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2023年2月28日1)(0eodtdFML2023年2月28日2v 质点系的质点系的动量矩动量矩v 质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理v 质点系对运动点的质点系对运动点的动量矩定理动量矩定理2023年2月28日3直升飞直升飞机如果没有机如果没有尾翼将发生尾翼将发生什么现象什么现象2023年2月28日42023年2月28日52023年2月28日62023年2月28日7跳远运跳远运动员怎样动员怎样使身体在使身体在空中不发空中不发生转动生转动2023年2月28日8跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动2023年2月28日9无论力偶无论力偶加在哪里，加在哪里，为什么圆盘为什么圆盘总是绕着质总是绕着质心转动心转动2023年2月28日10 无论力偶加无论力偶加在哪里，为什在哪里，为什么圆盘总是绕么圆盘总是绕着质心转动着质心转动2023年2月28日11猫为何猫为何能翻身能翻身2023年2月28日121.1.对固定点对固定点O（数学上完全类似力矩）（数学上完全类似力矩）oiiimLrvAo AO动LLPP量量xoxiixxL)(mLLLv或2.2.对运动点对运动点A0Av（2 2）对两个固定点）对两个固定点A,O 之关系之关系（1 1）对固定轴）对固定轴 x2023年2月28日13(2)(2)相对动量矩相对动量矩（在（在A点固定平移系）点固定平移系）相对速度iiiiAv vmrL ，为质心，c)(mvACLLAAA时，即，动点为质心当C0AC量矩相等对质心的绝对与相对动CCLL(3)(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系绝对动量矩与相对动量矩的关系绝对速度iiiiAv vmrL（1 1）绝对动量矩）绝对动量矩2023年2月28日143.3.刚体的动量矩刚体的动量矩（对定点（对定点A）2,i imrz式中 为刚对转轴转达惯J体体的的量量（对运动点A，形式同上，但 为一般运动矢）ACALPACvACvrL)(mmcciiA（1 1）平移刚体的动量矩）平移刚体的动量矩（2 2）定轴转动刚体）定轴转动刚体(有质量对称面且垂直于转轴有质量对称面且垂直于转轴z)的动量矩的动量矩z zLJ 2023年2月28日15221mRJcRcc2121mlJc均质轮常见刚体均质杆平行轴定理：平行轴定理：2ocJJoc m只能从质心移动CO转动惯量计算的例2023年2月28日162mJo工程中：工程中：惯性半径迴转半径（3 3）平面运动刚体）平面运动刚体(有质量对称面且垂直于转有质量对称面且垂直于转轴轴z)的动量矩的动量矩CCCLLJ ACCACmLLv Z过质心过质心C时：时：Z过任意定点过任意定点A时：时：可视为代数量方位相同，cAL,LVVCCLJ Z过速度瞬心过速度瞬心CV时：时：2023年2月28日17AL,r,m,求hr-mrJLcAcCocL,L,L,vr,R,m,v求occm(R r)CvLvJr均质轮滚动，已知均质轮滚动，已知思考：思考：均质轮纯滚，已知均质轮纯滚，已知答：答：答：答：ccvrAhrccvROcrcvvCrvcrvJJLcCCCvvv2cc1mr2CvLLr 2023年2月28日18各构件质量均为各构件质量均为m222o2211mmrm32rlLllPOCLLco1r2rOc21rrl22226542212121mrr)m(r)m(mr0Orl2Prr2c答：答：2023年2月28日19算！亦可按平面运动刚体计2222o2211mrmrm(2r)mr 2mrr212345(2)mr 4mr 236Lrmr2JLcoOrl2Prr2cC2023年2月28日2011222321 RRvv32322222)(vRmmRJRJLCOOABCOOOOLLLL已知滑轮已知滑轮A：m1、R1，R1=2R2，JO;滑轮滑轮B：m2、R2，JC；物体物体C：m3求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。12222332()OCJJm v Rm v R答：答：2023年2月28日21矢量微分式矢量微分式e00ddtLMe0Mu 几何解释（赖柴定理），类比几何解释（赖柴定理），类比uLvrdtd,dtd0 矢端速度等于外力系对矢端速度等于外力系对o o的主矩的主矩0L21teo2o1ootdt()eiLLMMI矢量积分式矢量积分式冲量矩定理冲量矩定理1.1.矢量式矢量式2023年2月28日22 例1 图示变截面弯管中的稳定流体。已知图示变截面弯管中的稳定流体。已知 重力重力G，入、出口相邻流体压力入、出口相邻流体压力 ，试求流体对管壁，试求流体对管壁 的附加动约束力矩的附加动约束力矩.21FF,G2F1F2v1v2121vv,2023年2月28日23 解:由定点由定点O向入、出口处的二个质量微团向入、出口处的二个质量微团m的的质心质心 与与 分别引位矢分别引位矢 ,则在则在t内内1C2C12,r r2211()OVqtLrvrvG2F1F2v1vNFmm12121r2rzyx1C2CO2023年2月28日24221112()()()()()VOOOONqrvrvMGMFMFMF注意到注意到 1120NFGFF且有且有121()()()()0OOOONMGMFMFMF故动约束力矩故动约束力矩22211()()ONvqMFrvrv代入 中，得ddOOtLM2023年2月28日2521te21tdt()exxxxiLLMMI21te21tdt()eyyyyiLLMMI21te21tdt()ezzzziLLMMI0eoxxdLMdt00yeydLMdt00ezzdLMdt2.2.投影式投影式:微分投影式微分投影式积分投影式积分投影式2023年2月28日26例例2 2 已知已知a求 )(mmm,mr,m,2121eooddtzzLMgrmmrm21mmdtd21221)()(即，rmm2m2gmm22121）()(ora1m2mm对整体，受力如图对整体，受力如图1m g2m gmgoyFoxF由由(不用隔离体法)ra 2023年2月28日27例例3 3 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均的重量均为为W,半径均为半径均为r，绳重和轴，绳重和轴O处处摩擦不计系统初始静止。摩擦不计系统初始静止。求：求：在圆柱体在圆柱体A上作用一逆时针上作用一逆时针转向的力矩转向的力矩M，试问在什么条，试问在什么条件下圆柱件下圆柱B B的质心将上升？的质心将上升？M2023年2月28日28由动量矩定理：由动量矩定理：22(2)222ABCd WWWrrvrM W rdtggg222222ABCWWWrrraMWrggg取系统为研究对象取系统为研究对象22222OzABCWWWLrrvrgggddeOzOzLMt解解：2023年2月28日29补充运动学方程补充运动学方程BACrra 2(2)5CMWragWr当当M 2Wr 时，时，圆柱，圆柱B的质心将上升。的质心将上升。0 Ca22 2CCWWraraMWrgg222222ABCWWWrrraMWrggg2023年2月28日303.3.守恒式守恒式:常矢若ooeo,dtd,LLM 0 0常数若xexL,M 021 021ootteo,dtLLM则，若守恒方向性2023年2月28日31如圆锥摆：如圆锥摆：.,Moeo不守恒L0OGTFVC.L,Moceoc守恒而0 .,Mcec守恒L02023年2月28日32答：若不计绳与滑轮的质量，则若不计绳与滑轮的质量，则若考虑绳与滑轮的质量，则若考虑绳与滑轮的质量，则 显然，显然，aavv21JrvmrvmoBBAABAvv思考：猴子爬绳比赛，猴子爬绳比赛，.vv,mmBrArBA已知2023年2月28日33例4 图示水平光滑管，绕铅直轴图示水平光滑管，绕铅直轴z z转动，转动，A,B两球细绳相连两球细绳相连,已知已知:求求 （不计摩擦和绳重）（不计摩擦和绳重）2CBAkgm0.2Jkg,0.5mkg,2mcm,100l/s)0.5(1cm/s,40vcm,60rArAArAlBz20.4rad/s 2023年2月28日34ccdtdML?dtdAL 对一般运动点对一般运动点A 2023年2月28日35AAiA,CAAx yz,m.va 为运动点（已知）,为质心.在点固连平移系为任一质点imAircozxyi r1.1.定理的一般形式定理的一般形式对一般动点对一般动点A由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中.AAddteLMAAd(m)dteA LMACa平移系中，平移系中，（绝对导数相对导数）（绝对导数相对导数）AAdddtdtLL2023年2月28日362.2.定理的特殊形式定理的特殊形式)(,aA度瞬心固定，匀速直线，加速0 )1(0)m(AaAC使修正项使修正项 的情形的情形（3）即，A为质心 C0AC0AaAC（2）与 共线，AaACAAddteL=MddteccL=M2023年2月28日371 1）均质杆，绳段瞬时）均质杆，绳段瞬时 有 0 ACaA2lmgml312.思考：思考：用最简方法求用最简方法求l2g3BAAamgC解：解：AAddteL=MAAddteL=M2023年2月28日382 2）均质轮滚动）均质轮滚动有 0,vCvCCavvCCd dtLMFrmr223mr3F2 cvrcFvCvCa解：解：2023年2月28日393)3)pJ2GlcosvCa（当，CvC=常数时，指向C）cos2lGJvC 有cGvCvCaBFAF2023年2月28日404)4)半圆柱，一般位置半圆柱，一般位置 0vCvaCCvCavCavvCCMdtdLvvCCMdtdL不指向不指向c c，当直径面水平时，当直径面水平时，指向指向cmgcovCvCa解：解：2023年2月28日41可解释：猫在下落过程中的翻身问题？可解释：猫在下落过程中的翻身问题？跳水时如何产生旋转运动？跳水时如何产生旋转运动？转椅上的人如何能转椅上的人如何能 转动转动？3.3.动量矩相对守恒动量矩相对守恒 0CM常矢cL180对质心轴:0CM常量cL若若 则，则，若若 则，则，2023年2月28日424.4.刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程有 ,mecFaCZczMdtdLCcMJ与动量定理和动量矩定理数学上等价与动量定理和动量矩定理数学上等价 由 有 分解为随质心分解为随质心c平移绕轴平移绕轴c转动转动 ycxcFymFxm 由2023年2月28日43 sc.fhFRmFa、求已知 、cmghFR3h)2RF(3F,mR3Fh2asc 可见：当可见：当h h3R/2时，时，向右向右2023年2月28日44.,.,l,杆的角速度与角加速度角位置时求任意若不计摩擦的初始位置开始运动于直角墙角且倾角为从静止重量为的均质杆长为如图所示0GAB0AB例例6：2023年2月28日45角位置时，有，在任意点，瞬心在杆的速度没离开墙角时，当杆端2lCCCABvvA(1)2coslGJvC 4G G 12122lglgJvC(2)cos23lg dddddddd tt而而又又故故AB AFBFGCvC2023年2月28日46 0dcos23d 20lg，并积分得代入式 )sin-(sin3-0舍去正值故.lgAB AFBFGCvC,1大小？如何求任意位置时）BAFF 开墙2 2）端端在在何何位位置置离离面面？A A 3？考虑摩擦时，如何求解）2023年2月28日47 rrRvC rrR rrR2,nCCaR raR rsinm R rF mg22mrFr 032 sinrRg 例例7 已知已知:r,R,试建立圆柱体的运动微分方程试建立圆柱体的运动微分方程 解：解：2Ncosm R rFmg
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