近世代数课件5.2单扩域

单扩域单扩域 假定 是域 的扩域，而 是 的一个元 要讨论单扩域 的结构，我们把 的元分成两类 EFE()FE 定义定义 叫做域 上的一个代数元代数元，假如存在 的不都等于零的元 ，使得 FF0a1ana101aa0nna 假如这样的 ，不存在，就叫做 上的一个超越元超越元若 是 上的一个代数元，就叫做 的一个单代数扩域单代数扩域；若 是 上的一个超越元，0a1anaFF()FFF 就叫做 的一个单超越扩域单超越扩域()FF单扩域的结构通过以下定理可以掌握 定理定理若 是 上的一个超越元，那么 的商域 这里 是 上的一个未定元 的多项式环 若 是 上的一个代数元，那么 F()FF x F xFxF()()FF xp x 这里 是 的一个唯一的确定的、最高系数为的不可约多项式，并且 证明证明 包含 上的 的多项式环 一切 ，我们知道，()p x F x()0p()FF FkkakaFkkkka xa 是 上的未定元 的多项式环 到 的同态满射，现在我们分两个情形来看Fx F x()F 情形 是 上的超越元 这时以上映射是同构映射：由，定理，的商域 的商域 由，定理，我们可以知道，（）的商域 另一方面，的商域包含 也包含 ，因此，由 的定义 （）的商域F()FF x F F x F()F FF()F()FF 由（）和（）得 的商域 因而 的商域()FF()F F x 情形 是 上的代数元这时 这里 是上述同态满射的核由，定理和定理，是一个主理想环，所以 的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子，F FF xAA F x()p xA F x 而 的单位就是 的非零元所以令 的最高系数是，就是唯一确定的由 的定得：；由此得 不是 的非零元但 是 上的代数元，所以 也不是零多项式因此，的次数 F xF()p x()p xA()0p()p xFF()p x()p x 我们说，是 的一个不可约多项式不然的话，将有 ，和 的次数 的次数()p x F x()()()p xg x h x()g x()h x()p x()()()0pgh()g()h()F()0g()0h或 从而得 但 和 是域 的元，而域没有零因子，所以由上式可以得到 这就是说，或 ，即 这是一个矛盾()g x A()h x A()p x()g x()p x()h x或 这样，是一个不可约多项式，因而 是 的一个最大理想，而 是一个域这样 是一个域但 包含 也包含 ，并且 ，所以 证完()p x()p x()F x()()F xp x()F()FF()FF()()FFF xp x 以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域当 是域 上代数元的时候，我们还可以把 描述得更清楚一点F()F 定理定理令 是域 上的一个代数元，并且 那么 的每一个元都可以唯一地表成 F()()FF xp x()F10njiia()iaF 的形式，这里 是 的次数要把这样的两个多项式 和 相加，只需把相当的系数相加；与 的乘积等于 ，这里 是用 除 所得的余式n()p x()f()g()f()g()r()r()p x()()f x g x证明证明由于 ，所以 的一个任意元 可以写成 的形式但 其中 因而，由于 ，有()FF()F()()iihb()ibF()()()()h xq x p xr x10()njiir xa x()iaF()0p10()()niiihra这种表示方法是唯一的因为：假如，和的次数 那么由于的次数 ，得，由以上证明可以看出，定理的后一部分成立证完12()()rr1()r x2()r xn12()()()0rrk()()p x k xn()0k x 12()()r xr x，我们已经看到，多项式 对于一个单代数扩域的重要性 显然是理想 里的一个次数最低的多项式()p x()p xA定义定义 中满足条件 的次数最低的多项式 叫做元 的在 上的极小多项式极小多项式 叫做 的在 上的次次数数以上的讨论是在域 有扩域 的前提下进行的现在我们问，若是只给了一个域 ，是不是 的单扩域存在？F x()0p110()nnnp xxaxaFnFFEFF 存在 的单超越扩域容易看出我们知道，上的一个未定元 的多项式环 和 的商域都是存在的 的商域显然是包含 和 的最小域，而按照未定元的定义，是 上的一个超越元因此 的商域就是 的一个单超越扩域由定理，的任何单超越扩域都是同构的FFx F x F x F xFxxF F xFF 现在我们证明 定理定理对于任一给定域 以及 上一元多项式环 的给定不可约多项式 总存在 的单代数扩域 ，其中 在 上的极小多项式是 FF F x110()nnnp xxaxaF()FF()p x 证明证明有了 和 ，我们可以作剩余类环 因为 是不可约多项式，所以 是一个最大理想，因而 是一个域 我们知道，有 到 的同态满射F()p x ()KF xP X()p x()p xK F xK()()f xf x 这里 是 所在的剩余类由于 ，在这个同态满射之下，与 同构这样，由于 和 没有共同元，根据，定理我们可以把 的子集 用 来掉换，而得到一个域 ，使得，()f x()f x FF xFFKFKFFKKKFK 现在我们看 的元 在 里的象 由于 所以在 里 因此，假如我们把 在 里的逆象叫做 ，我们就有 F xxKx110()0nnnp xxaxa()p xK1100nnnxaxaxK1100nnnaa 这样，域 包含一个 上的代数元 我们证明，就是 在 上的极小多项式令 是 在 上的极小多项式那么 中一切满足条件 的多项式 显然作成一个理想，而这个理想就是主理想（参看，定理的证明）因此 能被 整除但 不可约，所以一定有 ，KF()p xF1()p xF F x()0f()f x1()p x()p x1()p x()p x1()()p xap xaF 但 和 的最高系数都是，所以 ，而 因此我们可以在域 中作单扩域 ，而 能满足定理的要求 实际上，这一点我们留给读者去证明证完()p x1()p x1a 1()()p xp xK()F()F()FK 给了域 和 的一个最高系数为的不可约多项式 ，可能存在若干个单代数扩域，都满足定理的要求但我们有F F x()p x 定理定理令 和 是域 的两个单代数扩域，并且和 在 上有相同的极小多项式 那么 和 同构 证明证明假定 的次数是 那么 的元都可以写成 的形式，而 的元都可以写成 的形式，这里 映射 ()F()FFF()p x()F()F()p xn()F10niiia()F10niiiaiaF1100nniiiiiiaa()F()F 显然是 和 间的同构映射证完 总起来，我们有 定理定理在同构的意义下，存在而且仅存在域 的一个单扩域 ，其中 的极小多项式是 的给定的，最高系数为的不可约多项式F()F F x