导致导体的两端分别出现等量的正、负电的反方向作定向移动，导致导体的两端分别出现等量的正、负电荷。该现象为荷。该现象为静电感应现象静电感应现象。3.2 3.2 静电场中导体的性质静电场中导体的性质 1.1.静电平衡时，导体内部的电场强度为静电平衡时，导体内部的电场强度为0 0。导体中不可能存在静电场，导。导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷的体分布。体内部不可能存在自由电荷的体分布。whywhy？2.2.当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。whywhy？3.3.处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。whywhy？4.4.导体外表面任一临近面的点的电场强度与导体表面垂直。导体外表面任一临近面的点的电场强度与导体表面垂直。WhyWhy？3.3 3.3 静电场中的电介质静电场中的电介质 回顾回顾:画出电偶极子的等位线和电力线画出电偶极子的等位线和电力线 。)(dr 电介质：内部没有可以做宏观运动的电荷的物体。电介质：内部没有可以做宏观运动的电荷的物体。带电粒子被原子、分子的内在力或者原子分子之间的力束缚。带电粒子被原子、分子的内在力或者原子分子之间的力束缚。+无极分子无极分子 有极分子有极分子电矩矢量电矩矢量 p=p=q ql l(p(p的方向由的方向由-q q指向指向q q)有极分子有极分子无极分子无极分子 Ea 3.3 3.3 静电场中的电介质静电场中的电介质 电介质在没有外电场电介质在没有外电场E E时，总电矩矢量为时，总电矩矢量为0 0；电介质在外电场作用下，电偶极子的排列趋于外电场方向，等效偶极子电电介质在外电场作用下，电偶极子的排列趋于外电场方向，等效偶极子电 矩的矢量和不再为矩的矢量和不再为0 0，这种现象为电介质的极化；，这种现象为电介质的极化；无极性分子无极性分子有极性分子有极性分子图图1.2.14 1.2.14 电介质的极化电介质的极化介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如左上图所示。介 质合成场Ea+Es极 化二次场Es外加场EaEa+-Es介质极化，内部电场强度总是减弱的均匀场中放进了介质球的电场均匀场中放进了介质球的电场3.3 3.3 静电场中的电介质静电场中的电介质 电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都产生电场，极化电荷产生的附加电场减弱外电场极化电荷与自由电荷都产生电场，极化电荷产生的附加电场减弱外电场式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P的方向的方向从负极化电荷指向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。pV 用用极化强度极化强度P P 表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即C/mC/m2 2电偶极矩体密度电偶极矩体密度 实验结果表明，实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中在各向同性、线性、均匀介质中ePE 0 电介质的极化率电介质的极化率,无量纲量。无量纲量。均匀均匀：媒质参数不随空间坐标：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。而变化。各向同性各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变：媒质的特性不随电场的方向而改变,P P 始终与外电始终与外电场场 E E 的方向一致的方向一致,反之称为各向异性；反之称为各向异性；线性线性：媒质的参数不随电场的值而变化；：媒质的参数不随电场的值而变化；将电磁学与材料学相结合成为目前的研究热点，也将对未将电磁学与材料学相结合成为目前的研究热点，也将对未来的经济与社会产生巨大的影响，来的经济与社会产生巨大的影响，如：如：左手材料；等离子体，铁氧体，功能陶瓷左手材料；等离子体，铁氧体，功能陶瓷e0ePE 极化的应用极化的应用 无极性分子有极性分子1.1.微波炉的工作原理？微波炉的工作原理？2.2.微波炉的辐射微波炉的辐射3.3.能否把食物放在金属容能否把食物放在金属容器进行加热吗？为什么？器进行加热吗？为什么？上式中利用了上式中利用了311RRRR 所以，体积所以，体积V V内电偶极子产生的电位内电偶极子产生的电位 0114VrdPdVR 体积元内的电偶极矩体积元内的电偶极矩产生的电位产生的电位(M(M点点)111PPPRRR 根据矢量恒等式根据矢量恒等式有有 00111d44VVPrPdVVRR 利用高斯散度定理利用高斯散度定理 极化形成的电偶极子在介质内首尾相接，正负电荷互相对消。在表面电偶极子链中断，在表面剩余电荷，形成面极化电荷面极化电荷。非均匀极化情况下，介质内部相邻电偶极子的电荷不能完全抵消，剩余电荷形成体极化电荷体极化电荷 由于极化电荷始终被束缚在电偶极子中，故也称为束缚电荷。极化电荷极化电荷psp介质的二次场也可以看成是极化电荷产生的介质的二次场也可以看成是极化电荷产生的psppPspP n对比前面的结果：可得极化电荷密度与极化强度的关系：体束缚电荷体束缚电荷表面束缚电荷表面束缚电荷4.4.高斯通量定理高斯通量定理 重点重点：1.1.真空中的高斯通量定理真空中的高斯通量定理 2.2.电介质中的高斯通量定理电介质中的高斯通量定理 平面角与立体角平面角与立体角4.4.高斯通量定理高斯通量定理将弧度表示平面角度大小的定将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义空间中，定义“立体角立体角”为：球为：球面面积与半径平方的比值。即：面面积与半径平方的比值。即：2Ar 弧度弧度（平面角度）：（平面角度）：)(为半径为弧长 rlrloAB立体角立体角整个球面的立体角整个球面的立体角2244RR2dSR一、球面一、球面定义定义二、非球面二、非球面以以O O点为圆心，曲面在球面上投影点为圆心，曲面在球面上投影2rddR S e三、任意闭合曲面的立体角三、任意闭合曲面的立体角O O点在闭合曲面内点在闭合曲面内O O点在闭合曲面外点在闭合曲面外4d 0d 4.高斯通量定理1.1.高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式求解求解：在无限大真空中有一点电荷，以该点电荷的在处为球心作一任意半径为：在无限大真空中有一点电荷，以该点电荷的在处为球心作一任意半径为r的球面，求穿出该球面的通量。的球面，求穿出该球面的通量。在如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的通量应为：在如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的通量应为：E对任意闭合面的通量只与面内包含的对任意闭合面的通量只与面内包含的电荷多少有关，而与闭合面的形状无关。电荷多少有关，而与闭合面的形状无关。方法方法1：方法方法2：高斯定理高斯定理：在真空电场中，由任意闭合面穿出的在真空电场中，由任意闭合面穿出的E E通量，应等于该闭合面通量，应等于该闭合面所包围的电荷的代数和与真空电容率的比值所包围的电荷的代数和与真空电容率的比值 如果在无限大真空的电场中，闭合面如果在无限大真空的电场中，闭合面S包围了包围了N个点电荷，根据叠加原理，可得：个点电荷，根据叠加原理，可得：niNiiSiSniiSqddd1101SESESE真空中高斯定律的积分形式真空中高斯定律的积分形式 静电场中任一闭合面上静电场中任一闭合面上E E的通量不等于的通量不等于0 0，说明静电场是有通量源，说明静电场是有通量源的场，通量源为电荷。的场，通量源为电荷。闭合曲面的电通量闭合曲面的电通量 E的的通量仅与闭合面通量仅与闭合面S 所包围的净电荷所包围的净电荷有关。有关。闭合面外的电荷对场的影响闭合面外的电荷对场的影响S面上的面上的E是由系统中是由系统中全部电荷全部电荷产生的。产生的。思考：思考：一个电偶极子所产生的通量是多少？204cosrqdp 2.2.高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式0E真空中高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式0E0E0EVVSdVdVd01ESE由散度定理知：由散度定理知：0)(0VdVE 电场的通量源密度即为电荷分布密度。电场的通量源密度即为电荷分布密度。高斯定理微分形式的直接推论：高斯定理微分形式的直接推论：3.3.电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律在介质内部，穿过任一闭合面在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为的电通应为式中式中 q 为闭合面为闭合面 S 中的自由电荷，中的自由电荷，为闭合面为闭合面S 中的束缚电荷。那么中的束缚电荷。那么 q)(1d 0 qqSSEqS 0d)(SPE令令 ，求得，求得0DEPqS d SD此处定义的此处定义的 D 称为称为电位移电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关与束缚电荷无关。上式又。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式。称为介质中的高斯定律的积分形式。介质的作用介质的作用介质中的电荷：介质中的电荷：自由电荷自由电荷+束缚电荷束缚电荷P为极化强度为极化强度3.3.电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（电介质中）定义定义电位移矢量电位移矢量（DisplacementDisplacement）PED0则有 D电介质中高斯定律的微分形式代入 ,得Pp)(1fPE0f0)(PEEEEEEPED0re00e001)(各向同性介质中的本构关系本构关系含义：含义：当场源的自由电荷分布相同时，D大小相同，介质中的场E比真空中的小其中相对介电常数；介电常数，单位（F/m）er1 又称电通又称电通量密度量密度图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？ED线E线P线D、E与 P 三者之间的关系思考：2321r4qDDD()D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。D 通量只取决于高斯面内的自由通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。外的系统所有电荷共同产生的。B）高斯定律的积分形式DdVdVVVD点电荷q分别置于金属球壳的内外点电荷的电场中置入任意一块介质散度定理 例例2-6:2-6:求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：解：电场分布特点：D 线皆垂直于导线，呈线皆垂直于导线，呈辐射辐射状态；状态；等等 r 处处D 值相等；值相等；取取长为长为L L，半径为，半径为 r r 的封闭圆柱面为高斯面。的封闭圆柱面为高斯面。,qdSSD由由 得得LrL2D1rr2eD1r0eDEr2011122SS33S2211SddddSDSDSDSDL 电荷线密度为电荷线密度为 的无限长均匀带电体的无限长均匀带电体4.4.用高斯定律计算静电场用高斯定律计算静电场计算技巧计算技巧：a a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b b）选择适当的闭合面作为高斯面，使）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。容易积分。SDd 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解对称性的场才能得到解析解。例例 2-7 2-7 一个半径为一个半径为a a的导体球，带电量为的导体球，带电量为Q Q，在导体球外套有外半径，在导体球外套有外半径为为b b的同心介质球壳，的同心介质球壳，壳外是空气，如下图所示。求空间任一点的壳外是空气，如下图所示。求空间任一点的D D、E E、P P以及束缚电荷密度。以及束缚电荷密度。解：解：介质内(ar=b)：介质外(br)：介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度：（教材，P55）介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：214rSPrrQP nP ea 214rSPrrQP nP eb思考：如何求各点的电位？20044bQQrdrrb选无穷远处为电位参考点，外壳的电位为作作 业业1.1.设有无限大的均匀带电平板设有无限大的均匀带电平板,其电荷的面密度为其电荷的面密度为 ,求空求空间中任意一点的电场。间中任意一点的电场。s4.4.课本第课本第8888页：页：2-32-3；5.5.课本第课本第8989页：页：2-72-7；6.6.课本第课本第8989页：页：2-122-12；2.2.两同心导体球壳之间充满两种介质，左半部两同心导体球壳之间充满两种介质，左半部分介质的介电常数为分介质的介电常数为 1 1，右半部分介质的介电，右半部分介质的介电常数为常数为 2 2，设内球壳带电荷为，设内球壳带电荷为Q Q，外部球壳接，外部球壳接地，求空间任意一点的电场强度。地，求空间任意一点的电场强度。1 1 2 2R2R2R1R13.3.在电介质球壳中心放有一点电荷在电介质球壳中心放有一点电荷Q,Q,球壳内外半径分别为球壳内外半径分别为R1R1和和R2,R2,已知已知介质的介电常数为介质的介电常数为,求空间任意一点的电场及介质内部的极化强度。求空间任意一点的电场及介质内部的极化强度。