电路分析基础：第七章 二阶电路

电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回第七章第七章 二阶电路二阶电路7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。电感的动态电路称为二阶电路。这类电路可以用一个二阶微分方程或两个联立的这类电路可以用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程来描述。一阶微分方程来描述。二阶电路的问题是求解二阶微分方程或一阶联立二阶电路的问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。微分方程的问题。有固定的步骤可以遵循，并不困难。有固定的步骤可以遵循，并不困难。应该注意：电路微分方程的建立，特征根的重要应该注意：电路微分方程的建立，特征根的重要意义，微分方程解答的物理含义等内容。意义，微分方程解答的物理含义等内容。注意：经等效变换后，只含有一个电容（电感）注意：经等效变换后，只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶电路。的电路不属于二阶电路。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡LC+-U0i （1）在初始时刻，能量全部）在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有储能。储于电容中，电感中没有储能。最最大大。，但但tiLuiLdd0电流电流i开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐转移到电感的磁场中。量逐渐转移到电感的磁场中。（2）当）当uc下降到零的瞬间，下降到零的瞬间，uL也为零，也为零，i的变化的变化率也为零，率也为零，i达到最大值达到最大值I，储能全部转入到电感中。，储能全部转入到电感中。（3）uc=0时，但它的变化率不为零，时，但它的变化率不为零，i将从将从I逐渐逐渐减小，减小，C又被充电，但充电的方向与以前相反。又被充电，但充电的方向与以前相反。储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 （4）当）当i下降到零瞬间，能量又再度全部储于电下降到零瞬间，能量又再度全部储于电容中，电容电压又达到容中，电容电压又达到U0，只是极性相反而已，只是极性相反而已。（5）电容又开始放电，只是放电方向与上一次）电容又开始放电，只是放电方向与上一次电容放电的方向相反。电容放电的方向相反。当电容电压再次下降到零瞬间，能量又全部储于当电容电压再次下降到零瞬间，能量又全部储于电感中，电流又达到了最大值。电感中，电流又达到了最大值。（6）电容又在电流的作用下充电，当电流为零）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又全部返回到电容中，电容电压的大小和瞬间，能量又全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。极性又和初始时刻一样。上述过程将不断地重复进行。上述过程将不断地重复进行。电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的振荡，且幅值不变，称为等幅振荡。形成周而复始的振荡，且幅值不变，称为等幅振荡。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回LC+-uCiL 设设LC回路的回路的L=1H、C=1F，uC(0)=1V、iL(0)=0。tuCiCCddtuiCLddtiuLCdd 初始条件：初始条件：uC(0)=1V，iL(0)=0。猜想方程的解为：猜想方程的解为：uC(t)=cost iL(t)=sint电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回显然符合初始条件，并且显然符合初始条件，并且)(sind)(dtitttuLC)(cosd)(dtutttiCL 表明表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。化的。LC回路中的储能：回路中的储能：222121)(CLCuLitwJtt21)cos(sin2122储能在任何时刻都为常量。储能在任何时刻都为常量。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 表明储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消表明储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。失。若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。储能终将被电阻消耗完储能终将被电阻消耗完。称为。称为阻尼振荡或衰减振荡阻尼振荡或衰减振荡。若电阻较大，储能在初次转移时它的大部分就被若电阻较大，储能在初次转移时它的大部分就被电阻所消耗，不可能发生储能在电场与磁场间的往返电阻所消耗，不可能发生储能在电场与磁场间的往返转移现象，电流、电压终将衰减为零，不产生振荡。转移现象，电流、电压终将衰减为零，不产生振荡。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应LC含源电含源电阻网络阻网络LC含源电含源电阻网络阻网络+-+uR-uOCR+uC-+uL -ituCiCddtuRCRiuCRdd22ddddtuLCtiLuCLOCLCRuuuu电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回OCCCCuutuRCtuLCdddd22 初始条件是：初始条件是：uC(0)、iL(0)。0dddd22CCCutuRCtuLC01dddd22CCCuLCtuLRtu 方程的解是：方程的解是：特征方程是：特征方程是：stCKtue)(012LCsLRs电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 特征方程的两个根称为特征根，又称特征方程的两个根称为特征根，又称固有频率。固有频率。LCLRLRs12222,1时时，时时，即即）当当（CLRLCLR21212时时，时时，即即）当当（CLRLCLR21222 s1、s2为不相等的负实数。为不相等的负实数。s1、s2为相等的负实数。为相等的负实数。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回时时，时时，即即）当当（CLRLCLR21232 s1、s2为共轭复数，其实部为负数。为共轭复数，其实部为负数。电电路路的的阻阻尼尼电电阻阻。称称为为RLCCLRd2 当串联电路电阻当串联电路电阻R大于、等于、小于阻尼电阻大于、等于、小于阻尼电阻Rd时分别称为时分别称为过阻尼、临界、欠阻尼过阻尼、临界、欠阻尼情况。情况。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例7-1 RLC串联电路中，串联电路中，C=1F，L=1H，R=3；uC(0)=0，iL(0)=1A；t0时时uOC(t)=0。求。求uC(t)及及iL(t)，t0。22CLRd解解：小于小于R，属于过阻尼情况。其解为，属于过阻尼情况。其解为tstsCKKtu21ee)(21 特征方程是：特征方程是：012LCsLRs0132 ss 特征根是：特征根是：12323122222,1LCLRLRs s1=-0.382，s2=-2.618。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回0ee)0(21020121KKKKussC0dd)0(tuCiC221102211ee21KsKsKsKststs1447.0447.021KK)(e447.0e447.0)(618.2382.0VtuttC)(e17.1e171.0d)(d)(618.2382.0AttuCtittC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例7-2 在在RLC串联电路中，串联电路中，C=1F，L=1/4H，R=1；uC(0)=-1V，iL(0)=0A；t0时时uOC(t)=0。求。求iL(t)，t0。12CLRd解解：等于等于R，属于临界阻尼情况。其解为，属于临界阻尼情况。其解为tststKKti21ee)(21含有因子含有因子tLCLRLRs12222,14/1212电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回0)0(1 Ki0)0()0(dd0RiutiLC1dd)0(0tiLuC2110ddKKsti42K)(e4)(2Attit电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例7-3 RLC串联电路中，串联电路中，C=1F，L=1H，R=1；uC(0)=1V，iL(0)=1A。求零输入响应。求零输入响应uC(t)及及iL(t)。22CLRd解解：大于大于R，属于欠阻尼情况。，属于欠阻尼情况。LCLRLRs12222,11212122321jdj)sincos(e)(21tKtKtuddtC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回1)0(1 KuC1)0()(d210CiKKdttudC32K)(sin3(cose)(VtttuddtC)(3cos(e2d)(d)(AtttuCtidtC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回 例例7-4 下图所示电路中，下图所示电路中，C=4F，L=1/16H；uC(0)=1V，iL(0)=1A。求零输入响应。求零输入响应uC(t)及及iL(t)。LC+-uCiL 解：解：R=0，属于欠阻尼情况的特例，所以，属于欠阻尼情况的特例，所以LCjs12,10j2j0称为谐振角频率。称为谐振角频率。tKtKtuC0201sincos)(1)0(1 KuC020d)(dKttuC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回124d)(d)0(020kCKttuCiC812KtttuC2sin812cos)()(2cos2sin8d)(d)(AttttuCtiC电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应LC+-+uR-uOCR+uC-+uL -iOCCCCuutuRCtuLCdddd22USsCCCUutuRCtuLCdddd22 非齐次方程的解答由两部分组成：其一为对应的非齐次方程的解答由两部分组成：其一为对应的齐次方程的解答，称为齐次解、补解或齐次方程通解，齐次方程的解答，称为齐次解、补解或齐次方程通解，在技术上称为固有响应解或瞬态响应解；在技术上称为固有响应解或瞬态响应解；另一为非齐次方程的特解，在技术上称为强迫响另一为非齐次方程的特解，在技术上称为强迫响应解或稳态响应解。应解或稳态响应解。齐次解的形式将随特征根的性质而定。齐次解的形式将随特征根的性质而定。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析LC含源电含源电阻网络阻网络 iSCGLC含源电含源电阻网络阻网络iLOCCCCuutuRCtuLCdddd22SCLLLiitiGLtiCLdddd22电电路路的的阻阻尼尼电电阻阻。称称为为RLCCLRd2电电路路的的阻阻尼尼电电导导。称称为为GCLLCGd2 当当G大于大于Gd时为过阻尼情况；时为过阻尼情况；G等于等于Gd时为临界时为临界阻尼情况；阻尼情况；G小于小于Gd时为欠阻尼情况。时为欠阻尼情况。电路分析基础电路分析基础上一页上一页下一页下一页返返 回回LCLRLRs12222,1LCCGCGs12222,1